1、濟南大學機械工程學院濟南大學機械工程學院第二章第二章 機械系統數學模型建立機械系統數學模型建立第二章第二章 機械系統數學模型建立機械系統數學模型建立2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述一、質量和慣量的轉化質量和慣量的轉化 質量質量m：指儲有直線運動動能的部件屬性。：指儲有直線運動動能的部件屬性。 力力質量系統質量系統dtdvmdtxdmmaF22mxF(t)2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述轉動慣量轉動慣量J：表示具有轉動動能的部件屬性。：表示具有轉動動能的部件屬性。轉動慣量取決于部件相對轉動軸的幾何位置和部轉動慣量取決于部件相

2、對轉動軸的幾何位置和部件的密度。件的密度。nkiisikisiikJvmE121221212.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述轉動元件的瞬時動能為轉動元件的瞬時動能為： 移動元件的瞬時動能為：移動元件的瞬時動能為：式中式中 m化化轉化質量轉化質量(等效質量等效質量)； J化化 轉化慣量轉化慣量(等效轉動慣量等效轉動慣量)。221ikJE化221ikvmE化2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述機床傳動機構示意圖機床傳動機構示意圖1 、2、3、4齒輪齒輪5絲杠絲杠 6工作臺工作臺等效質量2621vm化 已知齒輪已知齒輪1 、2、3、4

3、及絲杠及絲杠5和工作臺和工作臺6，其轉動，其轉動慣量慣量J1，J2， J3， J4 ，J5，工作臺，工作臺6的質量為的質量為m6，各各齒輪的齒數為齒輪的齒數為Z1，Z2，Z3，Z4，絲杠，絲杠5螺距為螺距為12mm，求工作臺求工作臺6的轉化質量。的轉化質量。266245244223222211212121212121vmJJJJJ2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述機床傳動機構示意圖機床傳動機構示意圖1 、2、3、4齒輪齒輪5絲杠絲杠 6工作臺工作臺266626452644vvmvJvJ262326222611vJvJvJm化2.1 機械系統建模中基本物理量的描

4、述機械系統建模中基本物理量的描述626454262322611mvJJvJJvJ21431432456212212212212zzzzzzv6542343223142127. 0mJJzzJJzzzzJm化2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述二、彈性系數的轉化二、彈性系數的轉化 軸向彈性系數軸向彈性系數k 表示位移彈簧的位能。表示位移彈簧的位能。力力彈簧系統彈簧系統)()(tkxtFF(t)kX(t)2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述扭力彈簧系數或扭轉剛度系數扭力彈簧系數或扭轉剛度系數k表示旋轉彈簧的位能。表示旋轉彈簧的位能。轉

5、矩轉矩扭力彈簧系統扭力彈簧系統)()(tktTT(t)(t)k2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述彈性系數的轉化彈性系數的轉化 旋轉傳動系統彈性系數的轉化：旋轉傳動系統彈性系數的轉化：式中式中 k化化轉化彈性系數；轉化彈性系數； kj各構件的彈性系數；各構件的彈性系數； ij各構件到被研究元件間的傳動比。各構件到被研究元件間的傳動比。 此式是對旋轉傳動系統而言的，如果是移動此式是對旋轉傳動系統而言的，如果是移動系統則需要變換。系統則需要變換。 21jnjjikk化2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述移動系統彈性系數的轉化：移動系統

6、彈性系數的轉化：串聯彈簧的等效數學表達式為：串聯彈簧的等效數學表達式為：并聯彈簧的等效其數學表達式為：并聯彈簧的等效其數學表達式為：nkkkk111121化nkkkk21化2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述三、阻尼系數的轉化三、阻尼系數的轉化 機械系統在工作過程中，相互運動的元件間存機械系統在工作過程中，相互運動的元件間存在著阻力，并以不同的形式表現出來。如摩擦阻力、在著阻力，并以不同的形式表現出來。如摩擦阻力、流體的阻力以及負載阻力。這些在建立物理模型時流體的阻力以及負載阻力。這些在建立物理模型時都需要進行轉化，都需要進行轉化，轉化為與速度有關的粘滯阻尼力。

7、轉化為與速度有關的粘滯阻尼力。2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述(一一)直線運動的摩擦直線運動的摩擦FxFxFFFxFxFFabcd)()(xxFtFx ftF)( 1靜摩擦靜摩擦 2動摩擦動摩擦 3粘滯摩擦粘滯摩擦0)(xFtF2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述(二二)旋轉運動的摩擦旋轉運動的摩擦 直線運動的三種摩擦均適用于轉動。直線運動的三種摩擦均適用于轉動。 0TtT)()(TtTftT)(2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述 (三三)阻力系統轉化為當量粘滯阻尼系數阻力系統轉化為當量粘滯阻

8、尼系數 上邊講的系統中存在的阻力性質是不相同的，上邊講的系統中存在的阻力性質是不相同的，但系統在運行過程中都要消耗能量是共同的。在數但系統在運行過程中都要消耗能量是共同的。在數學模型的建立中，只有與構件運動速度成正比的阻學模型的建立中，只有與構件運動速度成正比的阻力才是可行的。所以，力才是可行的。所以，利用摩擦阻力與粘滯阻力所利用摩擦阻力與粘滯阻力所消耗的功相等這一基本原則來求取轉化粘滯阻尼系消耗的功相等這一基本原則來求取轉化粘滯阻尼系數。數。2.1 機械系統建模中基本物理量的描述機械系統建模中基本物理量的描述2.2 機電系統數學模型的建立機電系統數學模型的建立一、列寫微分方程的一般步驟：一、

9、列寫微分方程的一般步驟：(1)(1)要先明確輸入和輸出變量；要先明確輸入和輸出變量；(2)(2)利用對系統的分析，找出各元部件之間的利用對系統的分析，找出各元部件之間的動態聯系動態聯系: : 微分方程組；微分方程組；(3)(3)消去中間變量，得到輸入、輸出變量間的微分消去中間變量，得到輸入、輸出變量間的微分方程；方程；(4)(4)寫成寫成標準式標準式：即與：即與輸入變量輸入變量有關的項放在等有關的項放在等號的號的右邊右邊，與，與輸出變量輸出變量有關的項放在等號有關的項放在等號左邊左邊。并按求導次數依次降低的順序排列。并按求導次數依次降低的順序排列。2.2.1 微分方程及其線性近似微分方程及其線

10、性近似例例1：求：求組合機床動力滑臺力學模型組合機床動力滑臺力學模型的微的微 分方程。分方程。fi(t)xo(t)kfM由牛頓第二定律得：由牛頓第二定律得：22)()()()(dttxdMdttdxftkxtfoooi)()()()(22tftkxdttdxfdttxdMiooo二階線性定常非齊次微分方程！二階線性定常非齊次微分方程！2.2.1 微分方程及其線性近似微分方程及其線性近似例例2：求求擺錘的扭轉力矩與扭轉角之間：求求擺錘的扭轉力矩與扭轉角之間的關系。的關系。由牛頓第二定律得：由牛頓第二定律得：2.2.1 微分方程及其線性近似微分方程及其線性近似)(tTKCJ KCsJssTs21)

11、()()(sF一、拉氏變換的定義：一、拉氏變換的定義：(1)當當 t 0時，時， x(t)在每個有限區間上分段連續；在每個有限區間上分段連續；對于函數對于函數 x(t)，如果滿足下列條件：如果滿足下列條件：(2) 存在，其中存在，其中s=+j為復變量。為復變量。0-e)(dttxst0-e )()(Ldttxtxst為原函數為原函數為象函數為象函數2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換二、典型函數的拉氏變換二、典型函數的拉氏變換1、單位階躍函數、單位階躍函數: 1(t)=1, (t0)ssdtdtttststst1e1ee)( 1)( 1 L0002、單位斜坡函數、單位斜坡函數: t

12、1(t)0t1(t)100ee)( 1)( 1Ldttdtttttstst2020001e1)1(ee)e ()(ssdtsstdststststst0tt1(t)452.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換二、典型函數的拉氏變換二、典型函數的拉氏變換(t)在在a0時時t-a/21/aa/20, (t0);, (t=0); 且有且有(t)=001)( dtt1)(e)()(L000dttdtttst4、指數函數、指數函數: e-at 1(t)asasdtttastasat1e1e)( 1e L0)(0)(3、單位脈沖函數、單位脈沖函數: (t)astat1)( 1e L1)(Ltst1

13、)( 1 L21)( 1Lstt2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的基本性質和定理三、拉氏變換的基本性質和定理1、線性性質：、線性性質：02121e)()()()(Ldttbxtaxtbxtaxst0201e )(e )(dttxbdttxastst)()(21sbXsaXt例：0 x(t)452)( 1)( 12)(ttttx2212112)(sssssX2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的基本性質和定理三、拉氏變換的基本性質和定理2、微分性質：、微分性質：0e)()(Ldtdttdxdttdxst00)(e )()(edtstxtxsts

14、t0e )()0(dttxsxst)0()(xssX)0()(L)(L22xdttdxsdttxd)0()0()(2xsxsXs若系統處于若系統處于零初始條件零初始條件下：則有下：則有)()(LssXdttdx)()(L222sXsdttxd)()(LsXsdttxdnnn2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的基本性質和定理三、拉氏變換的基本性質和定理例例：在零初始條件下求輸出的拉氏變換。：在零初始條件下求輸出的拉氏變換。)()()()()(22tnxdttdxmtcxdttdxbdttxdaiiooo解：對上方程在零初始條件下求拉氏變換得：解：對上方程在零初始條件下求

15、拉氏變換得：)()()()(2sXnmssXcbsasio)()(2sXcbsasnmssXio利用拉氏反變換便可得到輸出的原函數。利用拉氏反變換便可得到輸出的原函數。2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的基本性質和定理三、拉氏變換的基本性質和定理3、積分性質（在零初始條件下）：、積分性質（在零初始條件下）：)(1)(L0sXsdttxt4、延時定理：、延時定理：)()(1)(LsXettxs0t1( t -)1例例：) 2( 1) 2()( 12)(ttttx22112)(sessXsx(t)t045222.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的基

16、本性質和定理三、拉氏變換的基本性質和定理5、終值定理：、終值定理：)(lim)(lim0ssXtxst證明證明00)0()()(ee)()(LxssXtdxdtdttdxdttdxstst )0()(lim)(elim000 xssXtdxssts)0()(lim)0()(limxssXxtxost)(lim)(lim0ssXtxst 2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm采用采用部分分式展開法部分分式展開法求拉氏反變換：求拉氏反變換： x(t) X(s) X(s)=Lx(t)x(t) X(s) X

17、(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=LX(s)X(s) x(t) x(t)=LX(s)-1 )(.)()()(.)()(1211121sXLsXLsXLtxsXsXsXsXnn2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換1、只含不同單極點的、只含不同單極點的)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX)()()()(2211nnkkpsApsApsApsA式中：式中：kpskkkpssXpssXsA)()(lim),(Re四、拉氏反變換四、拉氏反變換tpiiiieApsAL12.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換1、只含不同單極點的情

18、況：、只含不同單極點的情況：例例1233)(2ssssX)( 1)2()(2teetxtt例22354)(22sssssX)( 1)2()()(2teettxtt)2(1) 1(2)2)(1(3)(ssssssX解：解：211212331)(2ssssssX解：2)1()(11sssXA1)2()(22sssXA2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換 teateasassaLcbssKsKLcbsssXKsKjscbpsKpsKcbssKsKsXttjsnnsincos,.,04,.21222221122112212,1223221通過配方化成正弦、余弦象函數的形式再求

19、反變換通過配方化成正弦、余弦象函數的形式再求反變換2、含共軛復數極點的情況：、含共軛復數極點的情況：2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換2、含共軛復數極點的情況：例sssssX231)(ssss112sss1)()(222321ssss1)()(33)()()(2222232123232121)( 1 1)cossin()(23233321tttetxt2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換 nnrrrpsKpsKpsKpsKpsKsX.221111121113、含重極點的情況：、含重極點的情況： rrrrrrrrpssXdsdKpssXKps

20、sXKpssXK111!1111!21131!1112111.lim.lim.lim.limS - p1S=-p1為為r 重極點重極點展開為展開為r 個分式個分式2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例132) 1(32)(ssssX3、含重極點的情況：1) 1() 1(12233sBsBsB232) 1)(12133ssssssXB022) 1)(1132sssssXdsdB 12!21)1)(!21113221ssssXdsdB)( 1)()(2teettxtt11) 1(23ss2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例2) 1()2(3)(

21、2ssssX3、含重極點的情況：nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm 12)2(212211sAsAsA1)2()(2211sssXA2)2()(2212sssXdtdA2)1()(12sssXA)( 12)2()(2teettxtt2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例2) 1()2(3)(2ssssX3、含重極點的情況：2221221221112121112111121211121ssssssssssssss)( 12)2()(2teettxtt212121ssss2.2.2 拉氏變換及其反變換拉氏變換及其反變換 線性定常系統線

22、性定常系統在在零初始條件零初始條件下，輸出量下，輸出量的拉氏變換與輸入量的的拉氏變換與輸入量的拉氏變換拉氏變換之比。之比。 一、傳遞函數的定義一、傳遞函數的定義 nnnmmmasasabsbsbsRsCsG110110)()()(即系統的傳遞函數為：即系統的傳遞函數為：式中式中: :C(s)為系統的輸出量，為系統的輸出量，R(s)為輸入量，為輸入量，mn。a0 0、a1 1、 an 及及b0 0、b1 1、 、bm 均為實數均為實數, , 其數其數值由系統的結構及參數決定。值由系統的結構及參數決定。 2.2.3 傳遞函數傳遞函數一、傳遞函數的定義一、傳遞函數的定義 若線性定常系統的微分方程一般

23、形式為：若線性定常系統的微分方程一般形式為：)()()()()()()(111011110trbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmnnnnnnG(s)R( (s) )C( (s) )nnnmmmasasabsbsbsRsCsG110110)()()(即為系統的即為系統的傳遞函數。傳遞函數。C C（s s）=G=G（s s）R R（S S）)()()()(1101110sRbsbsbsCasasasammmnnnn2.2.3 傳遞函數傳遞函數 控制系統的數學模型控制系統的數學模型是描述系統內部各物理量（或變量）是描述系統內部各物理量（或變量）之間關系的數

24、學表達式或圖形表達式或數字表達式。亦：描之間關系的數學表達式或圖形表達式或數字表達式。亦：描述能系統性能的數學表達式（或數字、圖像表達式）述能系統性能的數學表達式（或數字、圖像表達式）數學模型有三種描述數學模型有三種描述 微分方程微分方程 傳遞函數傳遞函數 系統方框圖系統方框圖 傳遞函數是系統數學模型的一種形式，也是一種表示輸傳遞函數是系統數學模型的一種形式，也是一種表示輸入輸出的模型形式。入輸出的模型形式。 它表示了系統本身的特性而與輸入信它表示了系統本身的特性而與輸入信號無關。它僅能表示輸入輸出關系，而無法表示出系統的內號無關。它僅能表示輸入輸出關系，而無法表示出系統的內部結構。部結構。一

25、、傳遞函數的定義一、傳遞函數的定義 2.2.3 傳遞函數傳遞函數 比例比例(或放大或放大)環節：環節：G(s)=K (理想理想)積分環節：積分環節：G(s)=1/s (理想理想)微分環節：微分環節：G(s)= s (一階一階)慣性環節：慣性環節：G(s)= 1/ (T s+ 1) 一階微分環節：一階微分環節： G(s)= s + 1 (二階二階)振蕩環節：振蕩環節：G(s)= 1/ (T2 s2 +2Ts +1) 二階微分環節：二階微分環節： G(s)= 2 s2 + 2s + 1 二、典型環節及其傳遞函數二、典型環節及其傳遞函數 1. 典型環節的傳遞函數典型環節的傳遞函數2.2.3 傳遞函數

26、傳遞函數 機械轉動系統：機械轉動系統：M(t)(t)fJ 此系統由慣性負載和粘性摩擦此系統由慣性負載和粘性摩擦阻尼器構成，負載的轉動慣量為阻尼器構成，負載的轉動慣量為 J，粘性摩擦系數為粘性摩擦系數為 f，作用到系作用到系統上的轉矩為統上的轉矩為M(t)。 根據牛頓定律可得：根據牛頓定律可得：dttdJtftM)()()()()()(tMtfdttdJ11)()()(11sfJssMssGfJf)()()(22tMdttdfdttdJ) 1(1)()()(122ssfsJssMssGfJf二、典型環節及其傳遞函數二、典型環節及其傳遞函數 2. 典型機電元部件傳遞函數中的典型環節典型機電元部件傳

27、遞函數中的典型環節2.2.3 傳遞函數傳遞函數)(1)(12tit經拉氏變換得角速度的傳遞函數：經拉氏變換得角速度的傳遞函數：isssG1)()()(121則減速器轉矩的傳遞函數為則減速器轉矩的傳遞函數為isssMsMsG)()()()()(21122)(1)(21sMisM可見負載轉矩可見負載轉矩M M2 2折算折算到輸入端的折算值為：到輸入端的折算值為：)(1)(221sMisM由機械原理知，在不考慮功率損耗時有由機械原理知，在不考慮功率損耗時有2211MMM1M2（減速比：（減速比： ）1221ZZi 減速器：減速器：Z1Z21M12M2二、典型環節及其傳遞函數二、典型環節及其傳遞函數

28、2. 典型機電元部件傳遞函數中的典型環節典型機電元部件傳遞函數中的典型環節2.2.3 傳遞函數傳遞函數軸軸：211112121MMdtdfdtdJ軸軸：322222222MMdtdfdtdJ軸軸：3332323MdtdfdtdJM21M32齒輪傳動系統齒輪傳動系統：設輸入為設輸入為轉矩轉矩M1，輸出為轉角輸出為轉角1 。34323221221211ZZiZZiJ3, f3M1J1, f11軸軸J2, f22M2軸軸3M3軸軸Z1Z2Z3Z4且在不考慮功率損耗時有且在不考慮功率損耗時有:21211MiM32321MiM1121i2231i二、典型環節及其傳遞函數二、典型環節及其傳遞函數 2. 典

29、型機電元部件傳遞函數中的典型環節典型機電元部件傳遞函數中的典型環節2.2.3 傳遞函數傳遞函數11222132121212222132121)()(MdtdiififfdtdiiJiJJM11fJ J軸軸11212MdtdfdtdJ)1(1)()()(211TssKfsJssMssG齒輪傳動系統齒輪傳動系統：設輸入為設輸入為轉矩轉矩M1，輸出為轉角輸出為轉角1 。34323221221211ZZiZZiJ3, f3M1J1, f11軸軸J2, f22M2軸軸3M3軸軸Z1Z2Z3Z4二、典型環節及其傳遞函數二、典型環節及其傳遞函數 2. 典型機電元部件傳遞函數中的典型環節典型機電元部件傳遞函數

30、中的典型環節2.2.3 傳遞函數傳遞函數一、系統方框圖一、系統方框圖21211)()(RCsRRsUsUiO 方框圖模型是控制系統的又一種數學模型。特點：具有方框圖模型是控制系統的又一種數學模型。特點：具有圖示模型的直觀，能表明系統個元件的功能及信號的流向。圖示模型的直觀，能表明系統個元件的功能及信號的流向。方框圖具有數學性質，可以進行代數運算和等效變換，是計方框圖具有數學性質，可以進行代數運算和等效變換，是計算系統傳遞函數的有力工具，應用非常普遍。算系統傳遞函數的有力工具，應用非常普遍。 系統方框圖與原理圖是不一致的！系統方框圖與原理圖是不一致的！2.2.4 系統方框圖系統方框圖一、系統方框

31、圖組成一、系統方框圖組成A(s s)B(s s)C(s s)= A(s s) B(s s)A(s s)A(s s)A(s s)信號線：信號線：表示信號傳遞通路表示信號傳遞通路 與方向。與方向。 方框方框：表示對信號進行的數學變換。：表示對信號進行的數學變換。 方框中寫入元件或系統的傳遞函數。方框中寫入元件或系統的傳遞函數。 比較點比較點：對兩個以上的信號進行加減運算。：對兩個以上的信號進行加減運算。引出點：引出點：表示信號引出或測量的位置。同一位表示信號引出或測量的位置。同一位 置引出的信號數值和性質完全相同。置引出的信號數值和性質完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(- -)系統方框圖表示系統方框圖表示符號的符號的“三要素三要素”2