1、【2021 年中考攻略】專題3：動態幾何之定值問題探討動態題是近年來中考的的一個熱點問題，動態包括點動、 線動和面動三大類，解這類題目要 “以靜制動 ”，即把動態問題， 變為靜態問題來解，而靜態問題又是動態問題的特別情形； 常見的題型包括最值問題、面積問題、和差問題、定值問題和存在性問題等；前面我們已經對最值問題、面積問題、和差問題進行了探討，本專題對定值問題進行探討；結合 2021 年和 2021 年全國各地中考的實例，我們從三方面進行動態幾何之定值問題的 探討：（ 1）線段（和差）為定值問題；（ 2）面積（和差）為定值問題；（ 3）其它定值問題；一、線段（和差）為定值問題：典型例題：例 1

2、：（ 2021 黑龍江綏化8 分）如圖，點 e 是矩形 abcd的對角線bd 上的一點， 且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，點 p 為直線 ec 上的一點，且pqbc 于點 q， pr bd 于點 r（1）如圖 1，當點 p 為線段 ec 中點時，易證：pr+pq=12 （不需證明）5（2）如圖 2，當點 p 為線段 ec 上的任意一點（不與點e、點 c 重合）時，其它條件不變，就（ 1）中的結論是否仍舊成立？如成立，請賜予證明；如不成立，請說明理由（3）如圖 3，當點 p 為線段 ec 延長線上的任意一點時，其它條件不變，就pr 與 pq 之間又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜

3、想【答案】 解：（ 2）圖 2 中結論 prpq= 12 仍成立；證明如下：5連接 bp，過 c 點作 ck bd 于點 k ；四邊形abcd 為矩形，bcd=9°0；又 cd=ab=3 ，bc=4 ， bdcd 2bc 232425 ；s1bcd =21bc.cd=212bd.ck ， 3×4=5ck ， ck=；5s bcp，s1bce =2be.ck ， s1bep=2pr.be， s1bcp=2pq.bc，且sbce=sbep 1 be.ck= 122pr.be 12pq.bc；又 be=bc ， 121ck=21pr2pq； ck=pr pq；又 ck= 12 ，

4、 pr pq= 12 ；55（ 3）圖 3 中的結論是pr pq= 12 5【考點】 矩形的性質，三角形的面積，勾股定理；【分析】（ 2）連接 bp，過 c 點作 ck bd 于點 k 依據矩形的性質及勾股定理求出 bd 的長，依據三角形面積相等可求出 ck 的長，最終通過等量代換即可證明；（3）圖 3 中的結論是pr pq=125 ；連接 bp ， s bpe s bcp=sbec ， s bec 是固定值， be=bc為兩個底， pr， pq 分別為高，從而pr pq= 12 ；5例 2：（ 2021 江西省 10 分） 如圖， 已知二次函數l 1：y=x 2 4x+3 與 x 軸交于 a

5、 b 兩點（點a 在點 b 左邊），與 y 軸交于點c（1）寫出二次函數l 1 的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（2）爭論二次函數l 2： y=kx 24kx+3k （ k0）寫出二次函數l2 與二次函數l 1 有關圖象的兩條相同的性質；是否存在實數k，使 abp 為等邊三角形？假如存在，懇求出k 的值；如不存在，請說明理由；如直線y=8k 與拋物線l 2 交于 e、 f 兩點，問線段ef 的長度是否發生變化？假如不會，懇求出 ef 的長度；假如會，請說明理由2【答案】 解：（ 1）拋物線yx24x3x21，二次函數l 1 的開口向上，對稱軸是直線x=2 ，頂點坐標（2， 1）；（ 2）二次函數

6、l 2 與 l 1 有關圖象的兩條相同的性質：對稱軸為x=2；都經過a （ 1， 0），b （ 3， 0）兩點；存在實數k，使 abp 為等邊三角形2 ykx24kx3kk x2k ，頂點p（ 2， k ） a （1， 0）， b（ 3，0）， ab=2要使 abp 為等邊三角形，必滿意| k|=3 ， k=± 3 ；線段 ef 的長度不會發生變化；直線 y=8k 與拋物線l 2 交于 e、f 兩點， kx 2 4kx+3k=8k ， k0， x2 4x+3=8 ；解得： x 1= 1， x 2=5 ； ef=x 2x 1=6 ；線段 ef 的長度不會發生變化；【考點】 二次函數綜合

7、題，二次函數的性質，等邊三角形的性質，解直角三角形；【分析】（ 1）拋物線y=ax2+bx+c 中： a 的值打算了拋物線的開口方向，a 0 時，拋物線的開口向上； a 0 時，拋物線的開口向下；拋物線的對稱軸方程和頂點坐標，可化為頂點式或用公式求解；（ 2）新函數是由原函數的各項系數同時乘以k 所得，因此從二次函數的圖象與解析式的系數的關系入手進行分析；當 abp 為等邊三角形時，p 點必為函數的頂點，第一表示出p 點縱坐標，它的肯定值正好是等邊三角形邊長的32倍，由此確定k 的值；聯立直線和拋物線l 2 的解析式，先求出點e、f 的坐標，從而可表示出ef 的長，如該長度為定值，就線段ef

8、的長不會發生變化；例 3：（ 2021 山東德州 12 分） 如下列圖，現有一張邊長為 4 的正方形紙片 abcd ，點 p 為正方形 ad 邊上的一點（不與點 a 、點 d 重合）將正方形紙片折疊，使點 b 落在 p 處，點c 落在 g 處， pg 交 dc 于 h，折痕為 ef，連接 bp、bh （1）求證： apb= bph ；（2）當點 p 在邊 ad 上移動時，pdh 的周長是否發生變化？并證明你的結論；（3）設 ap 為 x，四邊形 efgp 的面積為s，求出 s 與 x 的函數關系式，試問s 是否存在最小值？如存在，求出這個最小值；如不存在，請說明理由【答案】 解：（ 1）如圖

9、1， pe=be， ebp= epb又 eph= ebc=90° ， eph epb= ebc ebp，即 pbc= bph；又 ad bc， apb= pbc； apb= bph；（ 2） phd 的周長不變為定值8；證明如下：如圖 2，過 b 作 bq ph，垂足為q；由（ 1）知 apb= bph，又 a= bqp=9°0 ， bp=bp ， abp qbp （ aas ）； ap=qp ， ab=bq ；又 ab=bc ， bc=bq ；又 c= bqh=9°0， bh=bh ， bch bqh （ hl ）； ch=qh ； phd 的周長為： pd+d

10、h+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8；（ 3）如圖 3，過 f 作 fm ab ，垂足為m ，就 fm=bc=ab ；又 ef 為折痕， ef bp； efm+ mef= abp+ bef=90°； efm= abp ；又 a= emf=9°0， ab=me ， efm bpa （asa ）；em=ap=x 在 rt ape 中，（ 4 be）2+xx 222=be ，即be2+ x；28 cfbeem2+x ；8又四邊形pefg 與四邊形befc 全等，11x 21212 sbecfbc=4+x4=x2x+8=x2+6 ；22422 0 <1 <

11、4 ，當 x=2 時， s 有最小值6；2【考點】 翻折變換（折疊問題） ，正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的最值；【分析】（ 1）依據翻折變換的性質得出pbc= bph ，進而利用平行線的性質得出apb= pbc 即可得出答案；（ 2）先由 aas 證明 abp qbp，從而由hl 得出 bch bqh ，即可得ch=qh ；因此， pdh 的周長 =pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8為定值；（ 3）利用已知得出efm bpa ，從而利用在rt ape 中，（ 4 be） 2+x22=be ，利用二次函數的最值求出即可；例 4：（ 2

12、021 福建泉州12 分） 已知： a 、b、 c 不在同始終線上.（1）如點 a 、b、 c 均在半徑為r 的 o 上，i ）如圖一，當a=45°時， r=1，求 boc 的度數和bc 的長度；bcii ）如圖二，當a 為銳角時，求證sin a=；2r（2）.如定長線段 bc 的兩個端點分別在man 的兩邊 am 、an （b 、c 均與點 a 不重合）滑動，如圖三，當man=6°0，bc=2 時，分別作bpam ，cp an ，交點為點p ，摸索索：在整個滑動過程中，p、a 兩點的距離是否保持不變？請說明理由.【答案】 解：（ 1） i） a=45°， boc

13、=90°（同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半）；又 r=1，由勾股定理可知bc=11=2 ；ii ）證明：連接bo 并延長，交圓于點e，連接 ec；可知 ec bc （直徑所對的圓周角為90°），且 e= a （同弧所對的圓周角相等）；bcbc故 sin a=sin a=；be2r（ 2）保持不變；理由如下：如圖，連接ap ，取 ap 的中點 k，連接 bk 、ck ，在 rt apc 中， ck= 12同理得： bk=ak=pk；ap=ak=pk ；ck=bk=ak=pk；點 a、 b、p、c 都在 k 上；由（ 1） ii ） sin a= bc2r可知 sin6

14、0 °= bc ；apap=bc43sin603（為定值）；【考點】 三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數定義，特別角的三角函數值，直角三角形中線性質；【分析】（ 1）i ）依據圓周角定理得出boc=2 a=90°，再利用勾股定理得出bc 的長；bcbc出即可；ii ）作直徑ce，就 e= a ， ce=2r，利用 sin a=sin e=，得be2r（ 2 ）第一證明點a 、 b 、 p 、 c都在 k上，再利用sin a= bc2r，得出ap=bc43sin603（定值）即可；例 5：（ 2021 山東濰坊11 分） 如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于

15、a 2， o 、b2 ， 0、 c0， l 三點，過坐標原點o 的直線 y=kx 與拋物線交于m 、n 兩點分別過點c、d0 ，2 作平行于 x 軸的直線l1 、 l 2 1 求拋物線對應二次函數的解析式；2 求證以 on 為直徑的圓與直線l1 相切；3 求線段 mn 的長 用 k 表示 ，并證明m 、n 兩點到直線l 2 的距離之和等于線段mn的長【答案】 解：（ 1）設拋物線對應二次函數的解析式為y=ax 2 bx c，14a2b+c=0就4a+2b+c=0 c=1a=4解得b=0；c=1拋物線對應二次函數的解析式所以y= 1 x 21；4（ 2）設 mx 1， y1 ， nx 2 ，y2

16、，由于點m 、n 在拋物線上，12122 y1=x11，y 2 =x 21 ， x 2 =4y 2+1 ；442又 on22x 2y24 y221y 2y222， ony 22 ；又 y 2 l， on=2 y2；設 on 的中點 e，分別過點n、e 向直線l1 作垂線，垂足為 p、 f， 就efocnp 22y 2 ，2on=2ef ，即 on 的中點到直線l1 的距離等于on 長度的一半，以 on 為直徑的圓與l 1 相切；（3）過點m作mh np交np于點h，就mn 2mh 2nh 22x 2x12y 2y1，又 y 1=kx 1， y 2=kx 2，（ y 2 y 12=k 2x 2x

17、 12； mn 2=1+k 2x 2 一 xl 2；又點 m 、n 既在 y=kx 的圖象上又在拋物線上， kx=1 x 241 ，即 x2 4kx 4=0 ， x2 x1 =4k ， x2·x 1= 4；mn=41+k 2 ；2mn=1+k2x 2一x l2=1+k2x 2 xl 2 4x2 2；2·xl=161+k 延長 np 交 l 2 于點 q，過點 m 作 ms l 2 交 l 2 于點 s，就 ms nq=y 2 y 2= 1 x 2121+41= 1x 2 +x 221+2=412x +x1+x 2412xx+2=16k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1

18、+k 2412412124 ms+nq=mn ，即 m 、n 兩點到l 2 距離之和等于線段mn 的長；【考點】 二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，中點坐標的求法，直線與圓相切的條件，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理；【分析】（ 1）依據點在曲線上，點的坐標滿意方程的關系，用待定系數法即可求出拋物線對應二次函數的解析式；（2）要證以on 為直徑的圓與直線l1 相切，只要證on 的中點到直線l1 的距離等于on 長的一半即可；（3）運用一元二次方程根與系數的關系，求出mn 和 m 、n 兩點到直線l 2 的距離之和，相比較即可；例 6：（ 2021 湖北咸寧10 分）

19、如圖 1，矩形 mnpq 中，點 e，f，g，h 分別在 np，pq，qm ，mn 上，如1234 ，就稱四邊形efgh 為矩形 mnpq 的反射四邊形圖2，圖3，圖 4 中，四邊形abcd為矩形，且ab=4 ，bc=8 懂得與作圖：（ 1）在圖 2，圖 3 中，點 e， f 分別在 bc， cd 邊上，試利用正方形網格在圖上作出矩形 abcd 的反射四邊形efgh 運算與猜想：（ 2）求圖 2，圖 3 中反射四邊形efgh 的周長，并猜想矩形abcd的反射四邊形的周長是否為定值？啟示與證明：（ 3）如圖 4，為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長gf 交 bc 的延長線于m ，試利用小華同學給我

20、們的啟示證明（2）中的猜想【答案】 解：（1）作圖如下：（ 2）在圖 2 中，effgghhe22422025 ，四邊形efgh 的周長為 85 ；1在圖 3 中，efgh222225 ，fghe364535 ，四邊形efgh 的周長為 2523585 ；猜想：矩形abcd的反射四邊形的周長為定值；（ 3）延長 gh 交 cb 的延長線于點n ，12 ，15 ，25 ；又 fc=fc ， rt fce rtfcm （ asa ）； ef=mf ， ec=mc ；同理： nh=eh ， nb=eb ； mn=2bc=16 ；m905901，n903 ， 13 ，mn ； gm=gn ；過點 g

21、作 gk bc 于 k ，就 km1mn8 ；222 gmgkkm224845 ；四邊形efgh 的周長為 2gm85 ；矩形abcd的反射四邊形的周長為定值；【考點】 新定義，網格問題，作圖（應用與設計作圖），勾股定理，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的判定和性質；【分析】（ 1）依據網格結構，作出相等的角即可得到反射四邊形；（2）圖 2 中，利用勾股定理求出ef=fg=gh=he的長度，然后即可得到周長，圖3 中利用勾股定理求出ef=gh ，fg=he 的長度，然后求出周長，從而得到四邊形efgh 的周長是定值；（3）延長 gh 交 cb 的延長線于點 n，再利用 “asa”

22、證明 rt fce 和 rt fcm 全等，依據全等三角形對應邊相等可得 ef=mf ， ec=mc ，同理求出 nh=eh ， nb=eb ，從而得到 mn=2bc ，再證明 gm=gn ，過點 g 作 gk bc 于 k ，依據等腰三角形三線合一的性質求出 km周長；1 mn8 ，再利用勾股定理求出gm 的長度，然后即可求出四邊形efgh 的2例 7：（ 2021 廣西崇左10 分） 如下列圖，在正方形abcd 中，點 e、f 分別在 bc、cd 上移動，但點a到 ef 的距離 ah 始終保持與 ab 的長度相等，問在點 e、f 移動過程中；（ 1） eaf 的大小是否發生變化？請說明理由

23、.（ 2） ecf 的周長是否發生變化？請說明理由.練習題：1. （ 2021 湖南岳陽 8 分） 如圖，將菱形紙片 ab （ e）cd （f）沿對角線 bd（ ef）剪開， 得到 abd 和 ecf，固定 abd ，并把 abd 與 ecf 疊放在一起（1）操作：如圖，將 ecf 的頂點 f 固定在 abd 的 bd 邊上的中點處， ecf 繞點 f 在 bd 邊上方左右旋轉，設旋轉時 fc 交 ba 于點 h（ h 點不與 b 點重合）， fe 交 da 于點g（ g 點不與 d 點重合）求證： bh.gd=bf 2（2）操作：如圖，ecf 的頂點 f 在 abd 的 bd 邊上滑動（ f

24、 點不與 b 、d 點重合），且 cf 始終經過點a ，過點 a 作 ag ce，交 fe 于點 g，連接 dg 探究： fd+dg=請予證明2. （ 2021 四川眉山11 分） 如圖，在直角坐標系中，已知點a （ 0， 1）， b （ 4， 4），將點b 繞點 a 順時針方向旋轉90°得到點 c；頂點在坐標原點的拋物線經過點b （1）求拋物線的解析式和點c 的坐標；（2）拋物線上一動點p，設點 p 到 x 軸的距離為d1，點 p 到點 a 的距離為 d2，試說明 d2=d11；（3）在（ 2）的條件下，請探究當點p 位于何處時，pac 的周長有最小值，并求出pac的周長的最小值3

25、. （ 2021 湖南郴州10 分） 如圖， rt abc 中， a=30°， bc=10cm ，點 q 在線段 bc 上從 b 向 c 運動，點 p 在線段 ba 上從 b 向 a 運動 q、p 兩點同時動身，運動的速度相同， 當點 q 到達點 c 時，兩點都停止運動作pm pq 交 ca 于點 m ，過點 p 分別作 bc 、ca的垂線，垂足分別為e、f（1）求證： pqe pmf ；（2）當點 p、 q 運動時，請猜想線段pm 與 ma 的大小有怎樣的關系？并證明你的猜想；（3）設 bp= x ， pem 的面積為y ，求 y 關于 x 的函數關系式，當x 為何值時，y 有最大

26、值，并將這個值求出來4. （ 2021 遼寧營口14 分） 已知正方形abcd ，點 p 是對角線 ac 所在直線上的動點，點e在 dc 邊所在直線上，且隨著點p 的運動而運動，pepd 總成立1如圖 1 ，當點 p 在對角線ac 上時，請你通過測量、觀看，猜想pe 與 pb 有怎樣的關系？ 直接寫出結論不必證明；2如圖 2 ，當點 p 運動到 ca 的延長線上時，1 中猜想的結論是否成立？假如成立，請給出證明；假如不成立，請說明理由；3如圖 3 ，當點 p 運動到 ca 的反向延長線上時，請你利用圖 3 畫出滿意條件的圖形，并判定此時pe 與 pb 有怎樣的關系？直接寫出結論不必證明125.

27、 （ 2021 貴州遵義12 分） 如圖，梯形abcd中， ad bc， bc 20cm， ad 10cm，現有兩個動點 p、q分別從 b、d 兩點同時動身，點 p 以每秒 2cm 的速度沿 bc 向終點 c 移動，點 q 以每秒 1cm的速度沿 da向終點 a 移動，線段pq 與 bd 相交于點 e，過 e 作 ef bc 交 cd 于點 f，射線 qf 交 bc的延長線于點h ，設動點 p、q 移動的時間為t（單位：秒， 0<t<10 ）（1）當 t 為何值時，四邊形pcdq 為平行四邊形？（2）在 p、q 移動的過程中，線段ph 的長是否發生轉變？假如不變，求出線段ph 的長

28、；假如轉變，請說明理由6.（ 2021 黑龍江龍東五市8 分）如圖，點 e 是矩形 abcd 的對角線bd 上的一點，且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，點 p 為直線 ec 上的一點，且pqbc 于點 q， pr bd 于點 r；（1）如圖 1，當點 p 為線段 ec 中點時，易證：pr+pq= 12 （不需證明） ；5（2）如圖 2，當點 p 為線段 ec 上的任意一點（不與點e、點 c 重合）時，其它條件不變，就（ 1）中的結論是否仍舊成立？如成立，請賜予證明；如不成立，請說明理由；（3）如圖 3，當點 p 為線段 ec 延長線上的任意一點時，其它條件不變，就pr 與 pq 之間

29、又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想；二、面積（和差）為定值問題：典型例題：例 1：（ 2021 湖北十堰3 分） 如圖， o 是正 abc 內一點， oa=3 ， ob=4 ， oc=5 ，將線段 bo 以點 b 為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段bo，以下結論：boa可以由 boc繞點 b 逆時針旋轉60°得到；點 o 與 o的距離為 4； aob=15°0； s四 邊形aobo=6+33 ； s aocs aob6+ 934其中正確的結論是【】a b cd【答案】 a ；【考點】 旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定

30、理；【分析】 正 abc ， ab=cb ， abc=60 0 ；線段bo以點b為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段bo， bo=bo ， oao=600； oba=600 abo= oba ； boa boc ； boa可以由 boc 繞點 b 逆時針旋轉60°得到；故結論正確；連接 oo， bo=bo，oao=600， obo是等邊三角形； oo=ob=4；故結論正確；在 aoo中，三邊長為oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3 ，是一組勾股數， aoo 是直角三角形；=150 °；故結論正確； aob= aoo oob =90 0 600sss13 4+ 1

31、4 236+43；故結論錯誤；四 邊形 aoboaooobo22如下列圖，將aob 繞點 a 逆時針旋轉60°，使得 ab 與 ac 重合，點 o 旋轉至 o點易知 aoo 是邊長為3 的等邊三角形，coo 是邊長為3、4、5 的直角三角形；就 sssss1 3 4+ 1 3 33 =6+ 93 ；aocaobaococooaoo故結論正確；2224綜上所述，正確的結論為：；應選a ；例 2：（ 2021 廣西玉林、防城港12 分） 如圖，在平面直角坐標系x o y 中，矩形 aocd 的頂點 a 的坐標是（ 0,4），現有兩動點 p、 q，點 p 從點 o 動身沿線段 oc（不包括

32、端點 o，c）以每秒 2 個單位長度的速度， 勻速向點 c 運動，點 q 從點 c 動身沿線段 cd（不包括端點 c， d）以每秒 1 個單位長度的速度勻速向點 d 運動 .點 p，q 同時動身，同時停止，設運動時間為 t 秒，當 t=2 秒時 pq= 25 .（1）求點 d 的坐標，并直接寫出t 的取值范疇；（2）連接 aq 并延長交 x 軸于點 e,把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延長線于點 f,連接 ef，就 aef的面積 s 是否隨 t 的變化而變化？如變化，求出 s 與 t 的函數關系式；如不變化，求出 s 的值.（3）在（ 2）的條件下， t 為何值時，四邊形 apqf 是梯形？

33、2【答案】 解：（ 1）由題意可知，當 t=2（秒）時， op=4， cq=2 ，在 rt pcq 中，由勾股定理得：pc=pq2cq 22522=4 ， oc=op+pc=4+4=8 ；又矩形aocd ， a （ 0，4）， d（ 8，4）；t 的取值范疇為：0 t 4；（ 2）結論： aef 的面積 s 不變化； aocd 是矩形， ad oe， aqd eqc ； cecq ，即addqcet84t，解得 ce=8t；4t由翻折變換的性質可知：df=dq=4 t，就 cf=cd+df=8 t；s=s 梯形 aocf s fce s aoe =1 （ oa+cf ） .oc+21cf.ce

34、21oa.oe21=4 （ 8 t） ×8+21 8t（ 8t ） .2 4t 1 ×4×（88t）；24t化簡得： s=32 為定值；所以 aef 的面積 s 不變化， s=32；（ 3）如四邊形apqf 是梯形，由于ap 與 cf 不平行，所以只有pq af ；由 pq af 可得： cpq daf ； cp： ad=cq ： df ，即 8 2t： 8= t ： 4 t，化簡得t2 12t16=0 ，解得： t1=6+25 ， t2= 625 ；由（ 1）可知， 0 t 4， t1=6+25 不符合題意，舍去；當 t= 625 秒時，四邊形apqf 是梯形；

35、【考點】 動點和翻折問題，矩形的性質，勾股定理，翻折對稱的性質，相像三角形的判定和性質，梯形的性質，解一元二次方程；【分析】（1）由勾股定理可求pc 而得點 c 的坐標，依據矩形的性質可得點d 的坐標；點p 到達終點所需時間為8÷2=4 秒， 點 q 到達終點所需時間為4÷1=4 秒， 由題意可知， t 的取值范疇為： 0 t4；（2）依據相像三角形和翻折對稱的性質，求出s 關于 t 的函數關系式，由于關系式為常數，所以aef 的面積 s 不變化， s=32；（3）依據梯形的性質，應用相像三角形即可求解；例 3：（ 2021 江蘇蘇州 9 分） 如圖，正方形abcd 的邊

36、ad 與矩形 efgh 的邊 fg 重合，將正方形 abcd以 1cm/s 的速度沿fg 方向移動，移動開頭前點a 與點 f 重合 .在移動過程中，邊ad 始終與邊 fg 重合，連接 cg，過點 a 作 cg 的平行線交線段gh 于點 p，連接 pd.已知正方形abcd 的邊長為1cm，矩形 efgh的邊 fg、gh 的長分別為4cm、 3cm.設正方形移動時間為x （ s），線段 gp 的長為 y （ cm），其中0 x 2.5.試求出 y 關于 x 的函數關系式，并求出y =3 時相應 x 的值；記 dgp 的面積為s1， cdg 的面積為 s2試說明s1 s2 是常數；當線段 pd 所在

37、直線與正方形abcd 的對角線ac 垂直時，求線段pd 的長 .【答案】 解：（ 1） cg ap， cgd= pag，就 tancgd= tanpag ； cd= pg ；gdag gf=4 ， cd=da=1 ， af=x ， gd=3 x ，ag=4 x；1=y，即y= 4x ； y 關于 x 的函數關系式為y= 4x ；3x4x3x3x當 y =3 時， 3= 4x ，解得 :x=2.5 ；3x（2） s = 1gp gd=14x3x1 x+2， s = 1gd cd= 13x11 x+ 3 ，1223x222222 ss =1 x+21 x+31 為常數；122222（ 3）延長 p

38、d 交 ac 于點 q.正方形 abcd 中， ac 為對角線，cad=4°5；pqac ， adq=4°5； gdp= adq=4°5； dgp 是等腰直角三角形，就gd=gp ； 3x= 4x3x，化簡得：x 25x+5=0 ，解得：x= 55 ；20x2，.5 x= 55 ；2在 rt dgp 中，pd=gd=2 3x =23552+10=；cos45022【考點】 正方形的性質，一元二次方程的應用，等腰直角三角形的性質，矩形的性質，解直角三角形，銳角三角函數定義，特別角的三角函數值；【分析】（ 1）依據題意表示出ag 、gd 的長度，再由tancgd= t

39、anpag 可解出 x 的值；（2）利用（ 1）得出的y 與 x 的關系式表示出s1、s2，然后作差即可；（3）延長 pd 交 ac 于點 q，然后判定 dgp 是等腰直角三角形，從而結合x 的范疇得出x 的值，在rt dgp 中，解直角三角形可得出pd 的長度；例 4：（ 2021 四川自貢12 分） 如下列圖，在菱形abcd 中， ab=4 ， bad=12°0， aef為正三角形，點e、f 分別在菱形的邊bc cd 上滑動，且e、f 不與 b cd 重合（1）證明不論e、f 在 bc cd 上如何滑動，總有be=cf ；（2）當點 e、 f 在 bc cd 上滑動時，分別探討四

40、邊形aecf 和 cef 的面積是否發生變化？假如不變，求出這個定值；假如變化，求出最大（或最小）值【答案】 解：（ 1）證明：如圖，連接ac四邊形 abcd 為菱形， bad=12°0， bae+ eac=60° ， fac+ eac=60° ， bae= fac ； bad=12°0， abf=60° ； abc 和 acd 為等邊三角形； acf=60° ， ac=ab ； abe= afc ；在 abe 和 acf 中， bae= fac ， ab=ac ， abe= afc ， abe acf （ asa ）； be=cf

41、；（ 2）四邊形aecf 的面積不變，cef 的面積發生變化；理由如下：由（ 1）得 abe acf ，就 s abe=s acf；s 四邊形 aecf=saec +s acf=s aec+sabe =s abc ，是定值；作 ah bc 于 h 點，就 bh=2 ，s四邊形 aecfs abc1 bc ah1 bcab2bh 243 ；22由 “垂線段最短 ”可知：當正三角形aef 的邊 ae 與 bc 垂直時， 邊 ae 最短故 aef 的面積會隨著ae 的變化而變化， 且當 ae 最短時， 正三角形 aef的面積會最小，又 s cef=s 四邊形 aecf s aef ，就此時 cef

42、的面積就會最大 s s122 cef=s 四邊形 aecf aef43232333 ；2 cef 的面積的最大值是3 ；【考點】 菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，垂直線段的性質；【分析】 （ 1）先求證 ab=ac ，進而求證abc 、 acd 為等邊三角形，得acf =60°， ac=ab ，從而求證abe acf ，即可求得be=cf ；（2）由 abe acf可得s abe =sacf，故根據s四邊形aec f=saec +s acf =saec +s ab e=s abc 即可得四邊形aecf 的面積是定值； 當正三角形 aef的邊 ae

43、 與 bc 垂直時，邊ae 最短 aef 的面積會隨著ae 的變化而變化，且當ae 最短時，正三角形aef 的面積會最小，依據s cef=s 四邊形 aecf s aef ，就 cef 的面積就會最大；例 5：（ 2021 湖南益陽12 分） 已知：如圖1，在面積為3 的正方形abcd 中， e、f 分別是bc 和 cd 邊上的兩點，ae bf 于點 g，且 be=1 （1）求證： abe bcf ；（2）求出 abe 和 bcf 重疊部分（即beg ）的面積；（3）現將 abe 繞點 a 逆時針方向旋轉到abe（如圖 2），使點 e 落在 cd 邊上的點e處，問 abe 在旋轉前后與bcf

44、重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由【答案】（ 1）證明：四邊形abcd 是正方形，abe= bcf=90°， ab=bc ； abf+ cbf=90° ； ae bf， abf+ bae=90° ； bae= cbf ；在 abe 和 bcf 中， abe= bcf， ab=bc ， bae= cbf ， abe bcf（ asa ）；（2）解：正方形面積為3， ab=3 ；在 bge 與 abe 中， gbe= bae ， egb= eba=90° ， bge abe ； s bges abe= be 2 ；ae=ab又 be=1， ae 22+

45、be2=3+1=4 ；be 2 s bge =2aes abe133；428練習題：1. （ 2021 山東東營12 分）如下列圖， 四邊形 oabc 是矩形 點 a 、c 的坐標分別為 3，0 ，0，1，點 d 是線段 bc 上的動點 與端點 b 、c 不重含 ，過點 d 作直線 yoab 于點 e；(1) 記 ode 的面積為 s求 s 與 b 的函數關系式：1 xb 交折線21(2) 當點 e 在線段 oa 上時，且tan deo=2；如矩形oabc 關于直線de 的對稱圖形為四邊形o1a1 b1c1 摸索究四邊形o1a 1b1c1 與矩形 oabc 的重疊部分的面積是否發生變化，如不交，求出該重疊部分妁面積；如轉變請說明理由；2. （ 2021 浙江舟山、嘉興12 分） 已知直線ykx3 （ k 0）分別交x 軸、 y 軸于 a 、b兩點，線段 oa 上有一動點p 由原點 o 向點 a 運動， 速度為每秒1 個單位長度， 過點 p 作 x軸的垂線交直線ab 于點 c，設運動時間為t 秒（ 1）當 k1時，線段oa 上另有一動點q 由點 a 向點 o 運動，它與點p 以相同速度同時動身，當點