1、優秀學習資料歡迎下載軸對稱壓軸題1問題背景：如圖（ a），點 a 、b 在直線 l 的同側，要在直線l 上找一點c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點b 關于 l 的對稱點b，連接 a b 與直線 l 交于點 c，就點 c 即為所求（ 1）實踐運用：如圖（ b），已知， o 的直徑 cd 為 4，點 a 在 o 上， acd=30 °，b 為弧 ad的中點， p 為直徑 cd 上一動點，就 bp+ap 的最小值為（ 2）學問拓展：如圖（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 °， bac 的平分線交bc 于點 d ，e、f 分別是線段a

2、d 和 ab 上的動點，求be+ef 的最小值，并寫出解答過程2（ 1）觀看發覺如圖（ 1）：如點 a 、b 在直線 m 同側，在直線m 上找一點p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點 b 關于直線m 的對稱點b，連接 ab ，與直線m 的交點就是所求的點p，線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2）：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點 b 關于 ad 的對稱點，恰好與點c 重合，連接ce 交 ad 于一點，就這點就是所求的點p，故 bp+pe 的最小值為（ 2）實踐運用如

3、圖（ 3）：已知 o 的直徑 cd 為 2，的度數為 60°，點 b 是的中點，在直徑cd 上作出點p，使 bp+ap的值最小，就bp+ap 的值最小，就bp+ap 的最小值為（ 3）拓展延長優秀學習資料歡迎下載如圖（ 4）：點 p 是四邊形 abcd 內一點，分別在邊ab 、bc 上作出點m ，點 n ，使 pm+pn+mn的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法如圖（ 1），要在燃氣管道l 上修建一個泵站，分別向a 、b 兩鎮供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l 上找幾個點試一試，能發覺什么規律？聰慧的小華通過獨立摸索，很快得出明白決這個問題的正確方法他把管道l

4、 看成一條直線（圖（2） ，問題就轉化為，要在直線l 上找一點p，使 ap 與 bp 的和最小他的做法是這樣的： 作點 b 關于直線 l 的對稱點 b 連接 ab 交直線 l 于點 p，就點 p 為所求請你參考小華的做法解決以下問題如圖在 abc 中，點 d 、e 分別是 ab 、ac 邊的中點， bc=6 ， bc 邊上的高為 4，請你在bc 邊上確定一點p，使 pde 得周長最小（ 1）在圖中作出點p（保留作圖痕跡，不寫作法）（ 2）請直接寫出pde 周長的最小值：4（ 1）觀看發覺：如（ a）圖，如點a ， b 在直線 l 同側，在直線l 上找一點p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作

5、點b 關于直線l 的對稱點b'，連接 ab' ，與直線 l 的交點就是所求的點p再如（ b）圖，在等邊三角形 abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點 b 關于 ad 的對稱點， 恰好與點 c 重合， 連接 ce 交 ad 于一點， 就這點就是所求的點p，故 bp+pe的最小值為（ 2）實踐運用：如（ c）圖，已知 o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數為60°，點 b 是的中點，在直徑cd 上找一點p，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延長：如（ d）

6、圖，在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點 p，使 apb= apd 保留作圖痕跡，不必寫出作法優秀學習資料歡迎下載5幾何模型：條件：如下圖，a 、b 是直線 l 同旁的兩個定點問題：在直線l 上確定一點p，使 pa+pb 的值最小方法：作點a 關于直線 l 的對稱點a ，連接 a b 交 l 于點 p，就 pa+pb=a b 的值最小（不必證明） 模型應用：（ 1）如圖 1，正方形 abcd的邊長為2，e 為 ab 的中點， p 是 ac 上一動點連接bd ，由正方形對稱性可知，b與 d 關于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p，就 pb+pe 的最小值是；（ 2）如圖 2， o 的半

7、徑為2，點 a 、b、c 在 o 上， oa ob ， aoc=60 °，p 是 ob 上一動點，求pa+pc 的最小值；（ 3）如圖 3， aob=45 °， p 是 aob 內一點， po=10， q、r 分別是 oa 、ob 上的動點，求pqr 周長的最小值6如圖，已知平面直角坐標系，a 、b 兩點的坐標分別為a（ 2， 3）， b（ 4， 1）（ 1）如 p（ p， 0）是 x 軸上的一個動點，就當p= 時， pab 的周長最短；（ 2）如 c（ a， 0）， d（ a+3， 0）是 x 軸上的兩個動點，就當a= 時，四邊形abdc 的周長最短；（ 3）設 m ，n

8、 分別為 x 軸和 y 軸上的動點，請問：是否存在這樣的點m （m， 0）、n（ 0， n），使四邊形abmn的周長最短？如存在，懇求出m= ， n= （不必寫解答過程） ；如不存在，請說明理由7需要在高速大路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到a， b 兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置優秀學習資料歡迎下載8如下列圖，在一筆直的大路mn 的同一旁有兩個新開發區a ， b，已知 ab=10 千米，直線ab 與大路 mn 的夾角 aon=30 °，新開發區b 到大路 mn 的距離 bc=3 千米（ 1）新開發區a 到大路 mn 的距離為；（ 2）現要在 mn 上某點 p 處向新開發區a

9、 ，b 修兩條大路pa，pb，使點 p 到新開發區a ，b 的距離之和最短此時 pa+pb= （千米）9.如圖：（ 1）如把圖中小人平移，使點a 平移到點b ，請你在圖中畫出平移后的小人；（ 2）如圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l 上點 p 處喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點p 的位置10如圖，在直角坐標系中，等腰梯形abb 1a 1 的對稱軸為y 軸（ 1）請畫出：點a 、b 關于原點o 的對稱點a 2、 b2（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（ 2）連接 a 1a 2、 b1b2（其中 a2 、b 2 為（ 1）中所畫的點） ，試證明： x 軸垂

10、直平分線段a 1a 2、b1b2；（ 3）設線段 ab 兩端點的坐標分別為a （ 2，4）、b（ 4，2），連接（ 1）中 a 2b2，試問在 x 軸上是否存在點c，使 a 1b 1c 與 a2b 2c 的周長之和最小？如存在，求出點c 的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；如不存在， 請說明理由優秀學習資料歡迎下載11某大型農場擬在大路 l 旁修建一個農產品貯存、加工廠，將該農場兩個規模相同的水果生產基地 a 、b 的水果集中進行貯存和技術加工，以提高經濟效益請你在圖中標明加工廠所在的位置 c，使 a 、b 兩地到加工廠 c 的運輸路程之和最短 （要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證

11、明）12閱讀懂得如圖 1， abc 中，沿 bac 的平分線 ab 1 折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿b1a 1c 的平分線a 1b2 折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿bna nc 的平分線a nbn+1 折疊，點bn 與點 c 重合，無論折疊多少次，只要最終一 次恰好重合，bac 是 abc 的好角小麗展現了確定bac 是abc 的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線 ab 1 折疊， 點 b 與點 c 重合；情形二： 如圖 3，沿 bac 的平分線ab 1 折疊， 剪掉重復部分； 將余下部分沿b 1a1c的平分線 a 1b2 折疊，此時點b1 與點 c

12、 重合探究發覺（ 1） abc 中， b=2 c，經過兩次折疊，bac 是不是 abc 的好角？ （填 “是 ”或“不是 ”）（ 2）小麗經過三次折疊發覺了bac 是 abc 的好角， 請探究 b 與 c（不妨設 b c）之間的等量關系 依據以上內容猜想：如經過n 次折疊 bac 是 abc 的好角，就 b 與 c（不妨設 b c）之間的等量關系為 應用提升（ 3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、 60°、105°，發覺 60°和 105°的兩個角都是此三角形的好角 請你完成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個

13、角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角13如圖， abc 中 ab=ac ，bc=6 ，點 p 從點 b 動身沿射線ba 移動，同時，點q 從點 c 動身沿線段 ac 的延長線移動，已知點p、q 移動的速度相同，pq 與直線 bc 相交于點d （ 1）如圖 ，當點 p 為 ab 的中點時，求cd 的長；（ 2）如圖 ，過點 p 作直線 bc 的垂線垂足為e，當點 p、 q 在移動的過程中，線段be、de 、cd 中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；優秀學習資料歡迎下載14（ 2021.東城區二模）已知：等邊abc 中，點 o 是邊 ac ， bc 的垂直平分線的交點，m ，n 分

14、別在直線ac ，bc 上，且 mon=60 °（ 1）如圖 1，當 cm=cn 時， m 、n 分別在邊 ac 、bc 上時，請寫出am 、 cn、mn 三者之間的數量關系；（ 2）如圖 2，當 cm cn 時， m 、n 分別在邊ac 、bc 上時，（1）中的結論是否仍舊成立？如成立，請你加以證明；如不成立，請說明理由；（ 3）如圖 3，當點 m 在邊 ac 上，點 n 在 bc的延長線上時，請直接寫出線段am 、cn 、mn 三者之間的數量關系15如圖，線段cd 垂直平分線段ab ， ca 的延長線交bd 的延長線于e，cb 的延長線交ad 的延長線于f， 求證： de=df 1

15、6如圖，在 abc 和 dcb 中， ab=dc ， ac=db ，ac 與 db 交于點 m 求證：（ 1） abc dcb ；（ 2）點 m 在 bc 的垂直平分線上17如圖， abc 的邊 bc 的垂直平分線de 交 bac 的外角平分線ad 于 d， e 為垂足， df ab 于 f，且 ab ac ，求證： bf=ac+af 18已知 abc 的角平分線ap 與邊 bc 的垂直平分線pm 相交于點p，作 pk ab ，pl ac ，垂足分別是k 、l ，求證： bk=cl 優秀學習資料歡迎下載19某私營企業要修建一個加油站，如圖，其設計要求是，加油站到兩村a 、b 的距離必需相等，且

16、到兩條大路m、n 的距離也必需相等，那么加油站應修在什么位置，在圖上標出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖，在 abc 中， ab=ac ， a=120 °， bc=9cm ， ab 的垂直平分線mn 交 bc 于 m ，交 ab 于 n ，求 bm的長21如圖，在 abc 中， bac 的平分線與bc 的垂直平分線pq 相交于點p，過點 p 分別作 pn ab 于 n ，pm ac于點 m ，求證： bn=cm 22如圖己知在 abc 中， c=90°， b=15 °，de 垂直平分ab ， e 為垂足交bc 于 d， bd=16cm ，求 ac 長優秀學習資料歡

17、迎下載2021 年 10 月中學數學組卷參考答案與試題解析一解答題（共22 小題）1（ 2021.日照）問題背景：如圖（ a），點 a 、b 在直線 l 的同側，要在直線l 上找一點c，使 ac 與 bc 的距離之和最小，我們可以作出點b 關于 l 的對稱點b，連接 a b 與直線 l 交于點 c，就點 c 即為所求（ 1）實踐運用：如圖（ b），已知， o 的直徑 cd 為 4，點 a 在 o 上， acd=30 °，b 為弧 ad的中點， p 為直徑 cd 上一動點，就 bp+ap 的最小值為2（ 2）學問拓展：如圖（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45

18、°， bac 的平分線交bc 于點 d ，e、f 分別是線段ad 和 ab 上的動點，求be+ef 的最小值，并寫出解答過程考點 ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）找點 a 或點 b 關于 cd 的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和mn 的交點 p 就是所求作的位置依據題意先求出cae ，再依據勾股定理求出ae ，即可得出pa+pb 的最小值；（2）第一在斜邊ac 上截取 ab =ab ，連結 bb ，再過點b作 bf ab ，垂足為f，交 ad 于 e，連結 be，就線段b f 的長即為所求解答：解：（ 1）作點 b 關于 cd 的對稱點e，連接 ae 交 cd 于點 p

19、此時 pa+pb 最小，且等于ae 作直徑 ac ，連接 ce依據垂徑定理得弧bd= 弧 de acd=30 °， aod=60 °， doe=30 °， aoe=90 °， cae=45 °，又 ac 為圓的直徑，aec =90 °， c= cae=45 °，ce=ae=ac =2，即 ap+bp 的最小值是2故答案為： 2；（2）如圖，在斜邊ac 上截取 ab =ab ，連結 bb ad 平分 bac ，點 b 與點 b關于直線 ad 對稱過點 b 作 bf ab ，垂足為f，交 ad 于 e，連結 be，就線段 bf

20、的長即為所求 （點到直線的距離最短）優秀學習資料歡迎下載在 rt afb 中， bac=45 °， ab =ab=10 ，b f=ab s.in45°=ab .sin45°=10 ×=5，be+ef 的最小值為點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數關系等學問，依據已知得出對應點p位置是解題關鍵2（ 2021.六盤水）（1）觀看發覺如圖（ 1）：如點 a 、b 在直線 m 同側，在直線m 上找一點p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點 b 關于直線m 的對稱點b，連接 ab ，與直線m 的交點就是所求的點p，線段 ab 的長度即

21、為ap+bp 的最小值如圖（ 2）：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點 b 關于 ad 的對稱點，恰好與點c 重合，連接ce 交 ad 于一點，就這點就是所求的點p，故 bp+pe 的最小值為（ 2）實踐運用如圖（ 3）：已知 o 的直徑 cd 為 2，的度數為 60°，點 b 是的中點，在直徑cd 上作出點p，使 bp+ap的值最小，就bp+ap 的值最小，就bp+ap 的最小值為（ 3）拓展延長優秀學習資料歡迎下載如圖（ 4）：點 p 是四邊形 abcd 內一點，分別在邊ab

22、、bc 上作出點m ，點 n ，使 pm+pn+mn的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法考點 ：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）觀看發覺：利用作法得到ce 的長為 bp+pe 的最小值；由ab=2 ，點 e 是 ab 的中點，依據等邊三角形的性質得到ce ab ， bce= bca=30 °， be=1 ，再依據含30 度的直角三角形三邊的關系得ce=；（2）實踐運用：過b 點作弦 be cd ，連結 ae 交 cd 于 p 點，連結 ob 、oe 、oa 、 pb，依據垂徑定理得到cd 平分 be，即點 e 與點 b 關于 cd 對稱，就ae 的長就是bp+a

23、p 的最小值；由于的度數為60°，點 b 是的中點得到boc=30 °，aoc=60 °，所以 aoe=60 °+30°=90°，于是可判定 oae 為等腰直角三角形，就ae=oa=；（3）拓展延長：分別作出點p 關于 ab 和 bc 的對稱點 e 和 f，然后連結ef， ef 交 ab 于 m 、交 bc 于 n解答：解：（ 1）觀看發覺如圖（ 2），ce 的長為 bp+pe 的最小值，在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點ce ab ， bce= bca=30 °，be=1 ，ce=be=；故答案

24、為；（2）實踐運用如圖（ 3），過 b 點作弦 be cd ，連結 ae 交 cd 于 p 點，連結 ob 、oe、oa 、pb，be cd ，cd 平分 be，即點 e 與點 b 關于 cd 對稱，的度數為60°，點 b 是的中點， boc=30 °， aoc=60 °， eoc=30 °， aoe=60 °+30 °=90 °，oa=oe=1 ，ae=oa=，ae 的長就是bp+ap 的最小值故答案為；（3）拓展延長如圖（ 4）點評：此題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關系以及圓周角定理在有關圓的幾何證明中常常用到

25、，同時嫻熟把握等邊三角形的性質以及軸對稱最短路徑問題優秀學習資料歡迎下載3（ 2021.涼山州）在學習軸對稱的時候，老師讓同學們摸索課本中的探究題如圖（ 1），要在燃氣管道l 上修建一個泵站，分別向a 、b 兩鎮供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l 上找幾個點試一試，能發覺什么規律？聰慧的小華通過獨立摸索，很快得出明白決這個問題的正確方法他把管道l 看成一條直線（圖（2） ，問題就轉化為，要在直線l 上找一點p，使 ap 與 bp 的和最小他的做法是這樣的： 作點 b 關于直線 l 的對稱點 b 連接 ab 交直線 l 于點 p，就點 p 為所求請你參考小華的做法解決

26、以下問題如圖在 abc 中，點 d 、e 分別是 ab 、ac 邊的中點， bc=6 ， bc 邊上的高為 4，請你在bc 邊上確定一點p，使 pde 得周長最小（ 1）在圖中作出點p（保留作圖痕跡，不寫作法）（ 2）請直接寫出pde 周長的最小值：8考點 ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）依據供應材料de 不變， 只要求出dp+pe 的最小值即可，作d 點關于 bc 的對稱點d，連接 de，與 bc 交于點 p， p 點即為所求；（2）利用中位線性質以及勾股定理得出de 的值，即可得出答案 解答：解：（ 1）作 d 點關于 bc 的對稱點d，連接 de，與 bc 交于點 p，

27、p 點即為所求；（2）點 d 、e 分別是 ab 、ac 邊的中點，de 為 abc 中位線，bc=6 ， bc 邊上的高為4，de=3 ， dd =4，d e=5， pde 周長的最小值為：de+d e=3+5=8 ，故答案為： 8優秀學習資料歡迎下載點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的學問，依據已知得出要求 pde 周長的最小值，求出 dp+pe 的最小值即可是解題關鍵4（ 2021.淮安）（ 1）觀看發覺：如（ a）圖，如點a ， b 在直線 l 同側，在直線l 上找一點p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作點b 關于直線l 的對稱點b'，連接 ab

28、9; ，與直線 l 的交點就是所求的點p再如（ b）圖，在等邊三角形 abc 中， ab=2 ，點 e 是 ab 的中點， ad 是高，在ad 上找一點p，使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點 b 關于 ad 的對稱點， 恰好與點 c 重合， 連接 ce 交 ad 于一點， 就這點就是所求的點p，故 bp+pe的最小值為（ 2）實踐運用：如（ c）圖，已知 o 的直徑 cd 為 4， aod 的度數為60°，點 b 是的中點，在直徑cd 上找一點p，使 bp+ap的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延長：如（ d）圖，在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點 p，使 a

29、pb= apd 保留作圖痕跡，不必寫出作法考點 ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）第一由等邊三角形的性質知，ce ab ，在直角 bce 中， bec=90 °bc=2 ， be=1 ，由勾股定理可求出 ce 的長度，從而得出結果；（2）要在直徑cd 上找一點 p，使 pa+pb 的值最小， 設 a 是 a 關于 cd 的對稱點， 連接 a b ，與 cd的交點即為點p此時 pa+pb=a b 是最小值，可證 oa b 是等腰直角三角形，從而得出結果（3）畫點 b 關于 ac 的對稱點b ，延長 db 交 ac 于點 p就點 p 即為所求解答：解：（ 1） bp+pe 的最小值 =

30、（2）作點 a 關于 cd 的對稱點a ，連接 a b，交 cd 于點 p，連接 oa ， aa ， ob 點 a 與 a 關于 cd 對稱， aod 的度數為60°， a od= aod=60 °， pa=pa，點 b 是的中點， bod=30 °， a ob= a od+ bod=90 °，優秀學習資料歡迎下載 o 的直徑 cd 為 4，oa=oa =2，a b=2pa+pb=pa +pb=a b=2（3）如圖 d：第一過點b 作 bb ac 于 o，且 ob=ob ，連接 db 并延長交ac 于 p（由 ac 是 bb 的垂直平分線，可得apb=

31、apd ）點評：此題主要考查軸對稱最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊5（ 2021.漳州）幾何模型：條件：如下圖，a 、b 是直線 l 同旁的兩個定點問題：在直線l 上確定一點p，使 pa+pb 的值最小方法：作點a 關于直線 l 的對稱點a ，連接 a b 交 l 于點 p，就 pa+pb=a b 的值最小（不必證明） 模型應用：（ 1）如圖 1，正方形 abcd的邊長為2，e 為 ab 的中點， p 是 ac 上一動點連接bd ，由正方形對稱性可知，b與 d 關于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于

32、 p，就 pb+pe 的最小值是；（ 2）如圖 2， o 的半徑為2，點 a 、b、c 在 o 上， oa ob ， aoc=60 °，p 是 ob 上一動點，求pa+pc 的最小值；（ 3）如圖 3， aob=45 °， p 是 aob 內一點， po=10， q、r 分別是 oa 、ob 上的動點，求pqr 周長的最小值考點 ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題；動點型分析：（1）由題意易得pb+pe=pd+pe=de ，在 ade 中，依據勾股定理求得即可；（2）作 a 關于 ob 的對稱點a ，連接 a c，交 ob 于 p，求 a c 的長，即是pa+pc 的最

33、小值；（3）作出點 p 關于直線oa 的對稱點m ，關于直線ob 的對稱點n ，連接 mn ，它分別與oa ，ob的交點 q、r，這時三角形pef 的周長 =mn ，只要求mn 的長就行了解答：解：（ 1）四邊形abcd 是正方形，ac 垂直平分bd ，pb=pd ，由題意易得： pb+pe=pd+pe=de ，在 ade 中，依據勾股定理得，de=；優秀學習資料歡迎下載（2）作 a 關于 ob 的對稱點a ，連接 a c，交 ob 于 p，pa+pc 的最小值即為a c 的長， aoc=60 ° a oc=120 °作 od ac 于 d，就 a od=60 °

34、oa =oa=2a d=；（3）分別作點p 關于 oa 、ob 的對稱點m 、n，連接 om 、on 、mn ， mn 交 oa 、ob 于點 q、 r，連接 pr、pq，此時 pqr 周長的最小值等于mn 由軸對稱性質可得，om=on=op=10 ， moa= poa ， nob= pob， mon=2 aob=2 ×45°=90 °，在 rt mon 中， mn=10即 pqr 周長的最小值等于10點評：此題綜合性較強，主要考查有關軸對稱最短路線的問題，綜合應用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關學問6（ 2006.湖州）如圖，已知平面直角坐標系，a 、b 兩點

35、的坐標分別為a （2， 3）， b（4， 1）（ 1）如 p（ p， 0）是 x 軸上的一個動點，就當p=時， pab 的周長最短；（ 2）如 c（ a， 0）， d（ a+3， 0）是 x 軸上的兩個動點，就當a=時，四邊形abdc的周長最短；（ 3）設 m ，n 分別為 x 軸和 y 軸上的動點，請問：是否存在這樣的點m （m， 0）、n（ 0， n），使四邊形abmn的周長最短？如存在，懇求出m=，n=（不必寫解答過程） ；如不存在，請說明理由考點 ：軸對稱 -最短路線問題；坐標與圖形性質專題 ：壓軸題分析：（1）依據題意，設出并找到b（ 4， 1）關于 x 軸的對稱點是b'，其

36、坐標為（ 4，1），進而可得直線 ab' 的解析式，進而可得答案；優秀學習資料歡迎下載（2）過 a 點作 ae x 軸于點 e，且延長ae ，取 a'e=ae 做點 f（ 1， 1），連接 a'f 利用兩點間的線段最短，可知四邊形abdc 的周長最短等于a'f+cd+ab ，從而確定c 點的坐標值（3）依據對稱軸的性質，可得存在使四邊形abmn周長最短的點m 、n，當且僅當m=，n=；時成立解答：解：（ 1）設點 b （4， 1）關于 x 軸的對稱點是b'，其坐標為（4， 1），設直線 ab' 的解析式為y=kx+b ，把 a （ 2， 3），b

37、'（ 4， 1）代入得：，解得，y=2x 7，令 y=0 得 x=，即 p=（2）過 a 點作 ae x 軸于點 e，且延長ae ，取 a'e=ae 做點 f（ 1， 1），連接 a'f 那么 a'（2， 3）直線 a'f 的解析式為，即 y=4x 5，c 點的坐標為（ a， 0），且在直線a'f 上，a=（3）存在使四邊形abmn周長最短的點m 、n，作 a 關于 y 軸的對稱點a ，作 b 關于 x 軸的對稱點b，連接 a b ，與 x 軸、 y 軸的交點即為點m 、 n，a （ 2， 3）， b（4， 1），直線 a b的解析式為： y=x

38、 ，m （， 0）， n（ 0，）m=， n=點評：考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了依據兩點坐標求直線解析式，運用解析式求直線與坐標軸的交點等學問優秀學習資料歡迎下載7（ 2007.慶陽）需要在高速大路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到a ，b 兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置考點 ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：利用軸對稱圖形的性質可作點a 關于大路的對稱點a ，連接 a b，與大路的交點就是點p 的位置解答：解：點 p 就是飛機場所在的位置（ 5 分）點評：此題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離用到的學問：兩點之間線段最短8（ 2006.貴港）如下列圖，在一筆直的

39、大路mn 的同一旁有兩個新開發區a ， b ，已知 ab=10 千米，直線ab 與大路 mn 的夾角 aon=30 °，新開發區b 到大路 mn 的距離 bc=3 千米（ 1）新開發區a 到大路 mn 的距離為8；（ 2）現要在mn上某點 p 處向新開發區a ，b修兩條大路pa，pb，使點 p 到新開發區a ，b 的距離之和最短此時 pa+pb=14（千米）考點 ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：運算題；壓軸題分析：（1）先求出ob 的長，從而得出oa 的長，再依據三角函數求得到大路的距離（2）依據切線的性質得ef=cd=bc=3 ，af=ae+ef=ae+bc=11，再依據余弦概念求

40、解解答：解：（ 1） bc=3 ， aoc=30 °，ob=6 過點 a 作 ae mn 于點 e， ao=ab+ob=16，ae=8 即新開發區a 到大路的距離為8 千米；（2）過 d 作 df ae 的延長線（點d 是點 b 關于 mn 的對稱點），垂足為f 就 ef=cd=bc=3 ， af=ae+ef=ae+bc=11，過 b 作 bg ae 于 g，bg=df ，bg=ab .cos30°=5，優秀學習資料歡迎下載，連接 pb，就 pb=pd ，pa+pb=pa+pd=ad=14 （千米）點評：此題主要考查同學利用軸對稱的性質來綜合解三角形的才能9（ 2006.巴

41、中）如圖：（ 1）如把圖中小人平移，使點a 平移到點b ，請你在圖中畫出平移后的小人；（ 2）如圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l 上點 p 處喝水后，再游到b，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點p 的位置考點 ：軸對稱 -最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換專題 ：作圖題分析：依據平移的規律找到點b，再利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的性質，找到點a 的對稱點，連接 a 1b 與 l 相交于點p，即為所求解答：優秀學習資料歡迎下載解：點評：此題考查的是平移變換與最短線路問題最短線路問題一般是利用軸對稱的性質解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短可求

42、出所求的點作平移圖形時，找關鍵點的對應點也是關鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應點； 確定圖形中的關鍵點； 利用第一組對應點和平移的性質確定圖中全部關鍵點的對應點； 按原圖形次序依次連接對應點，所得到的圖形即為平移后的圖形10（ 2003.泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形abb 1a 1 的對稱軸為y 軸（ 1）請畫出：點a 、b 關于原點o 的對稱點a 2、 b2（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（ 2）連接 a 1a 2、 b1b2（其中 a2 、b 2 為（ 1）中所畫的點） ，試證明： x 軸垂直平分線段a 1a 2、b1b2；（ 3）設線

43、段 ab 兩端點的坐標分別為a （ 2，4）、b（ 4，2），連接（ 1）中 a 2b2，試問在 x 軸上是否存在點c，使 a 1b 1c 與 a2b 2c 的周長之和最小？如存在，求出點c 的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；如不存在， 請說明理由考點 ：作圖 -軸對稱變換；線段垂直平分線的性質；軸對稱-最短路線問題專題 ：作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析：（1）依據中心對稱的方法，找點a 2， b2，連接即可（2）設 a（ x1，y1）、b （x 2， y2）依題意與（ 1）可得 a 1（ x 1， y 1），b 1（ x2， y2）， a2（ x 1，y 1），b2（ x2， y2）

44、，得到 a 1、b1 關于 x 軸的對稱點是a 2、b2，所以 x 軸垂直平分線段a1a 2、b1b 2（3）依據 a 1 與 a 2， b1 與 b2 均關于 x 軸對稱，連接a 2b 1 交 x 軸于 c，點 c 為所求的點依據題意得 b 1（4， 2）， a 2（ 2， 4）優秀學習資料歡迎下載設直線 a 2b 1 的解析式為y=kx+b 就利用待定系數法解得，所以可求直線a 2b1 的解析式為 y=3x 10令 y=0 ，得 x=，所以 c 的坐標為（，0）即點 c（，0）能使 a 1b 1c 與 a2b2c的周長之和最小解答：解：（ 1）如圖， a 2、b2 為所求的點（2）設 a（

45、 x1，y1）、b （x 2， y2）依題意與（ 1）可得 a 1（ x1， y 1）， b1（ x2，y 2）， a 2（ x1 ， y 1）， b2（ x 2， y2）a 1、b 1 關于 x 軸的對稱點是a 2、b2，x 軸垂直平分線段a 1a 2、b1 b2（3）存在符合題意的c 點由（ 2）知 a 1 與 a 2， b1 與 b2 均關于 x 軸對稱，連接 a 2b 1 交 x 軸于 c，點 c 為所求的點a （ 2， 4）， b（ 4， 2）依題意及（1）得： b1（ 4， 2）， a2（ 2， 4）設直線 a 2b 1 的解析式為y=kx+b 就有解得直線 a 2b 1 的解析式

46、為y=3x 10，令 y=0 ，得 x=，c 的坐標為（， 0）綜上所述，點c（，0）能使 a 1b1c 與 a 2b 2c 的周長之和最小點評：主要考查了軸對稱的作圖和性質，以及垂直平分線的性質要知道對稱軸垂直平分對應點的連線會依據此性質求得對應點利用待定系數法解一次函數的解析式是解題的關鍵11（2001.宜昌）某大型農場擬在大路l 旁修建一個農產品貯存、加工廠，將該農場兩個規模相同的水果生產基地a 、b 的水果集中進行貯存和技術加工，以提高經濟效益請你在圖中標明加工廠所在的位置c，使 a、 b 兩地到加工廠 c 的運輸路程之和最短 （要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）優秀學習

47、資料歡迎下載考點 ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：作 a 關于直線l 的對稱點e，連接 be 交直線 l 于 c，就 c 為所求解答：答：如圖：點評：此題主要考查對軸對稱最短路線的問題的懂得和把握，依據題意正確畫出圖形是解此題的關鍵，12（ 2021.淮安）閱讀懂得如圖 1， abc 中，沿 bac 的平分線 ab 1 折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿b1a 1c 的平分線a 1b2 折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿bna nc 的平分線a nbn+1 折疊，點bn 與點 c 重合，無論折疊多少次，只要最終一 次恰好重合，bac 是 abc 的好角小麗展現了確定bac 是abc 的

48、好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線 ab 1 折疊， 點 b 與點 c 重合；情形二： 如圖 3，沿 bac 的平分線ab 1 折疊， 剪掉重復部分； 將余下部分沿b 1a1c的平分線 a 1b2 折疊，此時點b1 與點 c 重合探究發覺（ 1） abc 中， b=2 c，經過兩次折疊，bac 是不是 abc 的好角？是（填 “是”或“不是 ”）（ 2）小麗經過三次折疊發覺了bac 是 abc 的好角， 請探究 b 與 c（不妨設 b c）之間的等量關系 依據以上內容猜想：如經過n 次折疊 bac 是 abc 的好角，就 b 與 c（不妨設 b c）之間的

49、等量關系為 b=n c應用提升（ 3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、 60°、105°，發覺 60°和 105°的兩個角都是此三角形的好角 請你完成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角考點 ：翻折變換（折疊問題） 專題 ：壓軸題；規律型分析：（1）在小麗展現的情形二中，如圖3，依據依據三角形的外角定理、折疊的性質推知b=2 c；（2）依據折疊的性質、依據三角形的外角定理知a 1a 2b2= c+ a 2b2c=2 c； 依據四邊形的外角定理知bac+2 b 2c=

50、180°，依據三角形abc 的內角和定理知bac+ b+ c=180 °，由 可以求得 b=3 c；利用數學歸納法，依據小麗展現的三種情形得出結論：b=n c；（3）利用（ 2）的結論知 b=n c， bac 是 abc 的好角， c=n a ， abc 是 abc 的好優秀學習資料歡迎下載角， a=n b， bca 是 abc 的好角；然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數可以是 4、172； 8、168；16、160； 44、132； 88°、88°解答：解：（ 1） abc 中， b=2 c，經過兩次折疊，bac 是 abc 的好角；理由如下：小麗展現的情形二中，如圖3，沿 bac 的平分線ab 1 折疊， b= aa