1、    物理學9章習題解答93 兩個相同的小球質量都是m,并帶有等量同號電荷q，各用長為l的絲線懸掛于同一點。由于電荷的斥力作用，使小球處于圖99所示的位置。如果q角很小，試證明兩個小球的間距x可近似地表示為圖99。解 小球在三個力的共同作用下達到平衡，這三個力分別是重力mg、繩子的張力t和庫侖力f.于是可以列出下面的方程式，（1），（2)(3)因為q角很小,所以， 。利用這個近似關系可以得到，（4）。 (5)將式（5)代入式（4)，得,由上式可以解得 。得證。9-4 在上題中， 如果l = 120 cm，m = 0。010 kg，x

2、 = 5。0 cm，問每個小球所帶的電量q為多大？解 在上題的結果中，將q解出，再將已知數據代入,可得。95 氫原子由一個質子和一個電子組成。根據經典模型，在正常狀態下，電子繞核作圓周運動，軌道半徑是r0 = 5.29´10-11m.質子的質量m = 1。67´10-27kg，電子的質量m = 9。11´10-31kg，它們的電量為 ±e =1。60´10-19c。（1)求電子所受的庫侖力；(2）電子所受庫侖力是質子對它的萬有引力的多少倍?(3）求電子繞核運動的速率.解 (1）電子與質子之間的庫侖力為。（2)電子與質子之間的萬有引力為.所以.(

3、3)質子對電子的高斯引力提供了電子作圓周運動的向心力，所以，從上式解出電子繞核運動的速率,為。96 邊長為a的立方體，每一個頂角上放一個電荷q。圖910(1)證明任一頂角上的電荷所受合力的大小為。 （2)  f的方向如何?解 立方體每個頂角上放一個電荷q，由于對稱性,每個電荷的受力情況均相同。對于任一頂角上的電荷，例如b角上的qb，它所受到的力 、 和 大小也是相等的,即 .首先讓我們來計算 的大小.由圖9-10可見， 、 和 對 的作用力不產生x方向的分量；對 的作用力f1的大小為,f1的方向與x軸的夾角為45°。對 的作用力f2的大小為,f2的方向與x軸的夾角

4、為0°。對 的作用力f3的大小為,f3的方向與x軸的夾角為45°。對 的作用力f4的大小為,f4的方向與x軸的夾角為a, 。于是.所受合力的大小為.（2）  f的方向:f與x軸、y軸和z軸的夾角分別為a、b和g，并且，。97 計算一個直徑為1。56 cm的銅球所包含的正電荷電量。解 根據銅的密度可以算的銅球的質量 .銅球的摩爾數為。該銅球所包含的原子個數為.每個銅原子中包含了29個質子，而每個質子的電量為1。602´10-19 c,所以銅球所帶的正電荷為.98 一個帶正電的小球用長絲線懸掛著。如果要測量與該電荷處于同一水平面內某點的電場強度e，

5、我們就把一個帶正電的試探電荷q0 引入該點，測定f/q0。問f/q0是小于、等于還是大于該點的電場強度e?解 這樣測得的f / q0是小于該點的電場強度e的。因為正試探電荷使帶正電的小球向遠離試探電荷的方向移動， q0受力f減小了。99 根據點電荷的電場強度公式,當所考查的點到該點電荷的距離r接近零時，則電場強度趨于無限大，這顯然是沒有意義的。對此應作何解釋?解 當r® 0時,帶電體q就不能再視為點電荷了，只適用于場源為點電荷的場強公式不再適用.這時只能如實地將該電荷視為具有一定電荷體密度的帶電體。9-10 離點電荷50 cm處的電場強度的大小為2。0 n×c-1 .求此點

6、電荷的電量。解 由于，所以有.9-11 有兩個點電荷，電量分別為5。0´10-7c和2.8´10-8c，相距15 cm。求：（1）一個電荷在另一個電荷處產生的電場強度；（2)作用在每個電荷上的力。圖911解 已知 = 5。0´10-7c、 = 2.8´10-8c,它們相距r = 15 cm ，如圖911所示。(1)  在點b產生的電場強度的大小為，方向沿從a到b的延長線方向。在點a產生的電場強度的大小為 ,方向沿從b到a的延長線方向。（2)  對 的作用力的大小為，方向沿從b到a的延長線方向。對 的作用力的大小為。方向沿從a

7、到b的延長線方向.912 求由相距l的 ±q電荷所組成的電偶極子，在下面的兩個特殊空間內產生的電場強度:(1）軸的延長線上距軸心為r處，并且r >l；圖912(2)軸的中垂面上距軸心為r處,并且r >>l。解 (1)在軸的延長線上任取一點p,如圖912所示，該點距軸心的距離為r。p點的電場強度為.在r > l的條件下，上式可以簡化為圖9-13 .（1)令,(2)這就是電偶極子的電矩。這樣，點p的電場強度可以表示為.（3)（2）在軸的中垂面上任取一點q，如圖9-13所示，該點距軸心的距離為r.q點的電場強度為也引入電偶極子電矩，將點q的電場強度的大小和方向同時表

8、示出來： 。913 有一均勻帶電的細棒,長度為l，所帶總電量為q.求：(1)細棒延長線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且a>>l；（2）細棒中垂線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且a>l。解 圖9-14（1）以棒中心為坐標原點建立如圖9-14所示的坐標系.在x軸上到o點距離為a處取一點p，在x處取棒元dx，它所帶電荷元為ldx ，該棒元到點p的距離為a- x,它在p點產生的電場強度為。整個帶電細棒在p點產生的電場強度為圖9-15,方向沿x軸方向。(2)坐標系如圖915所示。在細棒中垂線(即y軸）上到o點距離為a處取一點p，由于對稱性，整個細棒在p點產生的電場

9、強度只具有y分量ey。所以只需計算ey就夠了.仍然在x處取棒元dx,它所帶電荷元為ldx,它在p點產生電場強度的y分量為 .整個帶電細棒在p點產生的電場強度為,方向沿x軸方向.圖9-169-14 一個半徑為r的圓環均勻帶電，線電荷密度為l。求過環心并垂直于環面的軸線上與環心相距a的一點的電場強度。解以環心為坐標原點，建立如圖9-16所示的坐標系。在x軸上取一點p,p點到盤心的距離為a。在環上取元段dl，元段所帶電量為dq = l dl,在p點產生的電場強度的大小為.由于對稱性，整個環在p點產生的電場強度只具有x分量ex.所以只需計算ex就夠了。所以.9-15 一個半徑為r的圓盤均勻帶

10、電，面電荷密度為s。求過盤心并垂直于盤面的軸線上與盤心相距a的一點的電場強度。圖9-17解 取盤心為坐標原點建立如圖917所示的坐標系.在x軸上取一點p,p點到盤心的距離為a。為計算整個圓盤在p點產生的電場強度，可先在圓盤上取一寬度為dr的圓環，該圓環在p點產生的電場強度，可以套用上題的結果,即,的方向沿x軸方向.整個圓盤在p點產生的電場強度，可對上式積分求得。圖9-18916 一個半徑為r的半球面均勻帶電,面電荷密度為s.求球心的電場強度。解 以球心o為坐標原點，建立如圖9-18所示的坐標系.在球面上取寬度為dl的圓環,圓環的半徑為r。顯然,圓環所帶的電量為。根據題914的結果，該圓環在球心

11、產生的電場強度為，方向沿x軸的反方向。由圖中可見， ，, 將這些關系代入上式，得.所以，e的方向沿x軸的反方向。9-19 如果把電場中的所有電荷分為兩類,一類是處于高斯面s內的電荷，其量用q表示，它們共同在高斯面上產生的電場強度為e¢，另一類是處于高斯面s外的電荷，它們共同在高斯面上產生的電場強度為e ²，顯然高斯面上任一點的電場強度e = e ¢+ e²。試證明：(1)  ；(2）  .解 高斯面的電通量可以表示為 .顯然，上式中的第一項是高斯面內部電荷對高斯面電通量的貢獻，第二項是高斯面外部電荷對高斯面電通量的貢獻。高斯

12、定理表述為“通過任意閉合曲面s的電通量，等于該閉合曲面所包圍的電量除以e0，而與s以外的電荷無關.”可見，高斯面s以外的電荷對高斯面的電通量無貢獻。這句話在數學上應表示為。  （1）所以，關系式 的成立是高斯定理的直接結果。因為,于是可以把高斯定理寫為。將式（1）代入上式，即得。 (2)圖9199-20 一個半徑為r的球面均勻帶電，面電荷密度為s。求球面內、外任意一點的電場強度。解 由題意可知，電場分布也具有球對稱性,可以用高斯定理求解.在球內任取一點，到球心的距離為r1,以r1為半徑作帶電球面的同心球面s1，如圖919所示，并在該球面上運用高斯定理,得,由此解得球面內部的電場強度為

13、 。在球外任取一點,到球心的距離為r2，以r2為半徑作帶電球面的同心球面s2,如圖9-19所示,并在該球面上運用高斯定理，得,即.由此解得,e2的方向沿徑向向外.921 一個半徑為r的無限長圓柱體均勻帶電，體電荷密度為r。求圓柱體內、外任意一點的電場強度.圖920解 顯然，電場的分布具有軸對稱性,圓柱體內、外的電場強度呈輻射狀、沿徑向向外，可以用高斯定理求解。在圓柱體內部取半徑為r1、長度為l的同軸柱面s1（見圖9-20）作為高斯面并運用高斯定理.上式左邊的積分實際上包含了三項，即對左底面、右底面和側面的積分，前兩項積分由于電場強度與面元相垂直而等于零，只剩下對側面的積分，所以上式可

14、化為,于是得,方向沿徑向向外.用同樣的方法，在圓柱體外部作半徑為r2、長度為l的同軸柱面s2,如圖9-20所示.在s2上運用高斯定理，得。根據相同的情況，上面的積分可以化為,由上式求得，方向沿徑向向外。922 兩個帶有等量異號電荷的平行平板,面電荷密度為 ±s，兩板相距d。當d比平板自身線度小得多時，可以認為兩平行板之間的電場是勻強電場，并且電荷是均勻分布在兩板相對的平面上。（1)求兩板之間的電場強度;（2）當一個電子處于負電板面上從靜止狀態釋放，經過1。5´10-8 s的時間撞擊在對面的正電板上，若d = 2。0 cm，求電子撞擊正電板的速率。解 圖921(1)在題目所說

15、情況下，帶等量異號電荷的兩平行板構成了一個電容器,并且電場都集中在兩板之間的間隙中.作底面積為ds的柱狀高斯面,使下底面處于兩板間隙之中，而上底面處于兩板間隙之外,并且與板面相平行,如圖921所示.在此高斯面上運用高斯定理，得,由此解得兩板間隙中的電場強度為.(2）根據題意可以列出電子的運動學方程,。兩式聯立可以解得 .9-24 一個半徑為r的球體均勻帶電，電量為q,求空間各點的電勢。解 先由高斯定理求出電場強度的分布，再由電勢的定義式求電勢的分布。在球內: ，根據高斯定理，可列出下式，解得，方向沿徑向向外.在球外： ，根據高斯定理,可得，解得,方向沿徑向向外.球內任意一點的電勢：，

16、  (）。球外任意一點的電勢：, （).925 點電荷+q和-3q相距d = 1。0 m，求在它們的連線上電勢為零和電場強度為零的位置.圖9-22解 (1）電勢為零的點：這點可能處于+q的右側，也可能處于+q的左側,先假設在+q 的右側x1處的p1點，如圖9-22所表示的那樣可列出下面的方程式。從中解得.在+q左側x2處的p2點若也符合電勢為零的要求，則有。解得.（2）電場強度為零的點：由于電場強度是矢量，電場強度為零的點只能在 +q的左側，并設它距離+q為x，于是有.解得 。圖923926 兩個點電荷q1 = +40´10-9c和q2 = -70´10

17、-9c,相距10 cm。設點a是它們連線的中點,點b的位置離q1 為8。0 cm,離q2 為6。0 cm.求：(1)點a的電勢;(2）點b的電勢；（3)將電量為25´10-9c的點電荷由點b移到點a所需要作的功。解 根據題意，畫出圖9-23。（1)點a的電勢：。（2)點b的電勢：。(3)將電荷q從點b移到點a，電場力所作的功為,電場力所作的功為負值，表示外力克服電場力而作功。圖924927 一個半徑為r的圓盤均勻帶電，面電荷密度為s。求過盤心并垂直于盤面的軸線上與盤心相距a的一點的電勢，再由電勢求該點的電場強度.解 以盤心為坐標原點、以過盤心并垂直于盤面的軸線為x軸，建立如圖9-24

18、所示的坐標系。在x軸上任取一點p，點p的坐標為x。在盤上取半徑為r、寬為dr的同心圓環，該圓環所帶電荷在點p所產生的電勢可以表示為。整個圓盤在點p產生的電勢為。由電勢求電場強度.圖9259-28 一個半徑為r的球面均勻帶電,球面所帶總電量為q.求空間任意一點的電勢,并由電勢求電場強度。解 在空間任取一點p，與球心相距r。在球面上取薄圓環，如圖925中陰影所示，該圓環所帶電量為。該圓環在點p產生的電勢為.  （1）式中有兩個變量，a和q，它們之間有下面的關系:，微分得。 （2) 將上式代入式（1），得。如果點p處于球外， ，點p的電勢為。 (3）其中q = 4pr2s 。如果點p處于球

19、內， ，點p的電勢為。  (4)由電勢求電場強度：在球外，  ，方向沿徑向向外。在球內， ：。圖9-269-30 如圖9-26所示，金屬球a和金屬球殼b同心放置，它們原先都不帶電。設球a的半徑為r0 ,球殼b的內、外半徑分別為r1 和r2。求在下列情況下a、b的電勢差:(1)使b帶+q；(2)使a帶+q；（3)使a帶+q，使b帶-q；(4)使a帶-q,將b的外表面接地.解 (1)使b帶+q:這時a和b等電勢，所以。（2）使a帶+q:這時b的內表面帶上了-q，外表面帶上了+q，a、b之間的空間的電場為，方向沿徑向由內向外。所以。（3）使a帶+q，使b帶-q：這時b的內表面帶-

20、q，外表面不再帶電,a、b之間的空間的電場不變,所以電勢差也不變，即與(3）的結果相同。（4)使a帶-q，將b的外表面接地:這時b的內表面感應了+q,外表面不帶電，a、b之間的空間的電場為,方向沿徑向由外向內.所以。9-31 兩平行的金屬平板a和b，相距d = 5。0 mm，兩板面積都是s =150 cm2 ,帶有等量異號電荷±q = 2。66´10-8 c，正極板a接地,如圖9-27所示。忽略邊緣效應，問：圖9-27(1)  b板的電勢為多大？(2）在a、b之間且距a板1.0 mm處的電勢為多大？解 (1）可以證明兩板之間的電場強度為。于是可以求得b板的電勢，為

21、.(2)根據題意，a板接地，電勢為零,兩板之間的任何一點的電勢都為負值.所求之點處于a、b之間、且到a板的離距為 處，所以該點的電勢為。圖9-28932 三塊相互平行的金屬平板a、b和c,面積都是200 cm2 ，a、b相距4.0 mm,a、c相距2.0 mm，b、c兩板都接地，如圖928所示.若使a板帶正電，電量為3.0´107c，略去邊緣效應，求：（1)  b、c兩板上感應電荷的電量；(2）  a板的電勢。解 （1)  a板帶電后,電荷將分布在兩個板面上，其面電荷密度分別為s1和s2。由于靜電感應,b板與a板相對的面上面電荷密度為 -s1，c板與a

22、板相對的面上面電荷密度為-s2.c板和b板都接地，電勢為零。所以，即。 （1）式中e1和d1是a、b之間的電場強度和板面間距，e2和d2是a、c之間的電場強度和板面間距。另外. （2）式(1）、(2）兩式聯立，可以解得， .b板上的電量為,c板上的電量為.(2）  a板的電勢。9-33 如圖929所示，空氣平板電容器是由兩塊相距0。5 mm的薄金屬片a、b所構成。若將此電容器放在一個金屬盒k內，金屬盒上、下兩壁分別與a、b都相距0.25 mm,電容器的電容變為原來的幾倍？圖929解 設原先電容器的電容為c0,放入金屬盒中后，形成了如圖9-30所示的電容器的組合.根據題意，有

23、。圖9-30ca與cb串聯的等效電容為.cab與c0并聯的等效電容c就是放入金屬盒中后的電容：.可見，放入金屬盒中后，電容增大到原來的2倍。934 一塊長為l、半徑為r的圓柱形電介質，沿軸線方向均勻極化，極化強度為p，求軸線上任意一點由極化電荷產生的電勢.圖931解 以圓柱體軸線的中點為坐標原點建立如圖9-31所示的坐標系，x軸沿軸線向右.根據公式,圓柱體的右端面(a端面）的極化電荷密度為+s¢，b端面的極化電荷密度為-s¢。它們在軸線上任意一點(坐標為x）產生的電勢可以套用題927的結果。a面上的極化電荷在該點產生的電勢為.b面上的極化電荷在該點產生的電勢為.該點的電勢應

24、為以上兩式的疊加，即 。9-35 厚度為2。00 mm的云母片，用作平行板電容器的絕緣介質，其相對電容率為2。求當電容器充電至電壓為400 v時，云母片表面的極化電荷密度。解 云母片作為平行板電容器的電介質，厚度等于電容器極板間距。根據極板間電壓，可以求得云母片內的電場強度：。云母片表面的極化電荷密度為.9-36 平行板電容器兩極板的面積都是s = 3.0´102 m2 ，相距d = 3.0 mm。用電源對電容器充電至電壓u0 = 100 v， 然后將電源斷開.現將一塊厚度為b = 1。0 mm、相對電容率為er = 2。0的電介質，平行地插入電容器中,求：（1）未插入電介

25、質時電容器的電容c0 ;（2)電容器極板上所帶的自由電荷q；(3）電容器極板與電介質之間的空隙中的電場強度e1 ；(4）電介質內的電場強度e2 ;(5）兩極板之間的電勢差u；(6）插入電介質后電容器的電容c。解 （1）未插入電介質時電容器的電容為.(2)電容器極板上所帶的自由電荷為。(3）電容器極板與電介質之間的空隙中的電場強度為.（4）電介質內的電場強度為.(5）兩極板之間的電勢差為.(6）插入電介質后電容器的電容為。937 半徑為r的均勻電介質球,電容率為e，均勻帶電，總電量為q.求:(1)電介質球內、外電位移的分布；（2)電介質球內、外電場強度和電勢的分布；(3)電介質球內極化強度的分布

26、；(4)球體表面和球體內部極化電荷的電量.解 電介質球體均勻帶電,電荷體密度為。（1)電介質球內、外電位移的分布球內,即 ： ,方向沿徑向向外。球外，即 ：，方向沿徑向向外。（2）電介質球內、外電場強度和電勢的分布電場強度的分布球內，即 ：，方向沿徑向向外。球外，即 ：,方向沿徑向向外。電勢的分布球內，即 ：.球外,即 ：.(3)電介質球內極化強度的分布球內，即 ：，方向沿徑向向外。在球外p = 0。(4)球體表面和球體內部極化電荷的電量球體表面的極化電荷密度為,極化電荷的總量為.因為整個球體的極化電荷的代數和為零,所以球體內部的極化電荷總量為-q¢。938 一個半徑為r、電容率為e的均勻電介質球