1、1例5-7 設一個閉環系統具有下列開環傳遞函數試確定該閉環系統的穩定性。圖5-45)()(jGjH極坐標圖平面GHReIm1K30K40漸近線在右半s平面內有一個極點1s1P因此開環系統是不穩定的)()(sGsH軌跡逆時針方向包圍-1+j0一次1R0PRZ說明)()(1sGsH沒有零點位于右半s平面內，閉環系統是穩定的。這是一個開環系統不穩定，但是回路閉合后，變成穩定系統的例子。 圖5-45表明第1頁/共72頁2例5-8一單位反饋控制系統的開環傳遞函數為) 1)(1()(32221sTsTsTTKsG式中312,TTTK和均為正值。為使系統穩定，開環增益K與時間常數312,TTT和之間滿足什么

2、關系？ 解 ：頻率特性)(23222221)(1)()1()(jeTTTTKjG322121)(arctgTTTTarctg0)0(jKjG00)(jjG) 1(1)()(32221jTjTjTTKjG第2頁/共72頁3-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5Real AxisImag Axis2, 3, 2, 1321KTTT第3頁/共72頁4) 1(1)()(32221jTjTjTTKjG1)()()(32232213321jTTjTTTTjTTTKjTTTTTTTTK)()(12321322312令虛部為零即可 0232132TTTTT32132TTTTTc與負

3、實軸相交于312323122312)(1)(1)(TTTTTTTTKTTTKjGcc1)(1313231TTTTTTK 1)(313231KTTTTTT展開？與負實軸的交點第4頁/共72頁5相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大時K小時K圖5-46的極坐標圖)(jG5.7相對穩定性0)(dBh0判斷系統穩定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20 xxjHjGh第5頁/共72頁6相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設系統的截止頻率(Gain cross-over frequency)為c1)()()(cccjHjGjA定義相角裕度為)()(180ccjHjG當0 時，相

4、位裕量為正值；0時，相位裕度為負值。當增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h設系統的相位穿越頻率(Phase cross-over frequency) 12()()()(kjHjGxxx, 1, 0 k定義幅值裕度為)()(1xxjHjGh)()(log20 xxjHjGh若以分貝表示，則有x第6頁/共72頁7LogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase MarginStable SystemUnstable System0dB902701

5、800dBcxcx第7頁/共72頁8ReImh1PlaneGPositive Gain MarginPositive Phase Margin-11ReImh1PlaneGNegative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System)(jG)(jG第8頁/共72頁9例5-9 一單位反饋系統的開環傳遞函數為)05. 01)(2 . 01 ()(sssKsGK=1時系統的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調整，使系統的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解：180)()()(xxxjHjG18005.

6、02 . 090)(xxxarctgarctg即9005. 02 . 0 xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05. 02 . 0105. 02 . 0 005. 02 . 01xx 10 x相位穿越頻率x增益裕度)()(log20)(xxjHjGdBhdB281720 在x處的開環對數幅值為第9頁/共72頁10根據K=1時的開環傳遞函數c1)()(ccjHjG)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjG1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctgarctg 76104180)(18

7、0c相位裕度增益穿越頻率截止頻率 第10頁/共72頁11Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dBhc1K5 . 2K2 . 5KcK)(dBh)(dBh第11頁/共72頁12 由題意知10h1 . 0)(xjG1 . 0)0025. 01)(04. 01 (22xxxK 5 . 225. 0141101 . 0K驗證是否滿足相位裕度的要求。根據 40的要求，則得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005

8、. 02 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 . 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22cccK 2 . 502. 128. 14K不難看出，5 . 2K就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。 第12頁/共72頁13例5-11 設一單位反饋系統對數幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統)。寫出系統的開環傳遞函數判別系統的穩定性如果系統是穩定的，則求ttr)(時的穩態誤差。解：由圖得)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG看對數幅頻特性第13頁/共72頁1410-310-210-1100101102-40-200

9、20406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB)(L)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG第14頁/共72頁151lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222K1110010K10K)2 . 01)(1001 ()101 (10)(sssssG由于是最小相位系統，因而可通過計算相位裕度是否大于零來判斷系統的穩定性。由圖可知1c在c處4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc則得6 .73)(180c單位斜坡輸入時

10、，系統的穩態誤差為1 . 01011vssKe 0 系統穩定第15頁/共72頁16標準二階系統中階躍瞬態響應與頻率響應之間的關系S(S+2n)n2R(s)C(s)圖3-8 標準形式的二階系統方塊圖_)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG書上例5-13p203設截止頻率14)(2222nccncjGc則有24214(ncnarctg290)(242142 arctg第16頁/共72頁17截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth)dB)(L0帶寬b33圖5-53 截止頻率與系統帶寬參看圖5-53，當閉環頻率響應的幅值下降到零頻率值以下3分貝時，對應的頻

11、率稱為截止頻率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20b對于的dBjRjC0)0()0(lg20系統dBjRjC3)()(lg20b一階系統的帶寬為其時間常數的倒數。二階系統，閉環傳遞函數為2222)2()1 (1)(nnj2)2()1 (2222nbnb1)21 (21222nb第17頁/共72頁18始開第18頁/共72頁19基于一個控制系統可視為由控制器和被控對象兩大部分組成，當被控對象確定后，對系統的設計實際上歸結為對控制器的設計，這項工作稱為對控制系統的校正。第六章 控制系統的校正前面幾章討論了控制系統幾種基本方法。掌握了這些基本方法，就可以對控制系統進行定性分析和

12、定量計算。本章討論另一命題，即如何根據系統預先給定的性能指標，去設計一個能滿足性能要求的控制系統。Design and Compensation Techniques第19頁/共72頁20輸出量串串聯聯補補償償元元件件放放大大元元件件執執行行元元件件被被控控對對象象反反饋饋補補償償元元件件測測量量元元件件局部反饋為改善系統性能測量元件被控對象執行元件局部反饋放大元件串聯補償主反饋反饋補償為改善系統性能輸入量輸出量在實際過程中，既要理論指導，也要重視實踐經驗，往往還要配合許多局部和整體的試驗。所謂校正，就是在系統中加入一些其參數可以根據需要而改變的機構或裝置，使系統整個特性發生變化，從而滿足給定

13、的各項性能指標。工程實踐中常用的校正方法，串聯校正、反饋校正和復合校正。第20頁/共72頁21目前，工業技術界多習慣采用頻率法，故通常通過近似公式進行兩種指標的互換。參見書p2206.1 系統的設計與校正問題控制系統的性能指標時域指標穩態 型別、靜態誤差系數動態 超調、調整時間頻域指標開環頻率、閉環帶寬、諧振峰值、諧振頻率增益穿越頻率、幅值裕度和相位裕度 第21頁/共72頁22(1)二階系統頻域指標與時域指標的關系707. 02201212rM諧振頻率221nr帶寬頻率1)21 (21222nb截止頻率24214(nc相位裕度242142 arctg(6-5)諧振峰值(6-1)(6-2)(6-

14、3)(6-4)超調量 %100%21e調節時間nSt5 . 3 tgtSc7(6-7)(6-6)第22頁/共72頁23諧振峰值sin1rM超調量8 . 11) 1(4 . 016. 0rrMM調節時間csKt8 . 11) 1(5 . 2) 1(5 . 122rrrMMMK(2)高階系統頻域指標與時域指標(6-8)(6-9)(6-10)第23頁/共72頁24既能以所需精度跟蹤輸入信號，又能擬制噪聲擾動信號。在控制系統實際運行中，輸入信號一般是低頻信號，而噪聲信號是高頻信號。系統帶寬的選擇帶寬頻率是一項重要指標。如果輸入信號的帶寬為M0則Mb)105(6-11)請看系統帶寬的選擇的示意圖選擇要求

15、第24頁/共72頁25dB)(L0帶寬b330M1n)(j)(jR)(jN)0(j) 0(707. 0j圖6-1 系統帶寬的選擇噪聲輸入信號第25頁/共72頁26校正方式串聯校正 )(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sGc)(sGo反饋校正 )(sR)(sC)(sH)(sE)(sGo)(sGc校正裝置校正裝置前饋校正復合校正 第26頁/共72頁27前饋校正復合校正 )(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sG)(sGc)(sC)(sG)(sN)(sG)(sGc(b)前饋校正（對擾動的補償）(a)前饋校正（對給定值處理）+ +- - -+ +R(s)E(s)N(s)C(s)圖3-26

16、 按擾動補償的復合控制系統)(2sG)(1sG)(sGn第27頁/共72頁28(b) 按輸入補償的復合控制)(sR)(sG)(sE)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN)(sGc反饋校正 不需要放大器，可消除系統原有部分參數波動對系統性能的影響 串聯校正 串聯校正裝置 有源 參數可調整 在性能指標要求較高的控制系統中，常常兼用串聯校正和反饋校正 第28頁/共72頁29基本控制規律（1）比例（P）控制規律)()(teKtmp(6-12)- -)(tr)(tm)(tc)(tepK - -)(sR)(sE)(sM)(sC)1 (sKp（a）P控制器(b) PD控制器（2）比例-微分（P

17、D）控制規律dttdeKteKtmpp)()()(6-13)提高系統開環增益，減小系統穩態誤差，但會降低系統的相對穩定性。PD控制規律中的微分控制規律能反映輸入信號的變化趨勢，產生有效的早期修正信號，以增加系統的阻尼程度，從而改善系統的穩定性。在串聯校正時，可使系統增加一個1的開環零點，使系統的相角裕度提高，因此有助于系統動態性能的改善。第29頁/共72頁30具有積分（具有積分（I）控制規律的控制器，稱為）控制規律的控制器，稱為I控制控制器。器。tidtteKtm0)()(6-14)輸出信號輸出信號)(tm與其輸入信號的積分成比例。與其輸入信號的積分成比例。iK為可調比例系數為可調比例系數)(

18、te消失后，輸出信號消失后，輸出信號)(tm有可能是一個不為零的常量。有可能是一個不為零的常量。90不宜采用單一的不宜采用單一的I控制器。控制器。 （3）積分（I）控制規律- -)(sR)(sE)(sM)(sCsKiI控制器 當在串聯校正中，采用在串聯校正中，采用I控制器可以提高系統的型別（無差度），有控制器可以提高系統的型別（無差度），有利提高系統穩態性能，但積分控制增加了一個位于原點的開環極利提高系統穩態性能，但積分控制增加了一個位于原點的開環極點，使信號產生點，使信號產生的相角滯后，于系統的穩定不利。的相角滯后，于系統的穩定不利。第30頁/共72頁31具有積分比例-積分控制規律的控制器，

19、稱為PI控制器。 - -)(sR)(sE)(sM)(sC)11 (sTKipPI控制器tippdtteTKteKtm0)()()(輸出信號)(tm同時與其輸入信號及輸入信號的積分成比例。pK為可調比例系數iT開環極點，提高型別，減小穩態誤差。右半平面的開環零點，提高系統的阻尼程度，緩和PI極點對系統產生的不利影響。只要積分時間常數iT足夠大，PI控制器對系統的不利影響可大為減小。（4）比例-積分（PI）控制規律(6-15)為可調積分時間系數PI控制器主要用來改善控制系統的穩態性能。第31頁/共72頁32（5）比例（PID）控制規律- -)(sR)(sE)(sM)(sC)11 (ssTKip具有

20、比例-積分-微分控制規律的控制器，稱為PID控制器。dttdeKdtteTKteKtmptipp)()()()(0(6-16)11 ()(ssTKsGipc)1(2ssTsTTKiiipsssTKip) 1)(1(21(6-17)411 (211iiTT)411 (212iiTT如果14iTPID控制器第32頁/共72頁33I 積分發生在低頻段，穩態性能(提高)D微分發生在高頻段，動態性能(改善)sssTKsGipc) 1)(1()(21增加一個極點，提高型別，穩態性能兩個負實零點，動態性能比PI更具優越性兩個零點一個極點第33頁/共72頁34一般而言，當控制系統的開環增益增大到滿足其靜態性能

21、所要求的數值時，系統有可能不穩定，或者即使能穩定，其動態性能一般也不會理想。在這種情況下，需在系統的前向通路中增加超前校正裝置，以實現在開環增益不變的前題下，系統的動態性能亦能滿足設計的要求。6.2 常用校正裝置及其特性無源校正網絡超前校正有源校正網絡1.無源超前校正滯后校正滯后超前校正先討論超前校正網絡的特性，而后介紹基于頻率響應法的超前校正裝置的設計過程。第34頁/共72頁35rucu1R2RC T1T10j假設該網絡信號源的阻抗很小，可以忽略不計，而輸出負載的阻抗為無窮大，則其傳遞函數為圖6-8無源超前網絡sCRRRsGsUsUcrc12211)()()(CsRRRR11221CsRRR

22、RCsRR211212)1 ()/()()/()1 (2121212112RRCsRRRRRRCsRR2121RRCRRT時間常數221RRRa分度系數CRaT1TsaTsasGc111)(6-18)(a)(b)第35頁/共72頁362121RRCRRT時間常數221RRRa分度系數CRaT1TsaTsasGc111)(6-18)注：采用無源超前網絡進行串聯校正時，整個系統的開環增益要下降因此需要提高放大器增益加以補償TsaTssaGc11)(6-19)倍rucu1R2RCa圖6-9帶有附加放大器的無源超前校正網絡此時的傳遞函數第36頁/共72頁37超前網絡的零極點分布1a故超前網絡的負實零點

23、總是位于負實極點之右，兩者之間的距離由常數 決定。a可知改變a和T(即電路的參數CRR,21超前網絡的零極點可在s平面的負實軸任意移動。T1T10j由于)的數值，第37頁/共72頁38 對應式(6-19)得22)(1lg20)(1lg20)(lg20TaTsGc(6-20)arctgTarctgaTc)(畫出對數頻率特性如圖6-10所示。顯然，超前網絡對頻率在(6-21)TsaTssaGc11)(6-19)TaT11至之間的輸入信號有明顯的微分作用，在該頻率范圍內輸出信號相角比輸入信號相角超前，超前網絡的名稱由此而得。第38頁/共72頁3910-210-11001010510152010-21

24、0-11001010102030405060aT1T120dB/dec第39頁/共72頁40由(6-21)arctgTarctgaTc)( 2)(1) 1(TaTaarctgaTm111arcsin21aaaaarctgm(6-24)1aa21ammasin1sin1(6-22)(6-23)故在最大超前角頻率處m具有最大超前角mm正好處于頻率aT1與T1的幾何中心TaT11與的幾何中心為mmaTTaTlglg211lg21)1lg1(lg2122即幾何中心為m(6-25)最大超前角頻率求導并令其為零第40頁/共72頁4110-210-11001010510152010-210-11001010

25、102030405060(a)頻率特性1,10Ta20dB/decaT1T1malg20alg10m第41頁/共72頁422222)(1)(1lg20)(1lg20)(1lg20)(mmmmmcTaTTaTLaTm122aalg10lg20 aaLmclg10lg20)(6-26)ma但a不能取得太大(為了保證較高的信噪比),a一般不超過20這種超前校正網絡的最大相位超前角一般不大于65如果需要大于65的相位超前角，則要在兩個超前網絡相串聯來實現，并在所串聯的兩個網絡之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負載效應。 11arcsin21aaaaarctgm第42頁/共72頁43024681012

26、141618200102030405060700246810121416182002468101214(b) 最大超前角及最大超前角處幅值與分度系數的關系曲線alg10malg10dBmoa第43頁/共72頁442.無源滯后網絡1Rrucu2RC如果信號源的內部阻抗為零，負載阻抗為無窮大，則滯后網絡的傳遞函數為sCRRsCRsGsUsUcrc11)()()(1221)(1212CsRRCsR1)(12122121CsRRCsRRRRRCRRT)(21時間常數1212RRRb分度系數CRbT2TsbTssGc11)(6-27)圖6-11無源滯后網絡第44頁/共72頁4510-1100101102

27、-20-15-10-5010-1100101102-60-50-40-30-20-100圖6-12無源滯后網絡特性1, 1 . 0Tb-20dB/decbT1T1mblg20m第45頁/共72頁46同超前網絡，滯后網絡在T1時，對信號沒有衰減作用bTT11時，對信號有積分作用，呈滯后特性T1時，對信號衰減作用為blg20同超前網絡，最大滯后角，發生在bTT11與幾何中心，稱為最大滯后角頻率，計算公式為bTm1(6-28)bbm11arcsin( 6-29)b越小，這種衰減作用越強由圖6-12可知第46頁/共72頁47采用無源滯后網絡進行串聯校正時，主要利用其高頻幅值衰減的特性，以降低系統的開環

28、截止頻率，提高系統的相角裕度。滯后網絡怎么能提高系統的相角裕度呢？第47頁/共72頁48在設計中力求避免最大滯后角發生在已校系統開環截止頻率 c附近。選擇滯后網絡參數時，通常使網絡的交接頻率bT1遠小于 c一般取101 cbT此時，滯后網絡在 c處產生的相角滯后按下式確定2 )(1) 1()(ccccccTbTbarctgTarctgbT將bTc10 代入上式)1( 1 . 0100) 1(10)10(110) 1()(2 barctgbbarctgbbbbarctgcc)( ccb與和20lgb的關系如圖6-13所示。(6-30)(6-31)第48頁/共72頁49-2-1.8-1.6-1.4

29、-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-40-200-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-10-50圖6-13 b與)( cc和20lgb的關系b0.010.1120lgb)( cc6100dB第49頁/共72頁503.無源滯后-超前網絡1Rrucu2R1C2C圖6-14 無源滯后-超前網絡傳遞函數為2211221111)()()(sCRsCRsCRsUsUsGrcc1)() 1)(1(212211222112211sCRCRCRsCRCRsCRsCR) 1)(1() 1)(1(21sTsTsTsTba11CRTa22CRTb設aTT 1aTTTT

30、ba1211a則有aaTT 1aTTb221CRTTaTaTbaba式(6-32)表示為) 1)(1() 1)(1()(saTsaTsTsTsGbabac(6-32)a是該方程的解第50頁/共72頁5110-210-1100101102103-20-15-10-5010-210-1100101102103-60-40-200204060圖6-15 無源滯后-超前網絡頻率特性aaabbadB)()(L1) 1)(1() 1)(1()(jaTjaTjTjTsGbabac(6-33)第51頁/共72頁52求相角為零時的角頻率10)(11111aTarctgarctgaTarctgTarctgTbab

31、a01)(1)(211211aTaTaTaTarctgTTTTarctgbabababa121baTT baTT11baTT11(6-34)1的頻段，1的頻段，當校正網絡具有相位滯后特性校正網絡具有相位超前特性。baaabaj0第52頁/共72頁53實際控制系統中廣泛采用無源網絡進行串聯校正，但在放大器級間接入無源校正網絡后，由于負載效應問題，有時難以實現希望的規律。此外，復雜網絡的設計和調整也不方便。因此，需要采用有源校正裝置。有源校正網絡第53頁/共72頁54謝謝！ 結束第54頁/共72頁55第55頁/共72頁56頻率法對系統進行校正的基本思路是：通過所加校正裝置，改變系統開環頻率特性的形

32、狀，即要求校正后系統的開環頻率特性具有如下特點：6.3串聯校正串聯超前校正（基于頻率響應法）用頻率法對系統進行超前校正的基本原理，是利用超前校正網絡的相位超前特性來增大系統的相位裕量，以達到改善系統瞬態響應的目點。為此，要求校正網絡最大的相位超前角出現在系統的截止頻率（剪切頻率）處。中頻段的幅頻特性的斜率為-20dB/dec,并具有較寬的頻帶，這一要求是為了系統具有滿意的動態性能；高頻段要求幅值迅速衰減，以較少噪聲的影響。低頻段的贈以滿足穩態精度的要求；第56頁/共72頁57用頻率法對系統進行串聯超前校正的一般步驟可歸納為：根據穩態誤差的要求，確定開環增益K。根據所確定的開環增益K，畫出未校正

33、系統的波特圖，c 關鍵是選擇最大超前角頻率等于要求的系統截止頻率，即cm 以保證系統的響應速度，并充分利用網絡的相角超前特性。顯然，cm 成立的條件是aLLcccolg10)()( 由上式可求出a aTm1驗證已校系統的相角裕度 計算未校正系統的相角裕度根據截止頻率的要求，計算超前網絡參數a和T；(6-36)(6-35)求出第57頁/共72頁58用頻率法對系統進行串聯超前校正的一般步驟可歸納為：根據穩態誤差的要求，確定開環增益K。確定開環增益K后，畫出未校正系統的波特圖，計算未校正系統的相角裕度由給定的相位裕量值 計算超前校正裝置提供的相位超前量補償校正前給定的 m是用于補償因超前校正裝置的引

34、入，使系統截止頻率增大而增加的相角滯后量。值通常是這樣估計的：如果未校正系統的開環對數幅頻特性在截止頻率處的斜率為-40dB/dec，一般取105如果為-60dB/dec則取2015根據所確定的最大相位超前角m按mmasin1sin1算出a的值。 第58頁/共72頁59計算校正裝置在m處的幅值10lga 由未校正系統的對數幅頻特性曲線，求得其幅值為-10lga處的頻率，該頻率m就是校正后系統的開環截止頻率c即mc確定校正網絡的轉折頻率21和am1am2畫出校正后系統的波特土，并演算相位裕度時候滿足要求？如果不滿足，則需增大值，從第步開始重新進行計算。 第59頁/共72頁60例-1.設一單位反饋

35、系統的開環傳遞函數為)2(4)(ssKsG試設計以超前校正裝置，使校正后系統的靜態速度誤差系數120sKv,相位裕度 50，增益裕量hlg20不小于10dB。解：根據對靜態速度誤差系數的要求，確定系統的開環增益K。202)2(4lim0KssKsKsv10K10K時，未校正系統的開環頻率特性為290)2(120)2(40)(2arctgjjjG繪制未校正系統的伯特圖，如圖6-16中的藍線所示。由該圖可知未校正系統的相位裕量為17 當*也可計算1)2(120217. 696.17第60頁/共72頁61100101102-60-40-2002040100101102-180-160-140-120-100第61頁/共72頁62根據相位裕量的要求確定超前校正網絡的相位超前角38517501由式(6-37) 2 . 438sin138sin1sin1sin1mma超前校正裝置在m處的幅值為dBa2 . 62 . 4lg10lg10據此，在為校正系統的開環對數幅值為dB2 . 6對應的頻率19sm這一頻率就是校正后系統的