1、H設計的設計的m函數函數目目 錄錄 廣義對象的求取廣義對象的求取 連續系統連續系統H設計的設計的m函數函數 離散系統離散系統H設計的設計的m函數函數標準的H問題的框圖如圖所示，圖中G為系統的廣義對象，K為控制器。G(s)K(s)wzyu圖1求解圖中對象G的方法有兩種：1. m函數調用法2. 直接求取法一廣義對象的求取一廣義對象的求取圖2 加權靈敏度問題下面通過圖2所示的加權靈敏度問題的例子來看一下如何通過m函數調用來求取系統的廣義對象G。KyuPWwzyp1. m函數調用法函數調用法系統除去控制器K以外的部分就是廣義對象G，它是兩入兩出的，輸入信號是w和u，輸出信號是z和y。可用傳遞函數表示為

2、11122122GGW WPGGGIPzwGyz 20( ),(20)(1)sP sss100( )1W ss設圖2中的對象P和靈敏度權函數W分別為將參數代入，可以得到廣義對象G為2100100(20)(1)(20)(1)(20)1(20)(1)sWWPsssGIPsssG送進去以后，調用下面的三個m函數，就可以得到廣義對象G的狀態空間實現A,B,C,D=ssdata(sys)sys=minreal(ss(G)yuwzKPWyp圖2 加權靈敏度問題G通過下面的函數送進去G=tf(0 100,1 1)，tf(-100 2000,1 22 41 20)；1，tf(-1 20,1 21 20)G=l

3、tisys(A,B,C,D)這個這個G就是我們求解問題時所用的就是我們求解問題時所用的G，它是這樣送進去的。它是這樣送進去的。用上面的函數調用法來求取G的狀態實現，是非常簡單的。但是從上面的結果可以看出，用這種方法得到的狀態變量純粹是數值上的運算，脫離了物理概念。本例中得到的廣義對象G0.8813.44356.63164.42590.63683.792418.92965.69782.70292.64452.87472.25872.19055.55940.77545.65364.652711.2247000.50590.32770.243410ABGCD圖2 加權靈敏度問題KyuPWwzyp根據

4、結果只能知道這個廣義對象的輸入輸出之間的關系，這幾個狀態變量之間的關系與實際的物理系統之間的狀態沒有直接聯系，沒有物理意義。下面我們仍用上面的例子，用直接建立狀態變量的方法來求取廣義對象G的狀態空間實現(A,B,C,D)。首先來求對象P的狀態空間實現。設被控對象P的狀態變量為x1和x2，根據P的傳遞函數可以得到如下的狀態方程：1122122040pppxxuxxxuyxppppppppppxA xB uyC xD u2. 直接求取法直接求取法20401( )1(20)(1)(20)(1)sP sssss20040111010ppppABCD設權函數W的狀態變量為x3，根據W的傳遞函數，可以得到

5、權函數W的狀態空間實現1 10010WWWWABCD100( )1W ss根據圖2中各信號的關系，進一步可以得到廣義對象G的狀態空間實現為圖2 加權靈敏度問題KyuPWwzyp20000400011001001001 10000000010001001010ppWpWWWpABB CABABGCCDC前面講的這部分內容是關于廣義對象G如何送進去，這里我們講了兩種方法：1. m函數調用法；2. 直接求取法。接下來要講的是第二部分的內容：連續系統H設計的m函數。1. 函數函數 hinfsyn該函數用來計算系統的 H控制器k，函數的調用形式為： k,g,gfin = hinfsyn(G,nmeas,

6、ncon,gmin,gmax,tol) 該函數用的是“DGKF文獻”中的算法：(1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989.(2) Glover, K., and J.C. Doyle, State-space formulae for all

7、 stabilizing controllers that satisfy an H norm bound and relations to risk sensitivity, Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, 1988.二連續系統二連續系統H設計的設計的m函數函數該函數用來計算系統的 H控制器k，函數的調用形式為： k,g,gfin= hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol) 其中輸入變量中的G為如下定義的兩入兩出的廣義對象，也是我們第一部分內容里所講的用G=ltisys(A,B,C,D)送進去

8、的G。1. 函數函數 hinfsyn12111122212220000401100101001 10000010001010ABBABGCDDCDCDDnconnmeasGwzyu G: 系統的廣義對象；nmeas: 連接到控制器的測量輸出的個數；ncon: 控制輸入的個數；gmin: 的下界；gmax: 的上界；tol: 的迭代精度；k: H最優控制器；g: 閉環控制系統；gfin: 最終的值；k,g,gfin=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)k,g,gfin=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)算例：算例： PS/T混

9、合靈敏度問題混合靈敏度問題本例的H問題是要求解如下的有約束的優化設計問題KPW1wuy+z1z2W2圖3PS/T問題220.01(1)(0.0051)( )(0.0021)ssWss21( )(0.001)P ss1( )0.001W ss圖3中參數如下：12minstabKWPSWT圖中除去K以外的部分就是廣義對象G按照我們第一部分內容所講的方法把參數送進去以后，得到系統廣義對象G的狀態空間實現矩陣如下：0.00100001000244.140600,010240000000.001000010.001A6610100128001100B1000 0078.027323.8228 0 0 ,

10、0000 1C0.000001 0.00000100012.5D由于調用函數hinfsyn時對象要滿足假設中秩的要求，設計中取Dp=10-6，以后第4章講DGKF法時還要提到。廣義對象G由下面的函數送進去：G=ltisys(A,B,C,D)本例中函數的調用形式如下： hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)k,g,gfin=hinfsyn(G,1,1,0.1,2,0.0001)函數調用中的迭代過程如下：函數調用中的迭代過程如下：gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 6.8e+000

11、1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 1.050 6.7e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.575 6.6e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 121111222122ABBABGCDDCDCDD設計中權函數W1中的是可變的，要取盡可能的最大值，這里給出的是當取1000時的迭代過程。1( )0.001W ss0.338 6.2e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.219 5.3e+000 -3.3e-003

12、# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.278 5.9e+000 -2.9e-002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.308 6.1e+000 -4.4e-001# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.323 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.315 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.312 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.310

13、6.1e+000 -1.3e+000# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 -1.6e+002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.3e-016 1.0e-003 -1.9e-017

14、 0.0000 p Gamma value achieved: 0.3107 1逐漸增大，當增大到100000時，這就是最終的設計結果。1.0067函數調用中的迭代過程如下：函數調用中的迭代過程如下：gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 2.1e+001 4.6e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.050 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 0.575 1.4e+001 -9.1e-004# 1.0e-003 0.0e+000

15、0.0000 f 0.813 1.8e+001 -3.5e+000# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.931 1.9e+001 -1.4e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.991 1.9e+001 -7.9e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.020 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.005 1.9e+001 -1.1e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.013 1.9e+001 4.7e-013 1.0e

16、-003 0.0e+000 0.0000 p 1.009 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.006 1.9e+001 -4.2e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -1.6e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7

17、e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -5.1e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 fGamma value achieved: 1.0067設計所得的H控制器：2626144143605589.224(500)(500)(47.071049)( )(1.646*10 )(231.2)(0.001)(0.0021*10 )ssssK ssssss設計所得的閉環系統的奇異值Bode圖如圖4所示，圖4閉環系統奇異值Bode圖10-2100102104106108-35-30-25-20-15-10-505Singu

18、lar ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)2. 函數函數 hinf函數的調用形式為：sscp,sscl = hinf(G, ssu) 該函數用的是下面文獻中的算法，對于D11不為0的情形，可以用該函數求解。M. G. Safonov, D. J. N. Limebeer and R. Y. Chiang, Simplifying the H Theory via Loop Shifting, Matrix Pencil and Descriptor Concepts, Int. J. Contr., vol. 50, no. 6, pp.

19、 2467-2488, 1989.函數的輸入變量G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD圖5G(s)K(s)u1y1y2u2U(s)F(s)函數的輸入變量中的ssu對應的就是圖5中的U(s)，是個可調參數。一般都取默認值0，此時所求得的H控制器是中心控制器。sscp,sscl = hinf(Gsscp,sscl = hinf(G, , ssu)ssu) 輸出變量中的sscp表示控制器F(s)，sscl表示閉環傳遞函數 。1 1( )y uTs算例：算例：S/KS/T問題問題圖中參數如下：圖6 33.16(1/300)( )(1/10)sW ss329000( )30

20、7001000P ssss212(1/30)( )0.01(1)sW ss_uKPW2wyz2z1W1W3z32( )0.0001W s 本例的H問題是要求解如下的有約束的優化問題123minstabKWSW KSWT調用函數hinf時，其輸入變量G有自己的調用形式，要用如下的幾個函數調用來送進去：W1= /900 /15 ;0.01 0.02 0.01;W2=0.0001;W3=0.1 1;3.16/300 3.16;P=ss(ap,bp,cp,dp);G=augtf(P,W1,W2,W3);其中ap,bp,cp,dp為對象P的狀態空間實現21222(1/30)( )0.01(1)/900/

21、150.010.020.01sW sssssssscp,sscl = hinf(Gsscp,sscl = hinf(G, , ssu)ssu) 329000( )307001000P ssss3010.93750.4883 26400003200002.19730ap bpcp dp_uKPW2wyz2z1W1W3z3圖6 本例中函數hinf的調用形式為：22259551212.8629(300)(10.53)(1.523)(28.48656.6)( )(1237)(702.1)(1) (0.01)(10369.91*10 )sssssF sssssss圖7 閉環系統的奇異值Bode圖1310

22、-2100102104-10-8-6-4-20Singular ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)sscp,sscl = hinf(G)當時，閉環系統的H范數為0.8916。當時，閉環系統的H范數為0.9998，設計所得的H控制器為： hinf(G,ssU)該函數用的是下列文獻中的算法：(1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Tra

23、nsactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989.(2) P. Gahinet, A. Nemirovskii, A. J. Laub, M. Chilali. The LMI Control Toolbox. Proc. of the IEEE Conf. on Dec. and Control. 1994: 2038-2041 3. 函數函數 hinfric函數的調用形式為：其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD輸入變量中的r是2維列向量， r(1)

24、 表示量測輸出的個數， r(2)表示控制輸入的個數。輸出變量gopt表示最優的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。gopt,k = hinfric(G,r) 該函數用的是基于該函數用的是基于Riccati方程的算法，是解析法。方程的算法，是解析法。其最優控制器是在任意階其最優控制器是在任意階控制器中尋優的，所以優控制器中尋優的，所以優化效果比較好。函數對對化效果比較好。函數對對象的秩的要求比較低。象的秩的要求比較低。 算例：算例：S/KS/T問題問題圖中參數如下：圖8350( )5000sW ss222100( )0.02100P sss11( )0.001W ss2( )0.01W s +u

25、KPW2wyz2z1W1W3z3本例的H問題是要求解如下的有約束的優化問題123minstabKWSW KSWT函數調用時的廣義對象G由下面的函數送進去：22479644.7322(5000)(0.0210000)( )(967.6)(0.01)(1.118*105*10 )sssK sssss hinfric(G,r)G=ltisys(A,B,C,D)gopt,k = hinfric(G,1;1)H優化設計所得的閉環系統的最終值為0.1011，所得的H中心控制器為：本例中函數的調用形式如下：10-2100102104106-90-80-70-60-50-40-30-20-10Singular

26、 ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)圖9 加權閉環系統的奇異值Bode圖該函數用的是下面文獻中的算法，是基于LMI的算法，對對象的秩的要求也比較低。(1) P. Gahinet, P. Apkarian. A Linear Matrix Inequality Approach to H Control. Int. J. of Robust and Nonlinear control. 1994, 4: 421-448 函數的調用形式為：其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD輸入變量中的r是2維

27、列向量， r(1) 表示量測輸出的個數， r(2)表示控制輸入的個數。輸出變量gopt表示最優的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。gopt,k = hinflmi(G,r) 4. 函數函數 hinflmi算例：算例：S/KS/T問題問題圖10+uKPW2wyz2z1W1W3z3圖中參數如下：350( )5000sW ss2100( )0.02100P sss11( )0.001W ss2( )0.01W s 本例的H問題是要求解如下的有約束的優化問題123minstabKWSW KSWT函數調用時的廣義對象G由下面的函數送進去：21122558.7657(5016)(0.02100)( )(

28、181000)(5014)(108.5)(0.00985)sssK sssss hinflmi(G,r)G=ltisys(A,B,C,D)gopt,k = hinflmi(G,1;1)H優化設計所得的閉環系統的最終值為0.1064，所得的H中心控制器為：本例中函數的調用形式如下：圖11 加權閉環系統的奇異值Bode圖10-2100102104106-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15Singular ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)5. 函數函數 hinfnorm該函數用來計算系統的H范數 ，函數的調用形式為：

29、out = hinfnorm(sys,tol,iiloc)sys: 為系統矩陣，當已知系統的傳遞函數T時，調用如下的函數可得到sys A,B,C,D=ssdata(T) sys=ltisys(A,B,C,D) out = hinfnorm(sys,tol,iiloc)tol: 為H范數的上下界之間的相對精度。iiloc: 為假定的范數值所對應的初始頻率點。out是一個 的行向量。分別表示的下界，上界以及下界所對應的頻率。1 3算例：算例：200.20.2A首先調用函數ltisys將系統矩陣sys送進去, sys=ltisys(A,B,C,D) 如下調用函數hinfnorm hinfnorm(sys,tol,iiloc) out=hinfnorm(sys,0.000001,0)求得的out=1 1 0。40.2B01C 0D