1、 第6講 空間向量及其運算一、選擇題1以下四個命題中正確的是 ()a空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示b若a，b，c為空間向量的一組基底，則ab，bc，ca構成空間向量的另一組基底cabc為直角三角形的充要條件是·0d任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底解析若ab、bc、ca為共面向量，則ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時為1，設1，則abc，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案b2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，則x ()a4 b2 c4 d2解析a(1

2、,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案d3若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是()aa，ab，ab bb，ab，abcc，ab，ab dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構成空間向量的一組基底答案c4.如圖所示，已知空間四邊形oabc，oboc，且aobaoc，則cos，的值為 ()a0 b. c. d.解析設a，b，c，由已知條件a

3、，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案a5如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，m為a1c1與b1d1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()aabc b.abccabc d.abc解析()c(ba)abc.答案a6如圖，在大小為45°的二面角aefd中，四邊形abfe，cdef都是邊長為1的正方形，則b，d兩點間的距離是()a.b.c1d.解析 ，|2|2|2|22·2·2·1113，故|.答案d二、填空題7. 設r，向量，且，則解析 .答案

4、 8. 在空間四邊形abcd中，···_.解析如圖，設a，b，c，···a·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案09已知abcda1b1c1d1為正方體，()232；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體abcda1b1c1d1的體積為|··|.其中正確命題的序號是_解析 由，得()23()2，故正確；中，由于ab1a1c，故正確；中a1b與ad1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故不正確；中|··|0.

5、故也不正確答案 10如圖，空間四邊形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45°，oab60°，則oa與bc所成角的余弦值等于_解析設a，b，c.oa與bc所成的角為，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案三、解答題11已知a、b、c三點不共線，對平面abc外的任一點o，若點m滿足()(1)判斷、三個向量是否共面；(2)判斷點m是否在平面abc內解(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基線過同一點m，四點m，a，b，c共面，從

6、而點m在平面abc內12把邊長為a的正方形abcd沿對角線ac折起成直二面角，點e、f分別是ad、bc的中點，點o是原正方形的中心，求：(1)ef的長；(2)折起后eof的大小解 如圖，以o點為原點建立空間直角坐標系oxyz，則a（0，a,0），b（a,0,0），c（0，a,0），d（0,0，a），e（0，a，a），f（a，a,0）.(1)|2222a2，|ef|a.(2)，·0×a×a×0，|，|，cos，eof120°.13如圖，已知m、n分別為四面體abcd的面bcd與面acd的重心，且g為am上一點，且gmga13.求證：b、g、n三點共線證明設a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即b、g、n三點共線14如圖所示，已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線長都等于1，點e，f，g分別是ab、ad、cd的中點，計算：(1)·；(2)·；(3)eg的長；(4)異面直線ag與ce所成角的余弦值解設a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)a