1、既然挑選了遠方，就必需風雨兼程第十一講平行四邊形中的動點問題時間：年月日劉滿江老師同學姓名：一、愛好導入二、學前測試1如圖，在平行四邊形abcd 中，以下結論中錯誤選項（）a 1= 2b bad= bcdc a b=cdd a cbd考點 ： 平行四邊形的性質分析： 依據平行四邊形的性質，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判定得出即可解答： 解： 在平行四邊形abcd 中， ab cd ， 1=2，故此選項正確，不合題意； 四邊形 abcd是平行四邊形， bad= bcd ， ab=cd ，故 b， c 選項正確，不合題意； 無法得出ac bd ，故此選項錯誤，符合題意應選 d點評：

2、 此題主要考查了平行四邊形的性質，嫻熟把握相關的性質是解題關鍵2.四邊形 abcd中，對角線ac 、 bd 相交于點o，給出以下四個條件： ad bc ； ad=bc ； oa=oc ； ob=od從中任選兩個條件，能使四邊形abcd 為平行四邊形的選法有（）a 3 種b 4 種c 5 種d 6 種考點 ： 平行四邊形的判定分析： 依據題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可解答： 解：組合可依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形abcd為平行四邊1勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程形；組合可依據對角線相互平分的四邊形是平行

3、四邊形判定出四邊形abcd 為平行四邊形；可證明 ado cbo ，進而得到ad=cb ，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形abcd 為平行四邊形；可證明 ado cbo ，進而得到ad=cb ，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形abcd 為平行四邊形；應選： b點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是嫻熟把握平行四邊形的判定定理 3.如圖，在平行四邊形abcd中，對角線ac， bd 相交于點o，點 e， f 分別是邊ad ，ab 的中點， ef交 ac 于 點 h，就的值為（）a 1b cd考點 ： 三角形中位線定理；平行四邊形的性質分析：

4、依據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出h 是 ao 的中點，再依據平行四邊形的對角線相互平分可得ao=co ，然后求出ch=3ah ，再求解即可解答： 解： 點 e， f 分別是邊ad ， ab 的中點， ah=ho ， 平行四邊形abcd 的對角線ac 、 bd 相交于點o， ao=co ， ch=3ah ，=應選 c三、方法培育：學問要點：平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形平行四邊形的性質：邊：對邊平行且相等角：內角和為 ,外角和 ，鄰角 ,對角 對角線：相互平分平行線之間的距離：如兩條直線相互平行，就其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距

5、離叫性質：平行線之間的距離到處相等；推廣：夾在兩條平行線之間平行線段相等平行四邊形的判定：定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形定理 1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形定理 2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形2勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程定理 3：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形定理 4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例 11如下列圖，在直角梯形abcd 中， ad bc， a=90 °， ab=12 ， bc=21 ， ad=16 動點 p 從點 b 動身，沿射線bc 的方向以每秒2 個單位長的速度運動，動點q

6、 同時從點 a 動身，在線段ad 上以每秒1 個單位長的速度向點d 運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動設運動的時間為t（秒）（ 1）當 t 為何值時，四邊形pqcd 的面積是梯形abcd 的面積的一半；（ 2）四邊形pqcd 能為平行四邊形嗎？假如能，求出t 的值；假如不能，請說明理由（ 3）四邊形pqcd 能為等腰梯形嗎？假如能，求出t 的值；假如不能，請說明理由考點 ：等腰梯形的判定；平行四邊形的判定；直角梯形；專題 ：動點型；分析：（ 1）依據：路程 =速度 ×時間，表示線段的長度，再利用：s 梯形 abpq =s 梯形 pqdc，列方程求解；（ 2）只要能

7、滿意dq=pc 即可，由此建立等量關系，列方程求解；（ 3）當四邊形pqcd 為等腰梯形時，作pe bc， df bc ，垂足為 e、f，需要滿意qe=cf ，由此建立等量關系，列方程求解解答： 解：（ 1）由已知得： aq=t ，qd=16 t， bp=2t ， pc=21 2t，依題意，得1 t22t121 16t2212t 12 解得；（ 2）能；當四邊形pqdc 為平行四邊形時，dq=pc ，即 16 t=21 2t解得 t=5 ；（ 3）不能作 qe bc， df bc ，垂足為 e、f， 當四邊形 pqcd 為等腰梯形時，pe=cf， 即 t 2t=21 16解得 t= 5，不合實

8、際點評： 此題考查了梯形運算面積的方法，依據平行四邊形、等腰梯形的性質列方程求解的問題變式練習 ：如下列圖，在直角梯形abcd 中， ad bc， a=90 °， ab=12 ， bc=21 ， ad=16 動點 p從點 b 動身， 沿射線 bc 的方向以每秒2 個單位長的速度運動，動點 q 同時從點a 動身， 在線段 ad 上以每秒 1 個單位長的速度向點d 運動， 當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動設運動的時間為 t（秒）（ 1）設 dpq 的面積為s，求 s 與 t 之間的函數關系式；（ 2）當 t 為何值時，四邊形pcdq 是平行四邊形？（ 3）分別求出當t 為

9、何值時， pd=pq ， dq=pq 考點 ：直角梯形；勾股定理；平行四邊形的判定與性質；解答：（ 1）解：直角梯形abcd 中， ad bc ， a=90 °， bc=21 ， ab=12 ， ad=16 ，依題意 aq=t ，bp=2t ，就 dq=16 t， pc=212t ，過點 p 作 pe ad 于 e，就四邊形 adpe 是矩形， pe=ab=12 ， sdpq=dq .ab=（ 16t ）×12= 6t+96 3勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程（ 2）當四邊形pcdq 是平行四邊形時，pc=dq ， 21 2t=16

10、 t 解得： t=5 ， 當 t=5 時，四邊形pcdq 是平行四邊形（ 3） ae=bp=2t ， pe=ab=12 ， 當 pd=pq 時， qe=ed=aq=t ， ad=3t 即 16=3t，解得： t=， 當 t=時， pd=pq 當 dq=pq 時，22dq =pq t22+12=（ 16 t）2 解得： t= 當 t=時， dq=pq專題 2：平行四邊形的證明【例 2】如圖，在直角梯形abcd中， b=90 °， ad bc ，且 ad=4cm ， ab=6cm ，dc=10cm 如動點p從 a 點動身，以每秒4cm 的速度沿線段ad 、dc 向 c 點運動；動點q 從

11、 c 點動身以每秒5cm 的速度沿cb 向 b 點運動當q 點到達 b 點時，動點p、q 同時停止運動設點p、q 同時動身，并運動了t 秒，（ 1）直角梯形abcd的面積為cm2；（ 2）當 t=秒時，四邊形pqcd 成為平行四邊形？（ 3）當 t=秒時， aq=dc ；（ 4）是否存在t，使得 p 點在線段dc 上且 pqdc ？如存在，求出此時t 的值；如不存在，說明理由考點 ：直角梯形；平行四邊形的判定；解答： 解：（ 1）作 dm bc 于點 m 就四邊形abmd是平行四邊形 dm=ab=6cm 在直角 cdm 中， cm=8cm bc=bm+cm=4+8=12cm 直角梯形abcd

12、的面積為（ ad+bc ） .ab=48cm 2；（ 2）當 pd=cq 時， 四邊形 pqcd 成為平行四邊形x=；即 4 5x=4x解得（ 3）bq=12 5x在直角 abq 中， ab 2+bq 2=aq 2即 62+（ 125x） 2=10 2解得 x=；（ 4）存在，連接 qd ，就 cp=14 4t， cq=5t如 qp cd ， s dqc=sdqc，有 cq ×ab=cd ×qp得 qp=3t在 rtsqpc 中qp2+pc2=cq2，即（ 3t） 2+（ 14 4t）22=（ 5t）解之得求得 bc=12cp=14 4t=7 10cq=5t= 12所以，存

13、在t，使得 p 點在線段dc 上，且 pqdc 變式練習如圖，在直角梯形 abcd 中， b=90 °， ad bc，且 ad=4cm ， ab=6cm ， dc=10cm 如動點 p 從 a 點動身，以每秒 4cm 的速度沿線段 ad 、dc 向 c 點運動；動點 q 從 c 點動身以每秒 5cm 的速度沿 cb 向 b 點運動當 q 點到達 b 點時，動點 p、q 同時停止運動設點 p、q 同時動身，并運動了 t 秒，（ 1）這個直角梯形abcd 的面積是多少？（ 2）當 t 為何值時，四邊形pqcd 成為平行四邊形？4勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，

14、就必需風雨兼程（ 3）是否存在t，使得 p 點在線段dc 上且 pqdc ？如存在，求出此時t 的值，如不存在，說明理由分析：（ 1）作 dm bc 于點 m ，在直角 cdm 中，依據勾股定理即可求得cm ，得到下底邊的長，依據梯形面積公式即可求解（ 2）當 pd=cq 時，四邊形pqcd 成為平行四邊形（ 3）連接 qd ，依據 sdqc=sdqc ，即可求解解答： 解：（ 1）作 dm bc 于點 m 就四邊形abmd是平行四邊形， dm=ab=6cm 在直角 cdm 中， cm=8cm ， bc=bm+cm=4+8=12cm， 直角梯形 abcd 的面積為（ ad+bc ） .ab=4

15、8cm 2；二、當 pd=cq 時，四邊形pqcd 成為平行四邊形，即4 5x=4x ，解得 x=；（ 3）存在，連接 qd ，就 cp=14 4t，cq=5t ，如 qpcd ，sdqc=sdqc，有 cq ×ab=cd ×qp，即 5t×6=10 ×qp，+pc得 qp=3t ，在 rtsqpc 中，qp22=cq2，即（23t）+（ 14 4t）22=（ 5t）解之得，求得 bc=12 ，cp=14 4t=7 10，cq=5t= 12，所以，存在t=時，使得p 點在線段dc 上，且 pqdc 專題 3：三角形的中位線定理 ：三角形的中位線平行于第三

16、邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半；逆定理一： 在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線；逆定理二 ：在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線；【例 3】直角三角形aob 在平面直角坐標系中如下列圖，o 與坐標原dheagbcf點重合， 點 a 在 x 軸上，點 b 在y 軸上， ob=2， bao=30 °，將 aob 沿直線 be 折疊，使得ob 邊落在 ab 上，點 o 與點 d 重合（ 1）求直線be 的解析式；（ 2）求點 d 的坐標；（ 3）點 p 是 x 軸上的動點，使 pab 是等腰三角形

17、，直接寫出p 點的坐標；（ 4）點 m 是直線 be 上的動點，過m 點作 ab 的平行線交y 軸于點 n，是否存在這樣的點m ，使得以點m 、n 、d、b 為頂點的四邊形是平行四邊形？假如存在，懇求出全部m 點的坐標；假如不存在說明理由5勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程考點 ：一次函數綜合題；正比例函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；專題 ：運算題；分析： 先利用直角三角形的性質（直角三角形中，假如有一個角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）和勾股定理求出點的坐標e（ 2，0），進一步用待定系數法求出一次函數的解析式y=x+2解

18、答： 解：（ 1） bao=30 ° abo=60 °， 沿 be 折疊 o d 重合 ebo=30 °， oe=be，設 oe=x ，就（ 2x）2 =x2+， x=2 ， 即 be=4 ，e（ 2，0），設 y=kx+b' 代入得；解得， 直線 be 的解析式是：，（ 2）過 d 作 dg oa 于 g， 沿 be 折疊 od 重合， de=2 ， dae=30 ° dea=60 ° ade= boe=90 °， ge=1 ， dg=， og=1+2=3 ， d 的坐標是： d；（ 3） p1（ 2， 0）；p2（ 6，0

19、）；6勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程（ 4）存在 過 d 作 dm y 軸交 be 于 m ，過 m 作 ab 平行線交y 軸于 n ， m 1就 m 的橫坐標是x= 3，代入直線be 的解析式得：y= ， m 1（ 3，）， 同法可求m 2（ 3， 5）， m 點的坐標是： （ 3，）和（ 3， 5）變式練習直線 y=- 34x+6與坐標軸分別交于a、b 兩點，動點p、q同時從 o點動身，同時到達a 點，運動停止點 q沿線段 oa運動，速度為每秒1 個單位長度，點p 沿路線 o. b. a 運動（ 1）直接寫出a、b 兩點的坐標；（ 2）設點 q的

20、運動時間為t （秒）， opq的面積為s，求出 s 與 t 之間的函數關系式；（ 3）當 s= 485 時，求出點p 的坐標，并直接寫出以點o、p、q為頂點的平行四邊形的第四個頂點m的坐標分析：（ 1）分別令y=0 ， x=0，即可求出a、 b的坐標；（ 2）由于 oa=8， ob=6，利用勾股定理可得ab=10，進而可求出點q由 o到 a 的時間是 8 秒，點 p 的速度是 2，從而可求出，當 p 在線段 ob上運動（或 0t 3）時， oq=t，op=2t，s=t2 ，當 p 在線段 ba 上運動（或 3t 8）時， oq=t， ap=6+10-2t=16-2t ，作 pd oa于點 d，

21、由相像三角形的性質，得 pd=48-6t5 ，利用 s= 12oq×pd，即可求出答案；（ 3）令 s=485，求出 t 的值，進而求出od、pd，即可求出p 的坐標，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結合簡潔的運算即可寫出m的坐標解答：7勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程解：（ 1） y=0， x=0 ，求得 a（8， 0） b（ 0， 6），（ 2） oa=8， ob=6， ab=10點 q由 o到 a 的時間是 81=8 （秒），點 p 的速度是6+108=2 （單位長度 / 秒）當 p 在線段 ob上運動（或ot 3）時， oq=t， o

22、p=2t， s=t2 當 p 在線段 ba上運動（或3t 8）時，oq=t， ap=6+10-2t=16-2t，如圖，做pd oa于點 d，由 pdbo=apa，b 得 pd= 48-6t5 s= 12oq.pd=- 35t2+245t（ 3）當 s= 485 時， 485 12×3×6點p 在 ab上當 s= 485 時， - 35t2+245t= 485 t=4 pd= 48- 6×45= 245 ， ad=16-2×4=8ad= 82-2452= 325 od=8- 325= 85 p（ 85 ， 245 ）m1（ 285 ， 245 ）， m2（

23、 - 125 ， 245 ）， m3（ 125 ， - 245 ）點評：此題主要考查梯形的性質及勾股定理在解題（2）時，應留意分情形進行爭論，防止在解題過程中顯現漏解現象專題 4： 中位線及平行四邊形中的運算例 5、如圖，在直角梯形abcd 中， ad bc ， b=90°，ad=24cm ， ab=8cm ，bc=26cm ，動點 p從 a 開頭沿 ad 邊向 d 以 1cm/s 的速度運動； 動點 q 從點 c 開頭沿 cb 邊向 b 以 3cm/s 的速度運動 p 、q 分別從點a、 c 同時動身，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為ts（ 1）當t 為何

24、值時，四邊形pqcd為平行四邊形？（ 2）當t 為何值時，四邊形pqcd為等腰梯形？（ 3）當t 為何值時，四邊形pqcd為直角梯形？8勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程分析：（ 1）四邊形pqcd 為平行四邊形時pd=cq （ 2）四邊形pqcd 為等腰梯形時qc-pd=2ce（ 3）四邊形pqcd 為直角梯形時qc-pd=ec全部的關系式都可用含有t 的方程來表示，即此題只要解三個方程即可解答：解：（ 1）四邊形pqcd平行為四邊形 pd=cq 24-t=3t解得： t=6即當 t=6 時，四邊形pqcd平行為四邊形（ 2）過 d 作 de bc 于

25、 e就四邊形 abed為矩形 be=ad=24cm ec=bc-be=2cm四邊形 pqcd為等腰梯形 qc-pd=2ce即 3t- （ 24-t ） =4解得： t=7 （ s）即當 t=7 （ s ）時，四邊形pqcd 為等腰梯形（ 3）由題意知：qc-pd=ec時，四邊形 pqcd 為直角梯形即3t- （ 24-t ） =2解得： t=6.5 （ s）即當 t=6.5 （ s ）時，四邊形pqcd 為直角梯形點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中變式練習9勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程如圖，直角梯形abcd 中，

26、 ad bc ， abc=90° ，已知 ad=ab=3 ，bc=4 ，動點 p 從 b 點動身，沿線 段 bc 向點 c 作勻速運動；動點q 從點 d 動身，沿線段da 向點 a 作勻速運動過q 點垂直于ad 的射線交 ac 于點 m ，交 bc 于點 np 、q 兩點同時動身， 速度都為每秒1 個單位長度 當 q 點運動到 a 點， p、 q 兩點同時停止運動設點q 運動的時間為t 秒（ 1）求 nc ， mc 的長（用t 的代數式表示） ；（ 2）當 t 為何值時，四邊形pcdq 構成平行四邊形；（ 3）是否存在某一時刻，使射線qn 恰好將 abc 的面積和周長同時平分？如存在

27、，求出此時t 的值；如不存在，請說明理由；（ 4）探究： t 為何值時，pmc 為等腰三角形分析：（ 1）依據題意易知四邊形abnq 是矩形 nc=bc-bn=bc-aq=bc-ad+dq，bc 、ad 已知， dq 就是 t ，即解； ab qn ， cmn cab ， cm ： ca=cn ：cb ，（ 2 ）cb 、cn已知，依據勾股定理可求 ca=5 ，即可表示cm ；四邊形 pcdq 構成平行四邊形就是pc=dq ，列方程 4-t=t 即解；（ 3）可先依據qn 平分 abc 的周長，得出mn+nc=am+bn+ab，據此來求出t 的值然后依據得出的 t 的值，求出 mnc 的面積，

28、即可判定出mnc 的面積是否為abc 面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t 值（ 4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情形進行爭論：當 mp=mc時，那么pc=2nc ，據此可求出t 的值當 cm=cp時，可依據cm 和 cp 的表達式以及題設的等量關系來求出t 的值當 mp=pc時，在直角三角形mnp 中，先用t 表示出三邊的長，然后依據勾股定理即可得出t 的值綜上所述可得出符合條件的t 的值解答 :解：（ 1） aq=3-t cn=4- （ 3-t ） =1+t在 rt abc 中， ac2=ab2+bc2=32+42 ac=5在 rt mnc 中， cos ncm=， cm=

29、（ 2）由于四邊形pcdq 構成平行四邊形 pc=qd ，即 4-t=t解得 t=2 （ 3）假如射線qn 將 abc 的周長平分，就有：mn+nc=am+bn+ab10勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程即：（ 1+t ） +1+t=（ 3+4+5 ）解得： t=（ 5 分）而 mn=nc=（1+t ） s mnc=（1+t ）2=（ 1+t ） 2當 t=時， smnc= （ 1+t ） 2=×4×3不存在某一時刻t，使射線qn 恰好將 abc 的面積和周長同時平分（ 4）當 mp=mc時（如圖1）就有： np=nc即 pc=2nc

30、 4-t=2 （1+t ）解得： t=當 cm=cp時（如圖2）就有：（ 1+t ） =4-t解得： t=當 pm=pc時（如圖3）就有：在 rt mnp中， pm2=mn2+pn2而 mn=nc=（ 1+t ）pn=nc-pc（= 1+t ） - （ 4-t ） =2t-3 （ 1+t ） 2+ （ 2t-3 ） 2=（ 4-t ） 2解得： t1=， t2=-1 （舍去）11勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程當 t=，t=， t=時， pmc為等腰三角形點評：四、強化練習：1如圖在abcd 中， ab 6、ad 9， bad 的平分線交bc 于點 e

31、，dc 的延長線于點f, bg ae ，垂足為 g，如 bg 42 ，就 cef 的面積是a 、22b 、2c、32d、42答案 ： a解析 ：在 .abcd中 ， ab=cd=6 ，ad=bc=9 ， bad的平分線交 bc 于 點 e， baf= daf，ab df， baf= f， f=daf ， adf是等腰三角形，ad=df=9 ； ab=cd=6 ， cf=3； bea= daf baf ，所以， ba be ， 在 abg 中， bg ae ， ab=6 ，bg= 42可得： ag=2 ，又 bg ae ， ae=2ag=4 ， abe 的面積等于82 ，又 .abcd ， ce

32、f bea ，相像比為1： 2，面積 1： 4， cef 的面積為 ,22 2、在 .abcd中，以下結論肯定正確選項（）a ac bdb a+ b=180 °cab=add a c考點 ：平行四邊形的性質分析： 由四邊形abcd 是平行四邊形，可得ad bc，即可證得 a+ b=180 °解答： 解： 四邊形 abcd是平行四邊形， ad bc， a+ b=180 °應選 b 3.四邊形 abcd中，對角線 ac、bd 相交于點o，以下條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）a a b dc ， ad bcb a b=dc ， ad=bcc a o=co ，

33、bo=dod a b dc ， ad=bc12勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程考點 ： 平行四邊形的判定分析： 依據平行四邊形判定定理進行判定解答： 解： a、由 “ab dc ， ad bc”可知，四邊形abcd 的兩組對邊相互平行，就該四邊形是平行四邊形故本選項不符合題意；b 、由 “ab=dc ，ad=bc ”可知，四邊形abcd的兩組對邊相等，就該四邊形是平行四邊形故本選項不符合題意；c、由“ao=co ，bo=do ”可知，四邊形 abcd的兩條對角線相互平分，就該四邊形是平行四邊形故本選項不符合題意；d 、由“ab dc ，ad=bc ”可

34、知，四邊形abcd 的一組對邊平行，另一組對邊相等，據此不能判定該四邊形是平行四邊形故本選項符合題意；應選 d點評： 此題考查了平行四邊形的判定（ 1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（ 2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（ 3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（ 4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（ 5）對角線相互平分的四邊形是平行四邊形4.如圖，在平行四邊形abcd中， ab=4 ，bad 的平分線與bc 的延長線交于點e，與 dc 交于點 f，且點 f 為邊 dc 的中點， dg ae ，垂足為g，如 dg=1 ，就 ae 的邊長為（）a 2b 4c4d 8考點 ：

35、 平行四邊形的性質；等腰三角形的判定與性質；含30 度角的直角三角形；勾股定理專題 ： 運算題分析： 由 ae 為角平分線，得到一對角相等，再由abcd 為平行四邊形，得到ad 與 be 平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到ad=df ，由 f 為 dc 中點， ab=cd ，求出 ad 與 df 的長， 得出三角形adf 為等腰三角形， 依據三線合一得到g 為 af 中點， 在直角三角形adg 中，由 ad 與 dg 的長，利用勾股定理求出ag 的長，進而求出af 的長，再由三角形adf 與三角形ecf 全等，得出af=ef ，即可求出ae 的長解答： 解：

36、 ae 為 adb 的平分線， dae= bae ， dc ab ， bae= dfa ， dae= dfa ， ad=fd ，又 f 為 dc 的中點， df=cf ， ad=df=dc=ab=2，在 rt adg 中，依據勾股定理得：ag=，13勵志語錄 :既然挑選了遠方，就必需風雨兼程！既然挑選了遠方，就必需風雨兼程就 af=2ag=2，在 adf 和 ecf 中， adf ecf（ aas ）， af=ef ，就 ae=2af=4應選 b點評： 此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，嫻熟把握平行四邊形的判定與性質是解此題的關鍵五、訓練輔導

37、專題 4： 中考真題例 7. 如圖，在直角梯形oabc 中， oa cb ，a 、b 兩點的坐標分別為a（ 15，0），b（ 10，12），動點 p、q 分別從 o、b 兩點動身， 點 p 以每秒 2 個單位的速度沿oa 向終點 a 運動， 點 q 以每秒 1 個單位的速度 沿 bc 向 c 運動，當點 p 停止運動時， 點 q 也同時停止運動 線段 ob 、pq 相交于點d，過點 d 作 de oa ，交 ab 于點 e，射線 qe 交 x 軸于點 f設動點pq 運動時間為t（單位：秒） （ 1）當 t 為何值時，四邊形pabq 是等腰梯形，請寫出推理過程；（ 2）當 t=2 秒時，求梯形ofbc 的面積；（ 3）當 t 為何值時， pqf 是等腰三角形？請寫出推理過程考點 ： 等腰梯形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；平行線分線段成比例專題 ： 壓軸題；動點型；分類爭論分析： （ 1）可通過構建直角三角形來求解過b 作 bg oa 于 g