1、一、用法，用來(lái)干什么，什么時(shí)候用二、步驟，前因后果，算法的步驟，公式三、程序四、舉例五、前面國(guó)賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來(lái)干什么馬爾可夫預(yù)測(cè)法是應(yīng)用概率論中馬爾可夫鏈（Markov chain）的理論和方法來(lái)研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律，并由此預(yù)測(cè)其未來(lái)變化趨勢(shì)的一種預(yù)測(cè)技術(shù)。什么時(shí)候用應(yīng)用馬爾可夫鏈的計(jì)算方法進(jìn)行馬爾可夫分析， 主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動(dòng)趨向，來(lái)預(yù)測(cè)它在未來(lái)某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動(dòng)，作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種藥品在未來(lái)某時(shí)期的銷(xiāo)售情況，比如說(shuō)第n季度是暢銷(xiāo)還是滯銷(xiāo)，用一個(gè)隨機(jī)變量Xn便可以了，但

2、要描述未來(lái)所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量 X1，X2，Xn，稱 Xt，tT ，T是參數(shù)集為隨機(jī)過(guò)程， Xt 的取值集合稱為狀態(tài)空間若隨機(jī)過(guò)程 Xn 的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)， Xn 為離散隨機(jī)變量，且 Xn 具有無(wú)后效性（或稱馬爾可夫性），則稱這一隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫鏈（簡(jiǎn)稱馬氏鏈）所謂無(wú)后效性，直觀地說(shuō)，就是如果把 Xn 的參數(shù)n看作時(shí)間的話，那么它在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過(guò)去取什么值無(wú)關(guān)對(duì)具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在n時(shí)刻處于狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率：若假定上式與n無(wú)關(guān)，即，則可記為（此時(shí)，稱過(guò)程是平穩(wěn)的），并記 （1）稱為轉(zhuǎn)移概率矩

3、陣轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì)：（1）即每個(gè)元素非負(fù)（2）即矩陣每行的元素和等于1如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過(guò)程在n時(shí)刻處于狀態(tài)i，n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率：同樣由平穩(wěn)性，上式概率與n無(wú)關(guān)，可寫(xiě)成記 （2）稱為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣其中具有性質(zhì)：； 一般地有，若為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則k步轉(zhuǎn)移矩陣 （3）（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算在馬爾可夫預(yù)測(cè)方法中，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率的估算非常重要估算的方法通常有兩種：一是主觀概率法，它是根據(jù)人們長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)預(yù)測(cè)事件的了解，對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的一種主觀估計(jì)，這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全的情況下使用二是統(tǒng)計(jì)估算法，現(xiàn)通過(guò)實(shí)例介紹如

4、下例3 記錄了某抗病毒藥的6年24個(gè)季度的銷(xiāo)售情況，得到表1試求其銷(xiāo)售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣表1 某抗病毒藥24個(gè)季度的銷(xiāo)售情況季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)11 (暢銷(xiāo))71(暢銷(xiāo))131(暢銷(xiāo))192(滯銷(xiāo))21(暢銷(xiāo))81(暢銷(xiāo))141(暢銷(xiāo))201(暢銷(xiāo))32(滯銷(xiāo))91(暢銷(xiāo))152(滯銷(xiāo))212(滯銷(xiāo))41(暢銷(xiāo))102(滯銷(xiāo))162(滯銷(xiāo))221(暢銷(xiāo))52(滯銷(xiāo))111(暢銷(xiāo))171(暢銷(xiāo))231(暢銷(xiāo))62(滯銷(xiāo))122(滯銷(xiāo))181(暢銷(xiāo))241(暢銷(xiāo))分析表中的數(shù)據(jù)，其中有15個(gè)季度暢銷(xiāo)，9個(gè)季度滯銷(xiāo)，連續(xù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)和由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)以及由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的次數(shù)均為

5、7，連續(xù)滯銷(xiāo)的次數(shù)為2由此，可得到下面的市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表（表2）表2 市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表 市場(chǎng)狀態(tài)次 數(shù)市 場(chǎng) 狀 態(tài)下季度藥品所處的市場(chǎng)狀態(tài)1（暢銷(xiāo)）2（滯銷(xiāo)）本季度藥品所1（暢銷(xiāo)）77處的市場(chǎng)狀態(tài)2（滯銷(xiāo)）72現(xiàn)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率以頻率代替概率，可得連續(xù)暢銷(xiāo)的概率：分母中的數(shù)為15減1是因?yàn)榈?4季度是暢銷(xiāo)，無(wú)后續(xù)記錄，需減1同樣得由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的概率：滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的概率：連續(xù)滯銷(xiāo)的概率：綜上，得銷(xiāo)售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：從上面的計(jì)算過(guò)程知，所求轉(zhuǎn)移概率矩陣P的元素其實(shí)可以直接通過(guò)表2中的數(shù)字計(jì)算而得到，即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可：Matlab程序：format ratclca=

6、1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1;for i=1:2for j=1:2f(i,j)=length(findstr(i j,a);endendfni=(sum(f')'for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i);endp由此，推廣到一般情況，我們得到估計(jì)轉(zhuǎn)移概率的方法：假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S1，S2，Sm，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄，得到表3的統(tǒng)計(jì)表格，以表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率估計(jì)值，則由表3的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值的公式如下：表3 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表狀態(tài)次 數(shù) 狀 態(tài)系統(tǒng)下步所處狀態(tài)S1S2Sm

7、系統(tǒng)S1n11n12n1m本步S2n21n22n2m所處狀態(tài)Smn m1n m2n mm（3）帶利潤(rùn)的馬氏鏈在馬氏鏈模型中，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉(zhuǎn)移，這種轉(zhuǎn)移常常會(huì)引起某種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化如抗病毒藥的銷(xiāo)售狀態(tài)有暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種，在時(shí)間變化過(guò)程中，有時(shí)呈連續(xù)暢銷(xiāo)或連續(xù)滯銷(xiāo)，有時(shí)由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)為滯銷(xiāo)或由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)為暢銷(xiāo)，每次轉(zhuǎn)移不是盈利就是虧本假定連續(xù)暢銷(xiāo)時(shí)盈r11元，連續(xù)滯銷(xiāo)時(shí)虧本r22元，由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)為滯銷(xiāo)盈利r12元，由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)為暢銷(xiāo)盈利r21元，這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，賦予一定利潤(rùn)的馬氏鏈，稱為有利潤(rùn)的馬氏鏈對(duì)于一般的具有轉(zhuǎn)移矩陣的馬氏鏈，當(dāng)系統(tǒng)由i轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí)，賦予利潤(rùn)rij（i，j=1，2，N

8、），則稱 （5）為系統(tǒng)的利潤(rùn)矩陣，rij 0稱為盈利，rij 0稱為虧本，rij = 0稱為不虧不盈隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉(zhuǎn)移，從而可得到一系列利潤(rùn)，由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因而一系列的利潤(rùn)是隨機(jī)變量，其概率關(guān)系由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率決定例如從抗病毒藥的銷(xiāo)售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，得到一步利潤(rùn)隨機(jī)變量、的概率分布分別為： r11r12r21r22概 率p11p12概 率p21p22其中 p11+ p12 = 1 ，p21+ p22 = 1如果藥品處于暢銷(xiāo)階段，即銷(xiāo)售狀態(tài)為i =1，我們想知道，經(jīng)過(guò)n個(gè)季度以后，期望獲得的利潤(rùn)是多少？為此，引入一些計(jì)算公式首先，定義為抗病毒藥現(xiàn)在處于，經(jīng)過(guò)步轉(zhuǎn)移之

9、后的總期望利潤(rùn)，則一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為：其中是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為：其中隨機(jī)變量（稱為二步利潤(rùn)隨機(jī)變量）的分布為：例如，若， 則抗病毒藥銷(xiāo)售的一步利潤(rùn)隨機(jī)變量：933-7概 率0.50.5概 率0.40.6抗病毒藥暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)時(shí)的一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為：二步利潤(rùn)隨機(jī)變量為：9+63-33+6-7-3概 率0.50.5概 率0.40.6抗病毒藥暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)時(shí)的二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為：一般地定義k步轉(zhuǎn)移利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布為：則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移后所得的期望利潤(rùn)的遞推計(jì)算式為： （6）當(dāng)k=1時(shí)，規(guī)定邊界條件稱一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為即時(shí)的期望利潤(rùn)，并記可能的應(yīng)用題型題型一、市

10、場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)例題1在購(gòu)買(mǎi)該藥的總共1000家對(duì)象（購(gòu)買(mǎi)力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中，買(mǎi)A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家，預(yù)測(cè)A、B、C三個(gè)廠家生產(chǎn)的某種抗病毒藥在未來(lái)的市場(chǎng)占有情況。顧客訂貨情況如下表5：表5 顧客訂貨情況表 下季度訂貨情況合計(jì)來(lái)自ABCA160120120400B1809030300C1803090300合計(jì)5202402401000模型建立與求解一、問(wèn)題分析目前的市場(chǎng)占有情況為：在購(gòu)買(mǎi)該藥的總共1000家對(duì)象（購(gòu)買(mǎi)力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中，買(mǎi)A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家，那么A、B、C三藥廠目前的市場(chǎng)占有份額分別為：40%、30%、30%

11、稱（0.4，0.3，0.3）為目前市場(chǎng)的占有分布或稱初始分布此外，我們需要查清使用對(duì)象的流動(dòng)情況。流動(dòng)情況的調(diào)查可通過(guò)發(fā)放信息調(diào)查表來(lái)了解顧客以往的資料或?qū)?lái)的購(gòu)買(mǎi)意向，也可從下一時(shí)期的訂貨單得出。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5 顧客訂貨情況表 下季度訂貨情況合計(jì)來(lái)自ABCA160120120400B1809030300C1803090300合計(jì)52024024010002、 模型的建立2.1模型構(gòu)建假定在未來(lái)的時(shí)期內(nèi)，顧客相同間隔時(shí)間的流動(dòng)情況不因時(shí)期的不同而發(fā)生變化，以1、2、3分別表示顧客買(mǎi)A、B、C三廠家的藥這三個(gè)狀態(tài)，以季度為模型的步長(zhǎng)（即轉(zhuǎn)移一步所需的時(shí)間），那么根據(jù)表5，我們可

12、以得模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣：矩陣中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A廠的顧客下季度有40%仍買(mǎi)A廠的藥，轉(zhuǎn)為買(mǎi)B廠和C廠的各有30%同樣，第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季度的流向由P我們可以計(jì)算任意的k步轉(zhuǎn)移矩陣，如三步轉(zhuǎn)移矩陣：從這個(gè)矩陣的各行可知三個(gè)季度以后各廠家顧客的流動(dòng)情況如從第二行（0.504，0.252，0.244）知，B廠的顧客三個(gè)季度后有50.4%轉(zhuǎn)向買(mǎi)A廠的藥，25.2%仍買(mǎi)B廠的，24.4%轉(zhuǎn)向買(mǎi)C廠的藥設(shè)表示預(yù)測(cè)對(duì)象k季度以后的市場(chǎng)占有率，初始分布則為，市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型為 （7）已知，由此，我們可預(yù)測(cè)任意時(shí)期A、B、C三廠家的市場(chǎng)占有率例如，三

13、個(gè)季度以后的預(yù)測(cè)值為： 大致上，A 廠占有一半的市場(chǎng)，B廠、C廠各占四分之一模型（7）可推廣到N個(gè)狀態(tài)的情形：（8）如果我們按公式（7）繼續(xù)逐步求A、B、C三家的市場(chǎng)占有率，會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k大到一定的程度，S (k) 將不會(huì)有多少改變，即有穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率，設(shè)其穩(wěn)定值為，滿足事實(shí)上，如果市場(chǎng)的顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)的占有率，而且這種占有率與初始分布無(wú)關(guān)如何求出這種穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率呢？2.2模型求解以A、B、C三家的情況為例，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí)，從公式（7）可得方程S = S P，即由此得經(jīng)整理，并加上條件，得0.

14、4 0.3 0.3，0.6 0.3 0.1,0.6 0.1 0.3上方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組，在前三個(gè)方程中只有二個(gè)是獨(dú)立的，任意刪去一個(gè)，從剩下的三個(gè)方程中，可求出唯一解：， ， 這就是A、B、C三家的最終市場(chǎng)占有率一般N個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定市場(chǎng)占有率（穩(wěn)態(tài)概率）可通過(guò)解方程組 （9）求得，而（9）的前N個(gè)方程中只有N-1個(gè)是獨(dú)立的，可任意刪去一個(gè)。MATLAB程序：format ratp=0.4 0.3 0.3，0.6 0.3 0.1,0.6 0.1 0.3;a=p'-eye(3);ones(1,3);b=zeros(3,1);1;p_limit=ab題型二、期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)企業(yè)追逐市

15、場(chǎng)占有率的真正目的是使利潤(rùn)增加，因此，競(jìng)爭(zhēng)各方無(wú)論是為了奪回市場(chǎng)份額，還是為了保住或者提高市場(chǎng)份額，在制訂對(duì)策時(shí)都必須對(duì)期望利潤(rùn)進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)主要分兩步進(jìn)行：市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)調(diào)查首先調(diào)查銷(xiāo)路的變化情況，即查清由暢銷(xiāo)到滯銷(xiāo)或由滯銷(xiāo)到暢銷(xiāo)，連續(xù)暢銷(xiāo)或連續(xù)滯銷(xiāo)的可能性是多少其次統(tǒng)計(jì)出由于銷(xiāo)路的變化，獲得的利潤(rùn)和虧損情況建立數(shù)學(xué)模型，列出預(yù)測(cè)公式進(jìn)行預(yù)測(cè)例如，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，我們得到如下的銷(xiāo)路轉(zhuǎn)移表（表6）和利潤(rùn)變化表（表7）由此，我們來(lái)建立數(shù)學(xué)模型表6 銷(xiāo)路轉(zhuǎn)移表狀態(tài)j可 能 性 狀 態(tài) i暢銷(xiāo)滯銷(xiāo)121暢銷(xiāo)0.50.52滯銷(xiāo)0.40.6銷(xiāo)路轉(zhuǎn)移表說(shuō)明連續(xù)暢銷(xiāo)的可能性為50%，由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的可能性也是50%，由滯銷(xiāo)到暢銷(xiāo)為40%，連續(xù)滯銷(xiāo)的可能性為60%利潤(rùn)表說(shuō)明的是連續(xù)暢銷(xiāo)獲利900萬(wàn)元，由暢銷(xiāo)到滯銷(xiāo)或由滯銷(xiāo)到暢銷(xiāo)均獲利300萬(wàn)元，連續(xù)滯銷(xiāo)則虧損700萬(wàn)元從而得到銷(xiāo)售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣P和利潤(rùn)矩陣R分別為：表7 利潤(rùn)變化表（單位：百萬(wàn)元）狀態(tài)j利 潤(rùn) 狀 態(tài) i暢銷(xiāo)滯銷(xiāo)121暢銷(xiāo)932滯銷(xiāo)