1、第五節一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯系四、兩類曲面積分的聯系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對坐標的曲面積分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側(單側曲面的典型) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側 0 為右側 0 為上側 0 為下側外側內

2、側 設 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側的規定 指定了側的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規定,)(yx,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 1. 引例引例 設穩定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS

3、nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設, 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,

4、(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數被積函數; 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標的曲面積2. 定義定義.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲

5、面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側正側的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質性質(1) 若,1kiiki 1之間無公共內點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法定理定理: 設光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:

6、取上側,),(zyxR是 上的連續函數, 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)說明說

7、明: 如果積分曲面 取下側, 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側.解解: 利用對稱性.原式yxxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側 的底部 ),(:2222aaayxz取下側1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據對稱性0ddy

8、xxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 設S 是球面1222zyx的外側 , 計算SxxzyI2cosdd2解

9、解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、兩類曲面積分的聯系四、兩類曲面積分的聯系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdc

10、oscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxz111例例5. 設,1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 221cosyxx例例6. 計算曲面

11、積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側. )(2xz2211cosyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第六節Green 公式Gauss 公式推廣推廣機動

12、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高斯公式 第十一章 高斯高斯(1777 1855)德國數學家、天文學家和物理學家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數學家, 他的數學成就遍及各個領域 , 在數論、 級數、復變函數及橢圓函數論等方面均有一系列開創性的貢獻, 他還十分重視數學的應用, 地測量學和磁學的研究中發明和發展了最小二乘法、 曲面論和位勢論等. 他在學術上十分謹慎, 原則: 代數、非歐幾何、 微分幾何、 超幾何 在對天文學、大恪守這樣的 “問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”. 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設空間閉區域 由分片光滑的閉曲 上有連續的一階偏導數 ,z

13、yxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數 P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側, 則有 (Gauss 公式公式)高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結束 231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd為XY型區域 , ),(:22yxzz 則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzy

14、xyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型區域 , 則可引進輔助面將其分割成若干個 XY型區域,故上式仍成立 .正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 用Gauss 公式計算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊界曲面的外側. 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyd

15、dd)(zrrzrddd)sin(用柱坐標)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內側, 結果有何變化? 若 為圓柱側面(取外側) , 如何計算? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 利用Gauss 公式計算積分其中 為錐面222zyxhozyx解解: 222coscoscosdIxyzS 與 z = 0 及 z = h 所圍空間閉域的整個邊界曲面的外側. h1所圍區域設為, 則 zyxzyxddd)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222coscoscosdIxyzS

16、zyxzyxIddd)(2zyxzddd2421hhozyxh1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.3222()ddd ddd .Ix zxyzx yzzxx zxy 設 為曲面222,1zxyz所圍空間閉域的解解: Idd dxy z 20d10dr221drz用柱坐標用柱坐標機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的外側, 求 1zoxy211整個邊界曲面 內容小結內容小結定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯系兩類曲面積分及其聯系xziiiiSQ),(

17、 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯系聯系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關, 上述聯系公式是否矛盾 ?兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關, 一個與 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標)二重積分(1) 統一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況

18、.轉化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側取“+”, 下側取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉化公式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 高斯公式及其應用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應用:(1) 計算閉曲面上的第二型曲面積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側 , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉化成第一類曲面積分1. 設SzyxId)(3