1、( , )d( , )Df x yDzf x y 的的值值等等于于以以為為底底，以以曲曲面面為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,zyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 得ab0 x第1頁/共39頁dxdyyf(xba(x)(x),(21 注意: 1）上式說明: 二重積分可化為二次定積分計算;2）積分次序: X-X-型域 先Y Y后X;X;3）積分限確定法: 域中一線插, 內限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。為方便,上式也常記為： D Df f( (x x,

2、 ,y y) )d dx xd dy y “域中一線插”, , 須用平行于 軸的射線穿插區域. .第2頁/共39頁21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx 如果積分區域為：,dyc ).()(21yxy Y型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第3頁/共39頁 1 1）積分次序: : Y-Y-型域 , ,先x x后Y;Y;注意: 2 2）積分限確定法: :域中一線插, , 內限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。 “域中一線插”, 須用平行于X軸的射線穿插區域 。.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf 也可記為：也

3、可記為：第4頁/共39頁 X型區域的特點型區域的特點： 穿過區域且平行于y 軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點. Y型區域的特點型區域的特點：穿過區域且平行于x 軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點.若區域如圖，3D2D1D在分割后的三個區域上分別使用積分公式.321 DDDD則必須分割.第5頁/共39頁 注意：二重積分轉化為二次定積分時，關鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準確。利用直系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；（3）確定積分限，將二重積分化為二次定積分；（2）根據積分域類型,判定積分區域是X X型，Y Y型或必須分塊處理；（4）計算兩次定積分，

4、即可得出結果.第6頁/共39頁解法一解法一 X-型型解法二解法二 Y-型型2222211dd d2xxyIxxy yxx 34222119(2)d288xxxxx 2221111dd d2yyxIyxy xyy 34222119()d22848yyyyy X=YY=2X=1YX2112第7頁/共39頁解解兩兩曲曲線線的的交交點點 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()d dDxyx y 2120d()dxxxxyy122401()()d2xxxxxx .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 第8頁/共39頁解解只能用只能用 Y Y- -型型. . 210dyyey )1(

5、211 e第9頁/共39頁解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序22d dyDx ex y 21200ddyyyx ex 2310d3yyey 22120d6yyey ).21(61e 第10頁/共39頁例例5 計算二重積分計算二重積分 Dyxdxdye,其中區域其中區域D是是由由1, 0, 1, 0 yyxx圍成的矩形圍成的矩形.如圖如圖, 因為因為D是矩形區域是矩形區域, 且且,yxyxeee 所以所以 1010dyedxedxdyeyDxyx.)1()(21010 eeeyx解解:Oxy11D第11頁/共39頁例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計算計算

6、1D2D3D先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 第12頁/共39頁D例7 7解：圍成圍成由由其中其中計算計算2 21 12 22 2 x xx xy yx xy yD Dd dy yx xD D,.X-型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左邊邊交交點點坐坐標標為為（11第13頁/共39頁例8求兩圓柱222,xyR222Rzx所圍成的體積V.xyzxyz第14頁/共39頁xyz解: 利用對稱性, 只要求出

7、第一卦限的體積再乘以8即可.在第一卦限部分的立體是以曲面22xRz為頂,以RxxRyyxD0 ,0| ),(22為底的的曲頂柱體, 其體積為2222220018RRxDVRx dxdydxRx dy22302()3RRx dxR所以316.3VR第15頁/共39頁xy 1解解積分區域如圖第16頁/共39頁解解先先改改變變積積分分次次序序.121()dxx eex .2183ee 2xy xy 第17頁/共39頁xy 222xxy 解解積分區域如圖第18頁/共39頁axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaay

8、dxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a第19頁/共39頁三、利用對稱性和奇偶性三、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算化簡二重積分的計算利用被積函數的奇偶性利用被積函數的奇偶性常常使二重積分的計算簡化許多常常使二重積分的計算簡化許多, ,避免出現繁瑣避免出現繁瑣的計算的計算. .但在使用該方法時但在使用該方法時, ,要同時兼顧到被積函要同時兼顧到被積函數數),(yxf的奇偶性的奇偶性面面, ,常用結論如下常用結論如下: :(1) 如果區域如果區域D關于關于y軸對稱軸對稱, ,則有則有)(a當當時時),(),(yxfyxf ),),(Dyx ; 0),( dxdyyxfDD的對稱

9、性的對稱性, ,及積分區域及積分區域D的對稱性兩方的對稱性兩方和積分區域和積分區域第20頁/共39頁)(b當當時時),(),(yxfyxf ),),(Dyx ,),(2),(1dxdyyxfdxdyyxfDD 其中其中).0,),( | ),(1 xDyxyxD(2) 如果區域如果區域D關于關于x軸對稱軸對稱, ,則有則有dxdyyxfD ),(,),(),(,),(2),(),(, 02 yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD第21頁/共39頁例例13 計算計算 DdxdyyxxfyI,)(122其中積其中積分區域分區域 由曲線由曲線 與與 所圍成所圍成.D2xy 1 y解解令令),(),

10、(22yxxyfyxg 因為因為 關于關于 軸軸Dy且且),(),(yxgyxg 故故 Ddxdyyxxyf0)(22 DxydydxydxdyI1112.54)1(21114 dxx對稱對稱,第22頁/共39頁例例14求求,22dxdyyxID 其中其中. 1|:| yxD解解 因為因為 關于關于 軸和軸和 軸對稱軸對稱, ,Dxy且且,),(22yxyxf 于于 為偶函數為偶函數ydxdyyxID 1224 1010224xdyyxdx.451)1(341032 dxxx注注:則要繁瑣很多則要繁瑣很多.D若直接在若直接在 上求二重積分上求二重積分,x關于關于 或關或關Oxy1 1 11D1

11、第23頁/共39頁例例15計算計算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法一解法一 先對先對 積分積分y解法二解法二 先對先對 積分積分x解法三解法三 利用對稱性與奇偶性利用對稱性與奇偶性第24頁/共39頁例例15計算計算 DdxdyxyI,)1(其中其中解法一解法一 先對先對 積分積分,y積分區域積分區域:D,12121122 xyxx故故dyxydxIxx 11121222)1(dxxdxxyxx 1121212112142122Oxy1D.22411)1(322/32 x第25頁/共39頁例例15計算計算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法二解

12、法二 先對先對 積分積分,x積分區域積分區域:D,4214212222 yxyy故故.2)1(2242142122 dxxydyIyyOxy1D第26頁/共39頁例例15計算計算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法一解法一 先對先對 積分積分y解法二解法二 先對先對 積分積分x解法三解法三 利用對稱性與奇偶性利用對稱性與奇偶性第27頁/共39頁例例15計算計算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法三解法三故故利用對稱性利用對稱性,. DDdxdyxydxdyI Ddxdy.2 因為積分域因為積分域 關于關于 軸對稱軸對稱,Dx且函數且函數xyyxf

13、 ),(. 0 Dxydxdy所以所以又又.2 I關于關于 是奇函數是奇函數,xOxy1D第28頁/共39頁二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx Y型X型第29頁/共39頁思考題思考題第30頁/共39頁改改變變積積分分次次序序.思考題解答思考題解答:100( )d( )d ,xf xxf yy 100( )d( )dyf yyf xx 110( )d( )dxf xxf yy ，第31頁/共39頁100( )d( )dxf xxf yy 1100( )d () ( )d xxf xxf yy11200( )d( )d.f xxf yyA第32頁/共39頁練練 習習 題題第33頁/共39頁第34頁/共39頁第35頁