1、1熱統 統計物理基本觀點：宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統計平均值。第1頁/共43頁熱統任一粒子的狀態發生變化, 則整個系統的微觀狀態發生變化 單粒子的狀態描述：用 r 個廣義坐標和 r 個廣義動量，N個粒子系統的運動狀態需要來確定。用 共2r個變量為直角坐標，構成一個2r 維空間，稱為相（u）空間。 q1、q2、qr； p1、p 2、pr 系統由N個粒子組成，每個粒子的微觀態可用相空間的一個代表點表示，系統的微觀態可用相空間同一時刻的N個代表點描述q1、q2、qr； p1、p 2、pr6.1 6.1 粒子運動狀態的微觀描述粒子運動狀態的微觀描述第2頁/共4

2、3頁3微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為 ，動量為 p 的物體聯系著圓頻率為 ，波矢為k的平面波，并有6.2 粒子運動狀態的量子描述,Pk粒子狀態是分立(不連續）的。 粒子所處的狀態叫量子態 (單粒子態)。 量子態 用一組量子數表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態的量子數取值不同。量子描述單粒子的狀態是確定單粒子的量子態，對于N個粒子的系統，就是確定各個量子態上的粒子數。第3頁/共43頁4熱統6.3 系統微觀運動狀態的描述 全同粒子系統 就是由具有完全相同屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統。如自由電子氣體。 近獨立粒子系統：粒子之間的相互作用很弱，

3、相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個系統的能量表達為單個粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨立的粒子組成的系統 )iiE一一 基本概念基本概念系統的微觀態：整個系統的力學狀態系統的微觀態：整個系統的力學狀態第4頁/共43頁 1、微觀系統的經典描述5熱統 系統由N個粒子組成，每個粒子的微觀態可用相空間的一個代表點表示，系統的微觀態可用相空間同一時刻的N個代表點描述，即 (i=1，2.N),共2Nr個變量為確定。qi1、qi2、q ir； pi1、pi2、pir 一個粒子運動狀態用相空間一個點，一個系統用相空間N個點來表示。（特定的條件下可用） 在該描

4、述下全同粒子可分辨第5頁/共43頁6熱統定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據粒子的位置對其加以區分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。 2、微觀系統的量子描述不可分辨的全同粒子系統不可分辨的全同粒子系統( (非定域系）非定域系） 第6頁/共43頁7熱統玻耳茲曼系統玻耳茲曼系統 粒子可以分辨, 每個個體量子態上的粒子數不受限制.確定系統的微觀狀態要求確定每個粒子所處的個體量子態。確定了每個粒子所處的量子態就確定了系統的一個微觀狀態(如定域系)。例：設系統由A、B兩個粒子組成（定域

5、子）。粒子的個體量子態有3個, 討論系統有那些可能的微觀狀態？ 因此，對于定域系統可有9種不同的微觀狀態，即 32。一般地為 .a A B123第7頁/共43頁8熱統不可分辨的全同粒子系統不可分辨的全同粒子系統( (非定域系）非定域系） 確定由全同近獨立粒子組成的系統的微觀狀態歸結為確定每一個體量子態上的粒子數。或： 確定了每個量子態上的粒子數就確定了系統的微觀狀態（1）玻色系統：即自旋量子數為整數的粒子組成的系統. 如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數個費米子構成的復合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每個量子態上的粒子數不限（即不受泡利原理限制） 第8頁/共4

6、3頁9熱統上例變為 (A=B)兩個玻色子占據3個量子態有6種方式 第9頁/共43頁（2）費米系統：即自旋量子數為半整數的粒子組成的系統 粒子不可分辨，每個個體量子態上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。 兩個費米子占據3個量子態有3種占據方式 系統由兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態有3個, 討論系統有那些可能的微觀狀態第10頁/共43頁11熱統 對于不同統計性質的系統，即使它們有相同的粒子數、相同的量子態，系統包含的微觀狀態數也是不同的。 上例僅為兩個粒子組成的系統、三個量子態。對于大量微觀粒子組成的實際系統，其微觀狀態數目是大量的。第11頁/共43頁12熱統宏觀態：系統的熱力學

7、狀態 用少數幾個宏觀參量即可確定系統的宏觀態。微觀態：系統的力學狀態。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(玻耳茲曼系統)； 不可分辨的全同粒子系統(玻色、費米系) 宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統計平均值。6.4等概率原理第12頁/共43頁 微觀粒子的狀態雜亂無章，一個系統的力學狀態也是雜亂無章的，有很多個可能的狀態，那么，每個狀態出現的概率為多少呢，與什么因素有關13 確定各微觀狀態出現的概率就能用統計的方法求出微觀量的統計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此確定各微觀狀態出現的概率是統計物理學的基本問題。第13頁/共43頁1、等概率原理：對于處理平衡態的孤

8、立系統系統，各個可能狀態出現的概率是相等的等概率原理是統計物理的一個基本假設，是平衡態統計物理的基礎。第14頁/共43頁15熱統 全同近獨立粒子組成的系統，具有確定的粒子數N，能量 E 和體積V ，系統的N個粒子分布于各個能級，設第i能級上的粒子數為ai，則組成系統的粒子處于各能級的情況可描述為：以符號 表示 ， 稱為一個分布。la,21laaa能級：粒子數：,21laaa,21l, 2, 1ll分布 滿足條件：laNallEalll6.5分布和微觀狀態第15頁/共43頁16熱統 l,21 l,21 ， a a al,21，簡并度 粒子數N 粒子系統的 能 級 即：能級 1上有a1個粒子， 能

9、級 2上有a2個粒子，。 1 1a2ala2 l 分布只表示每一個能級上有多少個粒子。當能級是簡并態時，一種分布包含很多種微觀狀態。 每一種不同的量子態的占據方式都是不同的微觀運動狀態。第16頁/共43頁17 (1) al個離子占據能級l 上的l 個量子態時，第一個粒子可以占據 個量子態中的任何一個態，有l 種可能的占據方式。由于每個量子態能夠容納的粒子數不受限制，在第一個粒子占據了某一個量子態以后，第二個粒子仍然有l種的占據方式，這樣al 個編了號的粒子占據l個量子態共有 種可能的占據方式， lal 1、玻耳茲曼系統 (定域系統)的分布規律：第17頁/共43頁 (2) 各個能級都考慮在內，系

10、統總的占據方式數:lall (3) 現在考慮將N個粒子互相交換，不管是否在同一能級上，交換數是N!，在這個交換中應該除去在同一能級上al 個粒子的交換al !因此得因子llaN!/ /第18頁/共43頁19熱統例：系統有6個可分辨粒子，共兩個能級， 1=3， 2=4給定分布：a1= 4, a2=21 1a2a2 1 1a2a2 2443 (4) 系統分布 al 包含的總微觀狀態數為 !laM BllllNa1944043! 24624！2443 能級之間粒子交換的方式數目為！ 42! 6! 6lla第19頁/共43頁熱統 2 、 玻色系統分布玻色系統分布 al 包含的微觀狀態數包含的微觀狀態數

11、 粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統的微觀態。每個量子態上的粒子數不受限制。CDEA B1234 (1) al個粒子占據能級 l 上的 l個量子態的占據方式數：用 表示量子態， 表示粒子。12345 這樣就確定了每個量子態上的粒子數，即確定了一種占據方式（一個微觀態）。 對能級 ，lla把 個粒子和 個量子態混合排列，l第20頁/共43頁21熱統123451234513452 粒子和量子態之間的交換 會產生新的占據方式： 量子態和量子態之間的交換 不產生新的占據方式： 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會產生新的占據方式。 其中粒子與粒子的交換、量子態與量子態的交換不產其中粒子與粒子的交換、

12、量子態與量子態的交換不產生新的微觀態。只有量子態與粒子交換導致不同微觀態。生新的微觀態。只有量子態與粒子交換導致不同微觀態。量子態、粒子各種交換量子態、粒子各種交換(排列排列)總數總數)!1( lla 第21頁/共43頁22熱統量子態交換數量子態交換數)!1( l 粒子交換數粒子交換數!la各種交換共有各種交換共有 種可能的方式。種可能的方式。 )!1( !)!1( llllaa （2）將各種能級的結果相乘，就得到玻色系統與分布將各種能級的結果相乘，就得到玻色系統與分布 al 相應的微觀狀態數為相應的微觀狀態數為：(1)! (1)!llBElllaa第22頁/共43頁23熱統3、 費米系統分布

13、費米系統分布 al 包含的微觀狀態數：包含的微觀狀態數：!()!llallllCaa 將各能級的結果相乘，得到費米系統與分布 al 相應的微觀狀態數為： .!()!lF Dllllaa 粒子不可分辨，每一個個體量子態最多只能容納一個粒子。lla相當于從 個量子態中選 個被粒子占據。lla第23頁/共43頁熱統6.6 6.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布!laM BllllNa(1)! (1)!llBElllaa.!()!lF Dllllaa玻爾茲曼系統玻色系統費米系統 微觀狀態數是分布 al 的函數，不同的分布存在不同個微觀狀態數，可能存在這樣一個分布，它使系統的微觀狀態數最多。第24頁/共43頁

14、25 根據等概率原理，對于處在平衡狀態的孤立系統，系統各個可能的微觀狀態出現的概率是相等的，那么微觀狀態數最多的分布，出現的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。 第25頁/共43頁 為什么提出最概然分布？ 出現概率最大分布隨機現象多次呈現的結果 當最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時，系統呈現出基本相同的狀態可以用其表征平衡態分布第26頁/共43頁27熱統一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.系統）1、 寫出分布及對應的微觀狀態數 lalllMBlaN ! l,21 ，1 ， 2 l， a a al,21，玻耳茲曼系統粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 第27頁/共43頁28熱統2 取對數，用斯特林

15、公式化簡取對數，用斯特林公式化簡 llllla a N ln!ln!lnlnNNN lnllllllaaaNN lnlnln斯特林近似公式ln m ! ln mmm lllllaaa ln llla ln lalllMBlaN !要求1la要求1mllllla a N ln!ln!lnln第28頁/共43頁29熱統3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值(ln)(ln )ln d lnlllllllllllda d ad ad aaa 0 lnlnlnlnllllllNNaaa 對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零第29頁/共43頁30熱統由于系統確

16、定，則還要滿足約束條件： lldadN0lldadE0l llaN lllaE 0lldNdal0lldEda對上兩式子做一次微分得到： 上兩式子乘以未定乘子得到： (ln)d ln=0lllldaa 第30頁/共43頁31熱統(ln)ln0dNEddNdE0ln llla leall 即 稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統粒子的最概然分布）。 任意，所以 lda0lnllllldaa(ln)d ln=0lllldaa 0lldNdal0lldEda第31頁/共43頁32熱統 玻色分布和費米分布玻色分布和費米分布 包含微觀狀態數目最大的分布出現的概率最大，是系統的最概然分布。 lllll

17、EBaa)!1( !)!1(. lllllllllllEBaaaa ln) 1(ln) 1() 1(ln) 1(ln. ln)(lnln.lllllEBaaa 0lnln. llllllEBaaaEN llaN0 lllaE0 11;111;1lllllllllaaa 第32頁/共43頁33熱統0ln llllaa leaalll leaalll ）（1 leall 1 leall 此式給出了玻色系統粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。二、費米分布二、費米分布 費米分布的推導作為練習，請同學們課后自己推導. 1 leall 第33頁/共43頁費米分布費米分布 1 leall 第34頁/共43頁3

18、5熱統三種分布的關系三種分布的關系leall 1leall 1 eleall 1leall 這時玻色分布和費米分布都過渡到玻耳茲曼分布。由由 知知1 lla 1 eleall 與與是一致的，都稱為 非簡并性條件，或 經典極限條件。 滿足經典極限條件時，玻色系統和費米系統都過渡到玻耳茲曼分布。 通常條件下的理想氣體（非定域系）即屬于這種情況。 第35頁/共43頁36熱統l 玻耳茲曼系統遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統）。總之：總之： l 玻色系統遵守玻色分布；費米系統遵守費米分布。 l 滿足經典極限條件時，玻色系統和費米系統都滿足玻耳茲曼分布。 !NMBFDBE 定域系統和滿足經典極限條件的玻色(費米)系統雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態數是不同的。 第36頁/共43頁37熱統假如系統可以應用 M-B 分布, 而且粒子的能級非常密集, 則粒子的能量可看作是連續的，問題可用經典方法處理，這時的 M-B分布稱為經典分布。 第37頁/共43頁38熱統拉氏乘子 、 由約束條件決定： llaN llle lllaE llllea 與體積有關的常數，與溫度有關的常數第38頁/共43頁39熱統 llaNlllllleee令llleZ稱之為粒子配分函數第39頁/共43頁40熱統復習題二1、簡述統計物理的基本觀點、基本假設2、簡