1、第五章第五章 一階電路的瞬態分析一階電路的瞬態分析第一節第一節 概述概述電路結構，參數或電源的改變，稱為換路。電路從一種穩定狀態轉為另一種穩定狀態，稱為過渡過程。（1）對于純電阻電路，電路中電壓和電流的變化是“立即”完成的。 k閉合 ，k打開 11suir10i k kr1r2r3usi1（2）對于存在電容和電感的電路，電容元件的電壓（電荷）和電感元件的電流（磁鏈）變化一般需要時間。（過渡過程時間）。 例：如果電容原來不帶電，在開關閉合時，電容電壓從0變為 。電容電流su000limlim.csttcduuucccdttti k kc cucrus若電容電壓能“瞬間”從0升到 ，則必需有:su

2、0scucti電容電壓上升需要時間！電容電壓上升需要時間！0li .sluirlisurk krusill l例：原來電感，k閉合穩態時若電感電流能“瞬時”從0升到則需一個無窮大端電壓。則需一個無窮大端電壓。00limllltdiulldtti電感電流上升需要時間！電感電流上升需要時間！過渡過程分析方法：過渡過程分析方法：1. 1. 經典法經典法2. 2. 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法3. 3. 狀態變量法狀態變量法4. 4. 積分法積分法由kcl、kvl及元件電壓電流關系（ ）列出電路方程，然后解出微分方程。,ccduuir icdtlldiuldt( )ccsriuu t( )ccsdur

3、cuutdtc cucric( )stu例： 經典法解過渡過程一階微分方程0trccsuuaet若us(t)=us( )ccsdurcuutdt0( )(0 )cctutu從方程解出電容電壓( )cut的一般解(一階微分方程解)再由初始條件確定各系數。第二節第二節 換路定則與初始條件換路定則與初始條件 1. 換路法則：（一般情況）（1）電容電壓在換路前后的值不變k k( (t t= =0 0) )c cucrus(0 )(0 )ccuu由由 00(0 )(0 )limlimcccccttduuuuicccdttt當當 ，而，而 為有限值，則有為有限值，則有 0t ci(0 )(0 )ccuu（

4、2）電感電流在換路前后的值不變(0 )(0 )lliik k(t=0)(t=0)ruslil由由00(0 )(0 )limlimlllllttdiiiiullldttt當當 而而 為有限值時，則有為有限值時，則有 。0t lu(0 )(0 )llii(0 ), (0 )ccui(0 ),(0 )lliu2(0 )ru例例 ：圖示電路，開關閉合已久。求開：圖示電路，開關閉合已久。求開關關打開瞬間打開瞬間電容電壓電流電容電壓電流電感電壓電流電感電壓電流，電阻電壓電阻電壓。由換路定則，由換路定則，_(0 )cu(0 )li21212(0 ),(0 )scsluruuirrrr (0 )(0 ),(0

5、 )(0 )cclluuii 解：開關閉合時的電容電壓解：開關閉合時的電容電壓與電感電流與電感電流為為利用換路定則計算換路后利用換路定則計算換路后瞬間電路狀態瞬間電路狀態k kusr1r2lc ciluc12(0 )(0 ),scluiirr 222122(0 )(0 )(0 )(0 )0rlslrcruirurruuu 等效電路如圖，等效電路如圖，得：得：usr1r2iluculicur2電感等效于一電流源電感等效于一電流源 (0 )cu(0 )li因此計算因此計算電路時，電容等效于一電壓源電路時，電容等效于一電壓源，0t124 ,2sia rr 例例 ： 圖示電路圖示電路，開關閉合已久，開

6、關閉合已久，求開關打開瞬間電阻求開關打開瞬間電阻r1上的電流上的電流k kir1r1isc c1 1c c2 2lr22121(0 )0,(0 )42ccsuui rv解：開關閉合時有解：開關閉合時有1(0 )2 ,2lsiia開關打開后等效電路如圖開關打開后等效電路如圖ir1r1isr24v4v2a2a0v0v2(0 )ri1(0 )ri1122(0 )(0 )4 v(0 )(0 )0 v(0 )(0 )2 acccclluuuuii由換路定由換路定可可知知：ir1r1isr24v4v2a2a0v0v1122(0 )(0 )4 v(0 )(0 )0 v(0 )(0 )2 acccclluuu

7、uii121(0 )(0 )(0 )1 a2rrsliiii可以看到：可以看到：換路前后瞬間換路前后瞬間culi連續連續；ci和和和和lu不連續不連續。,ccllduidivdtcdtlcu的導數和的導數和li在換路前后都是在換路前后都是不連續的不連續的的導數的導數因此因此：第三節第三節 一階電路的零輸入響應一階電路的零輸入響應零輸入響應：當換路后的電路無外加激勵源，僅由儲能元件的初始儲能引起的響應利用一階微分方程描述的電路稱為一階電路( )0ccruticcduicdt0ccdurcudt0(0 )(0 )ccuuuusrc cicu uc c( (t)t)開關合向右邊后，電路方開關合向右邊

8、后，電路方程建立：（程建立：（kvl）得：得：電路為一階微分方程，故又稱為一階電路，初始條件：電路為一階微分方程，故又稱為一階電路，初始條件：一、一、rcrc電路零輸入響應電路零輸入響應特征方程：特征方程： rcs+1=0trcstcukeke1src 一階線性常系數齊次微分方程一階線性常系數齊次微分方程ttrccukeke電路方程解：電路方程解：rc cicu uc c( (t)t)rc0(0 )cuu0ku0( )(0)ctutu et 式中：式中：為電路時間常數，單位為秒。為電路時間常數，單位為秒。由初始條件由初始條件得得電容電壓響應（變化規律）：電容電壓響應（變化規律）：電壓波形為電壓

9、波形為tuc02u00 .36 8 u00 .13 5 u00( )tcrcduui tcedtr 0( )trccutu e負號表示實際的電容放電電流方向與假設的參考方向相反rc cicu uc c( (t)t)響應與電源（激勵）無關響應與電源（激勵）無關 ，又叫又叫自由響應（自由響應（natural response)暫態響應（暫態響應（transient response）00,0ttrcrccuuu eietr( )(0 )0ty tyet零輸入響應特點：零輸入響應特點：（a）零輸入響應是初始值的線性函數，滿足齊次性，可加性u0：00tcuu etku0 ：00tccukuku et

10、u01+u02：01020102()tttcuuueu eu e （b) 能量傳輸201(0 )2cwcu t=0 電容能量：電阻消耗能量：22200001(0,)()2trcruwri dtredtcur 電容上的能量完全被電阻消耗掉001( )0.368cuuue12rr反映了電容電壓下降為反映了電容電壓下降為原值原值0.368時所需時間。時所需時間。u0u uc c( (t)t)t t21（c）時間常數時間常數（time constant）反映電路達到穩態所需要的時反映電路達到穩態所需要的時間間 t 0+ 2 3 4 5 uc u0 0.368u0 0.135u0 0.050u0 0.0

11、18u0 0.007u0 04 5 時間，電路達到穩定時間，電路達到穩定.改變電阻會改變電容電壓的下降速度改變電阻會改變電容電壓的下降速度利用利用rcrc電路可做成簡易延時電路電路可做成簡易延時電路（d）時間常數的計算：確定時間常數需簡化電路為r-c形式。 電容以外的電路去掉獨立電源后去掉獨立電源后簡化為一個等效電阻。（無源網絡簡化）rcc1c2c3r1r2r3cr=reqceqreq=r1+r2/r3 ceq=c1/(c2+c3)tuc0t2t1u0pu11100ttcpt tduudku eedtdt 1012()()tuuett u1(t1)=uc (t1)110120()()ttuet

12、tu e21tt次切線法tangent at p(0 )2vcu122 ,1,1frrc 例1 ： 如圖所示為換路后的電路，其中 求零輸入響應2( ),( )cuti t解：在外圍電路中應用解：在外圍電路中應用kvl，可得，可得1122cui ri r122ii r于是于是 111cui ri可得等效電阻為可得等效電阻為： 113curri 時間常數為時間常數為 ：3rcs零輸入響應為零輸入響應為：313222( )(0 )2v0( )( )1( )a6ttcctcutueetuti ti terrr例例2：k閉合前電路處穩態，閉合前電路處穩態，r1=1，r2=2，r3=3，c1=1f，c2=

13、2f，is=1a，t=0時時k閉合，求閉合，求t0時時uc1、uc2、i1、i2、i。c1r1i1isii2r2kr3c2+uc1+uc21=r1c1=1s，uc 1(0+)= uc 1(0)=5vr1isr2r3+uc1+uc2t=0uc 1(0)=(r2+r3)is=5v，uc2(0)=r3is=3vc1+uc1i1r111(0 )50ttccuueevt11150tcuieatr解：解：r=r2/r3=1.2 2=rc2=2.4suc 2(0+)=uc 2(0)=3vc2+uc2i2r3r22.4221.50tcuieatr2.412151.50ttsiiiieeat c1r1i1isi

14、i2r2kr3c2+uc1+uc2為時間常數，為時間常數，0(0 )lii0lldilridt.trtllikekelr初始條件初始條件方程解方程解由初始條件解得由初始條件解得:ilt tio二、 rl電路的零輸入響應 開關合向下后可建立方程：開關合向下后可建立方程：一階線性常系數齊次微分方程一階線性常系數齊次微分方程0( )rrttsllui ti eer指數規律衰減，最終衰減至零指數規律衰減，最終衰減至零 對應的電阻電壓：( )( )rtlrsutri tu e電感電壓：( )rtllsdiutlu edt lr與rc電路中的時間常數一樣，它反映了過渡過程進程的快慢 （1）rl電路零輸入響

15、應與rc電路一樣是初始值的線性函數，滿足齊次性，可加性（2）在整個過渡過程中，電阻上消耗的總能量為： 22200 0 01() 2rtlri dtr i edtli電阻上消耗的能量就等于電感l上的初始儲能 第四節第四節 一階電路的零狀態響應一階電路的零狀態響應零狀態響應： 當所有的儲能元件均沒有初始儲能，即電路處于零初始狀態情況下，外加激勵在電路中產生的響應。電路狀態是指電路儲能元件的狀態（電壓、電流值）。電路響應由外加激勵引起：零狀態響應。ccsdurcuudt(0 )(0 )0ccuu一、直流激勵下rc串聯 電路的零狀態響應電路中電容電壓初始值為零電路中電容電壓初始值為零( )csstut

16、uu erc式中式中一階線性常系數一階線性常系數非齊次非齊次微分方程微分方程特解特解 ：( )cpsutu齊次方程的通解齊次方程的通解：( )ttrcchutaeae全解為全解為：( )( )( ) tccpchsutututuaesau ( )cstutuke強制響應強制響應( forced response)或穩態響應或穩態響應( steady-state response) ( )(1)tcsutue( )tcsduui tcedtr( )( )trsutri tu e自由響應或暫態響應（自由響應或暫態響應（transient response）2201( )d2rcswri ttcu2

17、12cswcu （ b） 充電過程電阻耗能：充電過程電阻耗能：電容最終儲能：電容最終儲能：充電過程有一半能量消耗在電阻。充電過程有一半能量消耗在電阻。（a）零狀態響應與電源（激勵）成正比）零狀態響應與電源（激勵）成正比（c） time constant =rctt1t2ucusupu1pqtangent at pu1= k(tt1)+up11(1)ttcpst tsdudkuedtdtue1(1)tpsuue1111()(1)ttssuuettue11122121( )()(1)ttsssuu tuettuett4 5 電路達到穩態電路達到穩態解解：0t0時的時的uc 。k=2isr1r2c+

18、uc(1)圖(b)iskr1r2c+uct6s ： 2=rc=2s r1 r2 c + uc(2) r 122/3rrr6(1)16(6 )2(1)2(1)1.26tctueev(2)(1)(6 )(6 )1.26ccuuv6622(2)(2)(6 )1.266ttccuueevtt(s)uc(v)61.26uc(2)uc(1)二、直流激勵下rl串聯電路的零狀態響應(0 )0ai0t sdilriudt一階線性常系數一階線性常系數非齊次非齊次微分方程微分方程方程的全解是其特解和齊次方程的通解之和方程的全解是其特解和齊次方程的通解之和( )( )( )phi titi t特解對應的分量為特解對應

19、的分量為強迫分量強迫分量，此處的激勵，此處的激勵是直流電源，強迫分量是直流電源，強迫分量即即穩態分量。穩態分量。( )( )spuiitr ( )thi tae通解為通解為：( )( )( )tsphui titi taer(0 )(0 )0 aiisuar ( )(1)(1)trtssluui teerr( )( )(1)rtlrsutri tue( )rtllsdiutlu edt例：圖示電路 12122k ,4k ,1mh,2mh,6vsrrllut=0開關s閉合，求零狀態響應：12( ),( ), ( )llututi t解：解：123mheqlll126keqrrr3633 1011

20、0 s6 102eqeqlr6666662 102 10332 1032 101132 1032 10226( )(1)(1)1ma6 10( )1 10(1) 10 2v( )2 10(1) 10 4vtttseqttlttlui teeerdidutleedtdtdidutleedtdt 三、正弦交流激勵下rl串聯電路的零狀態響應激勵為正弦交流電壓源激勵為正弦交流電壓源：( )sin()smuutut0t ( )sin()smudilriututdt初始條件仍為初始條件仍為：(0 )0i( )( )( )phi titi t設該特解設該特解：sin()ppmiit代入微分方程可得：代入微分

21、方程可得： cos()sin()sin()pmpmmulitritut令令:1()ltgr2222sin, cos()()lrrlrl有有:式（式（1）令令:22()zrl式（式（1）左左邊邊可改寫為可改寫為：cos()sinsin()cos sin()pmpmzittzit則：則：sin()sin()pmmuzitut,mpmuuiz特解為特解為：( )sin()mpuuittz全解為全解為：( )sin()tmuui ttaez(0 )(0 )0iisin()muuaz ( )sin()sin()rtmmluuuui ttezz( )sin()sin()rtmmluuuui ttezz(

22、)sin(90 )sin()rtmmlluuulu rdiutltedtzz( )sin()sin()rtmmlruuu ru ruttezz從上述求解過程可以看出，正弦信號激勵下的電路求解過程從上述求解過程可以看出，正弦信號激勵下的電路求解過程比較繁瑣比較繁瑣。可采用。可采用后述的后述的“相量法相量法”，簡化計算過程。，簡化計算過程。第五節第五節 一階電路的全響應和三要素法一階電路的全響應和三要素法由外施激勵和儲能元件的初始儲能共同引起的響應，稱為全響應。全響應即意味著微分方程的全解，是方程的特解與其齊次方程的通解之和。開關開關s處位置處位置1已久已久1(0 )(0 )ccsuuu在開關在開

23、關s切換后切換后：2ccsdurcuudt通解為通解為：2( )( )( )trcccpchsutututuae12ssauu全響應全響應：212( )()trccsssutuuue12( )(1)ttrcrccssutu eue零輸入響應零輸入響應零狀態響應零狀態響應全響應全響應=零輸入響應零輸入響應+零狀態響應零狀態響應t trcke電路全響應 = 通解 特解= 零輸入響應 + 零狀態響應暫態分量（自由響應）+ 穩態分量（強制響應）穩態分量形式與激勵源相同，對應方程的特解，穩態分量形式與激勵源相同，對應方程的特解，暫態分量形式暫態分量形式 決定于電路結構參數。決定于電路結構參數。說明：外施

24、激勵為直流源或者正弦交流電源時，強迫響應也分別為恒定值或者正弦函數，這時的強迫分量就是穩態分量。如果激勵是一個指數函數，例如e指數函數時，強迫響應就是一個相同變化規律的指數函數，此時強迫此時強迫響應就不能稱為穩態分量。響應就不能稱為穩態分量。( )( )tf tftke穩(0 )f(0 )(0 )kff穩( )( ) (0 )(0 )tf tftffe穩穩一階電路的三要素法（公式法）：電路響應（解）一般形式電路響應（解）一般形式由初始條件由初始條件可解出可解出有：有：由上式可直接寫出電路響應，只要知道三個要素：由上式可直接寫出電路響應，只要知道三個要素：（1）穩態解；（）穩態解；（2）初始值；

25、（）初始值；（3）時間常數）時間常數( )( )(0 )(0)trcccccututuue穩穩scuu穩(0 )scuu穩0(0 )(0 )ccuuu0(0 )cuu( )cut例例1求求k閉合后閉合后 rc cu uc c( (t)t)us解：由三要素公式解：由三要素公式得：得：0( )trccssutuuue已知已知,sur和1( )220sin100 ,20 ,(0 )101000scutt cf ru( )cutcu120 0 ,10suc例例2：求：求：k閉合后閉合后 。 的穩態值可用的穩態值可用相量法相量法求出。求出。k krrc c1 1u us s( (t t) )u uc c

26、( (t t) )1()10 1022 545110102scujjcurjjc rouo.j c1 1ic.10sin(10045 )cut穩(0)10sin( 45 )5 2cu （a）1002( )10sin(10045 )105ctutte/10rrr1100r c（b）時間常數）時間常數: 確定時間常數需簡化電路為確定時間常數需簡化電路為r-c形式。形式。 電容以外的電路去掉獨立電源后簡化為一個等效電容以外的電路去掉獨立電源后簡化為一個等效 電阻。（無源網絡簡化）電阻。（無源網絡簡化）故故電容電壓：電容電壓：rr（c）初始值：）初始值：(0 )(0 )10ccuu( )( ) (0

27、)(0 )tf tftffe穩穩130 ,100 ,(0 )0.1500scuv rcf u( )ri t( ) (0 )(0)rrrrtitiiie穩穩例例3:k krrrirc cus求求k閉合后閉合后 。解：解： 0.152sruari穩31150 ,210rrr c (0 )(0 )0rrii注意：注意：除電容電壓和電感電流外，其除電容電壓和電感電流外，其它量換路前后一般不相等。它量換路前后一般不相等。(0 )ri0t求求：由：由時電路狀態來計算。時電路狀態來計算。rrrir(0+)usuc(0-)得：得： 10.1 .322(0 )sriuar10( )0.150.1 0.15rti

28、te例例4：如圖電路，：如圖電路，r=1 ，c=1f，is=1a， =0.5，電路已達穩，電路已達穩態。求當態。求當 突變為突變為1.5后的電容電壓。后的電容電壓。isiirrrucc c解：用三要素法求解解：用三要素法求解（1） 電容電壓初始值電容電壓初始值(0 )cu(0.5)2siiii0.43siia(0 )0.4curiv（2） 電容電壓穩態值電容電壓穩態值(1.5)2siiii233siia23cpuriv（3）時間常數）時間常數iirrriirr(a)(b)圖圖(b)電路的入端電阻電路的入端電阻(2)0.5rr圖圖(a)電路的入端電阻電路的入端電阻013rrrrr013cr電容電

29、壓為電容電壓為322( )0.433ctuter( )stutue(0 )0cutccdurcuuedtctrcuke tcuae tttrcaeaeue1uarc1tcuuerc (0 )(0 )0ccuu1ukrc( )1ttrccuuteercusrc cuck k例例5（指數激勵），（指數激勵），注意注意: : 三要素法應用于直流或正弦電源激三要素法應用于直流或正弦電源激勵電路，其余激勵源一般需解非齊次方程。勵電路，其余激勵源一般需解非齊次方程。求求k(t=0時時)閉合后的閉合后的( )cut。，通解，通解，特解，特解代入原式代入原式，得，得特解為特解為全解全解由由得得有有1trccc

30、ctuuuuekerc例例6 如圖電路，如圖電路，已知已知us=18v， =8，r66 ，l=0.9h，c=0.5f，il(0 )=0a，uc(0 )=0v，t=0時開關時開關s閉合，試求閉合，試求il(t)和和uc(t)。 解：根據換路定則可得解：根據換路定則可得:(0 )(0 )0allii當開關當開關s閉合后電路到達穩態時，閉合后電路到達穩態時，在左側電路中應有在左側電路中應有:1 ( )1a/2sluirrr 10.90.1s9eqlr110( )( ) (0 )( )1attlllli tiiiee 110( )( ) (0 )( )1attlllli tiiiee 1010( )1

31、 0.5a,84aldittldtrili teier 在電路右側部分回路中，由于激勵在電路右側部分回路中，由于激勵i含有指數函數，此時的電路含有指數函數，此時的電路強迫響應不是穩態分量強迫響應不是穩態分量,不可以用不可以用( )( )pftf, cccccriuduiiicrdt利用利用kcl:101846tccduuedt(0 )(0 )0vccuu解此微分方程得解此微分方程得:1610( )47.593480.407vttcutee 【參見參見教材教材附錄附錄a】第六節第六節 一階電路的階躍響應一階電路的階躍響應在分析線性電路過渡過程時，基于工程應用，通常研究一些典型奇異函數所描述的激勵

32、下一階電路的響應。奇異函數奇異函數是本身不連續、或者有不連續導數與積分的一類函數。一、階躍函數一、階躍函數單位階躍函數單位階躍函數01( )1t00tt將單位階躍函數乘以常數將單位階躍函數乘以常數k k，得到階躍函數，得到階躍函數也也稱為開關函數稱為開關函數)(1 tk 延時的單位階躍函數延時的單位階躍函數10)( 10tt00tttt利用階躍函數和延時階躍函數，利用階躍函數和延時階躍函數，可以表示可以表示矩形脈沖函數矩形脈沖函數0( )1( )1()sutatatt二、階躍響應二、階躍響應階躍函數激勵的電路，相當于電路在階躍函數激勵的電路，相當于電路在 時刻接時刻接通電壓值為通電壓值為k k

33、（v v）的直流電壓源或者電流為）的直流電壓源或者電流為k k（a a）的直流電流源。的直流電流源。可見可見，階躍響應與直流源激勵時，階躍響應與直流源激勵時電路的響應相同，可以用上節所述的三要素法。電路的響應相同，可以用上節所述的三要素法。0t 例：例： 在如圖所示在如圖所示 電路中，電路中，電壓電壓 分別由階躍函數和延時的階躍函數設定為分別由階躍函數和延時的階躍函數設定為：rl10 ,2hrl( )sut( )10 1( )sutt( )10 1(2)sutt和和分別求分別求0t 該電路的零狀態響應該電路的零狀態響應( )i t解：解：( )10 1( )sutt相當于在相當于在0t 時刻接

34、通時刻接通10v的直流電壓，應用三要素法，可求的直流電壓，應用三要素法，可求出其階躍響應為出其階躍響應為：510( )( )(0 )(0 )(1) 1( )(1) 1( )atrtlppti titiieetret( )10 1(2)sutt仍以仍以0t 時刻設定計時起點時刻設定計時起點，可得可得：2(2)5(2)( )( )(2 )(2 )10 11(2)(1) 1(2)atpprttli ti tiieetetr510( )( )(0 )(0 )(1) 1( )(1) 1( )atrtlppti titiieetret2(2)5(2)( )( )(2 )(2 )10 11(2)(1) 1(

35、2)atpprttli titiieetetr該電路的激勵延時該電路的激勵延時0t，響應也隨之延時響應也隨之延時0t這種電路稱為這種電路稱為 非時變電路非時變電路若電路中的若電路中的r r、l l、c c、mm均為常系數，這樣的電路都均為常系數，這樣的電路都是非時變電路是非時變電路例例： 在所示電路中，在所示電路中， 12( )3 1( )a,( )2 1(2)assittitt 124 ,6rr 0.1f,(0 )0vccu計算計算 時時0t ( )cut12( )0a,( )0a,(0 )0vsscititu解：解：02st 12( )3a,( )0a,(0 )(0 )0vssccitit

36、uu12()1srrc在在3a電流源作用下的穩態響應為：電流源作用下的穩態響應為：12( )( )18vcpcsutuir ( )( )(0 )(0 )18(1) vttccpccpututuuee2st 時：時：12( )3a,( )2assitit2(2 )(2 )18(1)15.56vccuue2112( )( )26vcpcssutuirir (2)(2)( )( )(2 )(2 )26 10.44 vttccpccpututuuee三、脈沖序列響應三、脈沖序列響應激勵呈現為脈沖序列的特征一個方波序列信號,電路處于一個連續的充電和放電過程 在（在（0t0）時間內，電源電壓為）時間內，電

37、源電壓為u，電容處于充電過程，電容處于充電過程( )( )cpcutuu ( )( )(0 )(0 )(1)ttrcccpccpututuueue0tt電容處于放電過程，電容處于放電過程，00()(1)trccutue000()()(1)trcccututue( )( )0cpcutu 00000( )( )()()(1)t ttt trcrcccpccpututututeuee以上方法是基于激勵的作用，以上方法是基于激勵的作用，對時間進行分段對時間進行分段求解的方法。求解的方法。若考慮到激勵為矩形脈沖，依據若考慮到激勵為矩形脈沖，依據疊加定理疊加定理0( )1( )1()sututtt01(

38、)0( )11( )11()tt trcrccutuetuett0011()()01()0( )11( )11()11()11()tt tt trcrcrcctt trcutuetuettuettuettt00.5 ()trc 010 ()trc 第七節第七節 一階電路的沖激響應一階電路的沖激響應單位沖激函數0 t0( ) t=0( )1ttdt沖激響應: 在單位沖激函數激勵下電路的零狀態響應1( )( )d ttdt( )ccdurcutdt通解為其強迫響應與自由響應之和:( )( )( )( )1( )trcccpchutututtat e01arc21( )( )( )1( )11( )

39、1( )( )trcccpchtcrcutututetrcdui tcettdtr cr 電容電壓的變化規律和電容初始值為電容電壓的變化規律和電容初始值為 時電路的時電路的零輸入響應相同零輸入響應相同。1rc沖激函數激勵可看作在 t0時刻電路中一個量值為無限大，而作用時間為無限小的電壓源。在 時段內，沖激函數激勵使儲能元件的初始儲能發生跳變，建立起 時刻的初始儲能。當 后，沖激函數的激勵消失，電路靠 時刻的初始儲能而出現零輸入響應零輸入響應。(0 ,0 )0t0t 0t求出沖激激勵源在電容中建立的初始電壓，或者在電感中建立的初始電流，即求出換路后瞬間儲能元件的初始值，就可以按零輸入響應的形式確

40、定電路中的過渡過程。1(0 )(0 )0ccuurc 沖激函數是階躍函數的導數，因此在線性、非時變電路中，沖激響應 亦是階躍響應 的導數。( )h t( )s t階躍響應由“三要素法”得出為：( )( )(0 )(0 )(1) 1( )1( )1( )ttrcrcccpccptrcs ututuueets i tetr求導可得沖激響應為：2( )1( )1( )( )11( )1( )( )tcrcctrcds uth utetdtrcds i th i tettdtr cr 例：在所示電路中， ( )2 (2)v,(0 )2aslutti2hl 124 ,8rr 計算0t 時的( )li t

41、解：電路全響應為零輸入響應和零狀態響應之和。02st 電路有零輸入響應。1223s4 84(0 )(0 )2alllrrii43(0 )2attlliiee2st 延時的沖激函數激勵該電路，可以利用階躍響應利用階躍響應來求解其沖激響應，即電路的零狀態響應。( )1( )vsu tt1( )( )0.25aslputitr令令43( )( )(0 )(0 )0.25(1) 1( ) attllpllps i titiieet43( )( )(0 )(0 )0.25(1) 1( ) attllpllps i titiieet沖激響應為：43( )1( )1( ) a3tllds i th i te

42、tdt基于電路的線性和定常特點( )2 (2)vsutt激勵下電路的沖激響應：4(2)322(2)1( ) a3tllih i tet全響應為：44(2)332( )(2) 1( ) a3ttllli tiieet（方法二）沖激響應也可以按電感初始狀態的變化來求取( )2 (2)vsutt作用期間：2st 時，電感上的分壓為：21284(2)2 (2)(2)v483lsruuttrr(2 )0li(2)lu在(2 , 2 )內在電感上產生的初始狀態為：22221142(2 )(2 )(2)(2)a233llliiudttdtl其產生的零輸入響應也是：4(2)322(2)1( ) a3tllih

43、 i tet 例例: 在如圖電路中，在如圖電路中，n為純電阻網絡為純電阻網絡 2hl 當當( )1( )vsu tt21( )(1) 1( ) a4ti tet當當( )( )vsutt且將電感且將電感l更換為電容更換為電容1fc 試試計算計算( )i t解：當解：當( )1( )vsu tt電流電流i可由可由“三要素法三要素法”求得求得：比較上式等號兩端可知比較上式等號兩端可知：( )1a3(0 )a421s,42piiilrrr r是當電壓源置零時電感是當電壓源置零時電感l左側部左側部分的等效電阻。分的等效電阻。( )1( )vsu tt電感電感l更換為電容更換為電容c此時的階躍響應此時的

44、階躍響應：( )( )(0 )(0 )tpps i ti tiie考慮到當考慮到當0t(0 )(0 )0llii電感相當于開路；電感相當于開路；(0 )(0 )0ccuu電容相當于短路電容相當于短路；t 時，電感相當于短路，而電容相當于開路。時，電感相當于短路，而電容相當于開路。比較可得比較可得：3( )( )(0 )a4(0 )( )1a4spi tiiiirc 1431( )( )(0 )(0 )() 1( ) a44ttpps i ti tiieet1431( )( )(0 )(0 )() 1( ) a44ttpps i ti tiieet( )1( )vsu tt( )( )vsutt

45、則：則：14( )1( )( )1( ) a16tds i th i ttetdt第八節第八節 一階奇異電路一階奇異電路本節論述不適用換路定則，即在換路前后瞬間電容電壓和電感電流將呈現跳變的一階電路（一階奇異電路）的特征。 一階奇異電路可以應用三要素法分析，分析的要點在于確定電容電壓和電感電流跳變的初始狀態。（1）對于一階奇異電路，當電路換路后，電路中存在由電壓源、電容組成的回路或純電容回路時，換路定則不適用，各電容電壓可能會跳變，且電容電流不再是有限值。分析一階rc奇異電路電容初始值的方法為：在節點上電荷守恒，在節點上電荷守恒，即：(0 )(0 )qq節點節點(0 )(0 )cccucu節點

46、節點電荷為代數量，電荷為代數量，當與節點相連為電容正極板時，電當與節點相連為電容正極板時，電荷取正；反之，取負。荷取正；反之，取負。電路存在由電壓源和電容組成的回路（或存在純電容回路）時電容電壓有突變。但節點電荷不突變證明：證明：如圖所示電路，滿足如圖所示電路，滿足kclk kuc1uc2usa ac c1 1c c2 2(0 )(0 )qq1212,ccduduccdtdt 00121200ccduducdtcdtdtdt對上式從對上式從t=0 到到 t=0+ 積分積分00112200,ccc duc du 11112222(0 )(0 )(0 )(0 )cccccucuc uc u1122

47、1122(0 )(0 )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 00121200ccduducdtcdtdtdtk kuc1uc2usa ac c1 1c c2 2注意：電容電壓正號對著節點為正，注意：電容電壓正號對著節點為正， 負號對著節點為負。負號對著節點為負。1212,2 ,4 ,sucfcf 12(0 ),(0 )ccuu例例1：設：設k kuc1uc2usa ac c1 1c c2 212(0 )4 ,(0 )2 ,ccuvuv 開關原來打開，問開關原來打開，問k閉合后瞬間閉合后瞬間。0(0 )(0 )kvltqq由列時回路電壓方程；列電容連接處節點電荷守恒方程解題要點：解題要

48、點：解：電路閉合后，應滿足kvl，即有：12(0 )(0 )sccuuu節點節點a電荷變換前后應保持一致電荷變換前后應保持一致(0 )(0 )aaqq即：即： 11221122(0 )(0 )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 代入數據：代入數據： 1212(0 )(0 )ccuu122(0 )4(0 )88ccuu k kuc1uc2usa ac c1 1c c2 212(0 )8 ,(0 )4ccuv uv12(0 )4 ,(0 )2 ,ccuvuv 得：得： 比較比較例例2：在圖示電路中，已知在圖示電路中，已知 11fc 22fc 12(0 )1v,(0 )2vccuu2r 0

49、t 時，開關時，開關s閉合，求閉合，求s閉合后閉合后1( )cut2( )cut1( )cit2( )cit解：解：s閉合后瞬間，閉合后瞬間，12(0 )(0 )ccuu換路前后電荷守恒換路前后電荷守恒：22112211(0 )(0 )(0 )(0 )ccccc uc uc uc u代入數據代入數據可解得：可解得：125(0 )(0 )v3ccuu12()6sr cc1611625( )1()1( ) v 35( )2 1()1( ) v3tctcuttetuttet 116111262225( )( )1( ) v31825( )( )1( ) v39tcctccduitctetdtduit

50、ctetdt 可可見：見：1122(0 )(0 ),(0 )(0 )ccccuuuu即換路瞬間電容電壓強迫跳變，且電容電流中出現了沖激函數。即換路瞬間電容電壓強迫跳變，且電容電流中出現了沖激函數。（2）對于一階奇異電路，當電路換路后，電路中存在由電流源和電感組成的割集或純電感割集時，換路定則不適用，各電感電流可能會發生跳變，且電感電壓不再是有限值。分析一階rl奇異電路電感初始值的方法為：在回路中磁鏈守恒在回路中磁鏈守恒，即：(0 )(0 )回路回路(0 )(0 )lllili回路回路磁鏈為代數量，磁鏈為代數量，給定回路方向，當電感電流方向與回路方向一致時，取正；反之，取負。證明：對兩個電感所在

51、的回路列證明：對兩個電感所在的回路列kvl方程方程k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b11(0 )(0 )(0 )(0 )k kk kkknnllii當電路存在由電流源和電感組成的割集（或純電感割集）時，電感電流有突變。但回路磁鏈的值在換路前后保持不變:00002132211100000lllldidir i dtldtldtri dtdtdt213221110,lllldidir illridtdt 對上式從對上式從t=0 到到 t=0+ 積分積分002211000,lll dildi 22221111(0 )(0 )(0 )(0 )0lllll il ilili22112

52、211(0 )(0 )(0 )(0 )lllll ilil ili11(0 )(0 )(0 )(0 )k kk kkknnllii所以：所以：k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b注意：電感電流與回路繞注意：電感電流與回路繞向一致為正，不一致為負。向一致為正，不一致為負。12310rrr12lh21,6 ,slh ia k12(0 ),(0 )llii例例3：，原來原來k閉合，閉合，求：求：k打開后打開后。k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b解：解：12(0 )(0 )23slliiia0kclt由列節點電流方程列電感回路磁鏈守恒方程解題要點：解題要點：0t1

53、2(0 )(0 )slliii_(0 )(0 )11221122(0 )(0 )(0 )(0 )lllllil ilil i126(0 )(0 )llii122(0 )(0 )42llii1210(0 )8/3 , (0 )3lliaia由由kcl，開關打開后，開關打開后k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b時時利用回路磁鏈不突變：利用回路磁鏈不突變： 磁鏈方向與回路方向一致！磁鏈方向與回路方向一致！代入數據代入數據得：得：，12(0 )(0 )23slliiia比較：比較：例例4 在圖示電路中，已知在圖示電路中，已知 11r 22r 11hl 24hl 3asi 開關開關s原

54、在原在1處已久，在處已久，在0t 時，開關時，開關s由由1切換至切換至2，求換路后，求換路后的電感電流的電感電流12( )( )llitit、電感電壓電感電壓12( )( )llutut、解：當解：當0t 開關開關s在在1處已久處已久21121212(0 )2a(0 )1 alslsriirrriirr當當s由由1切換至切換至2后瞬間，后瞬間，0t時有時有：12(0 )(0 )0llii換路前后磁鏈守恒換路前后磁鏈守恒：22112211(0 )(0 )(0 )(0 )lllll ilil ili代入數據，并聯立求解得代入數據，并聯立求解得：1222(0 )a,(0 )a55llii 12125

55、s3llrr應用三要素法，換路后電感電流可應用三要素法，換路后電感電流可以表示為以表示為：3513522( )2 1()1( ) a 52( )1()1( ) a5tltlittetittet 電感電壓為電感電壓為：3151132522126( )( )1( ) v5251224( )( )1( ) v525tlltlldiutltetdtdiutltetdt 可可見見，11(0 )(0 )llii22(0 )(0 )llii即在換路前后電感電流發生強迫跳變，且電感電壓中即在換路前后電感電流發生強迫跳變，且電感電壓中出現了沖激函數。出現了沖激函數。本節以下內容不做要求本節以下內容不做要求k k

56、uc1uc2usa ac c1 1c c2 21212,ccduduccdtdt 121200ccduducdtcdtdtdt對上式從對上式從t=0 到到+ 積分積分11112222( )(0 )( )(0 )cccccucuc uc u 11221122( )( )(0 )(0 )cccccuc ucuc u 強迫突變下的電荷守恒和磁鏈守恒強迫突變下的電荷守恒和磁鏈守恒對于電容，對于電容， 如圖回路由如圖回路由kcl得：得：rc c1 1uc1 1c c2 2uc2 2auc1uc2a ac c1 1c c2 2-+uc3c c3 3對純電容節點，電荷不突變且守對純電容節點，電荷不突變且守恒

57、恒(0 )(0 )aaqq( )(0 )aaqq (0 )(0 )aaqq對非純電容節點，電荷不突變但不對非純電容節點，電荷不突變但不守恒守恒k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b2132211100000lllldidir i dtldtldtri dtdtdt213221110,lllldidir illridtdt 對上式從對上式從t=0 到到 積分積分對于電感，對于電感，如圖回路由如圖回路由kvl得：得：22221111( )(0 )( )(0 )0lllll il ilili _( )(0 ) k kr1r2r3isl1l2il1il2a ab b_(0 )(0 )_

58、(0 )(0 )對非純電感回路，磁鏈不突對非純電感回路，磁鏈不突變但不守恒變但不守恒對純電感回路，磁鏈不突變且守恒對純電感回路，磁鏈不突變且守恒l1l2il 1il 2_( )(0 ) 例：圖示電路中，已知例：圖示電路中，已知is=6a， l1=1h l2=1h,r=1 ,il1(0-)=1a, il2(0-)=2a,求求k閉合后的閉合后的il2(0)及及il2( )解：解： il1(0)= il1(0-)=1a, il2(0) il2(0-)=2a解之得：解之得：il1( )2.5a， il2( )3.5a1122112212( )( )(0 )(0 )( )( )( )llllllrsli

59、l ilil iiiii risl1l2il1il2k kus+ulir1r2r3clicil+uc解題步驟：解題步驟：獨立初始值：獨立初始值：uc(0+)與與il(0+)； t=0非獨立初始值：非獨立初始值：第一類非獨立初始值：第一類非獨立初始值： t=0+第二類非獨立初始值：第二類非獨立初始值： t 0 其他其他，ul(0+)，ic(0+) 00,cldudidtdt例：開關例：開關k打開前電路處穩態，給定打開前電路處穩態，給定r1=1，r2=2，r3=3，l=4h，c=5f，us=6v，t=0開關開關k打開，求打開，求ic ，il，i，uc ，ul， 在在0+時的值。時的值。22,ccl

60、ldudidid idtdtdtdt解解：us+uc(0)r1r2r3il(0)i2(0)t=0：123(0 )4()/sluiarrr212(0 )4csruuvrruc (0+)=uc(0)=4vil(0+)=il(0)=4a1(0 )(0 )2sccuuiari(0+)= ic (0+)+il(0+)=6aul (0+)=us r3il(0+)= 6v01(0 )1.5/ lldiua sdtl01(0 )0.4/ccduiv sdtct=0+：us+ul(0+)r1uc(0+)r3il(0+)i(0+)ic(0+)t0：us+ulir1ilr3clic+uc圖(d)r1ic + uc