1、不等式中恒成立問題的解法研究在不等式的綜合題中，經常會遇到當一個結論對于某一個字母的某一個取值范圍內所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的基本思路是：根據已知條件將恒成立問題向基本類型轉化，正確選用函數法、最小值法、數形結合等解題方法求解。一、用一次函數的性質 對于一次函數有：例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。

2、二、利用一元二次函數的判別式 對于一元二次函數有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析

3、：由于函，顯然函數有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫分離參數法。四：數形結合法 對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函數的圖象法求解。例5：已知，求實數a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別

4、等于2和0.5，并作出函數的圖象，所以，要想使函數在區間中恒成立，只須在區間對應的圖象在在區間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數不能單獨放在一側的，可以利用函數圖象來解。利用函數圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側，而點P(m,n)在圓上，實質相當于是在直線的右側并與它相離或相切。，故選D。 其實在習題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒

5、成立問題。其實，對于恒成立問題，有時關鍵是能否看得出來題就是關于恒成立問題。下面，給出一些練習題，供同學們練習。練習題：1、對任意實數x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設上有意義，求實數a的取值范圍.。3、當恒成立，則實數a的范圍是_。4、已知不等式： 對一切大于1的自然數n恒成立，求實數a的范圍。含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解

6、題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數,有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。解：由題設可將問題轉化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則當時，恒成立Oxyx-1當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種

7、處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則由題可知對任意恒成立令，得而即實數的取值范圍為。例4函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成

8、立。而易求得二次函數在上的最大值為，所以。 例5已知函數時恒成立，求實數的取值范圍。解： 將問題轉化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數，故即的取值范圍為。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉化為恒成立（）。 當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數在上恒有的充要條

9、件為。四、數形結合法數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：1）函數圖象恒在函數圖象上方；2）函數圖象恒在函數圖象下上方。x-2-4yO-4例7設 , ,若恒有成立,求實數的取值范圍. 分析：在同一直角坐標系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉化，抓住了這點，才能以“不變應萬變”，當然這需要我們不斷的去領悟

10、、體會和總結。含參不等式恒成立問題中，求參數取值范圍一般方法恒成立問題是數學中常見問題，也是歷年高考的一個熱點。大多是在不等式中，已知一個變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍的形式出現。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 分離參數在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數，即：若恒成立，只須求出，則；若恒成立，只須求出，則，轉化為函數求最值。例1、已知函數，若對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設，則當時， 所以 在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數的取值

11、范圍；若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數的取值范圍，問題還是轉化為函數求最值。例2、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。（1） 當即：時， 又所以不存在；（2） 當即：時， 又 （3） 當 即：時， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學生習慣把變量看成是主元（未知數），而把另一個變量看成參數，在

12、有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則可簡化解題過程。例4、若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設，對滿足的，恒成立， 解得：四、 利用集合與集合間的關系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數的取值范圍。例5、當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：（1） 當時，則問題轉化為 （2） 當時，則問題轉化為綜上所得：或五、 數形結合數形結合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個函數，且正確作出兩個函數的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關系，列出關

13、于參數的不等式。例6、若不等式在內恒成立，求實數的取值范圍。解：由題意知：在內恒成立，在同一坐標系內，分別作出函數和觀察兩函數圖象，當時，若函數的圖象顯然在函數圖象的下方，所以不成立；當時，由圖可知，的圖象必須過點或在這個點的上方，則， 綜上得：上面介紹了含參不等式中恒成立問題幾種解法，在解題過程中，要靈活運用題設條件綜合分析，選擇適當方法準確而快速地解題。含參數不等式恒成立問題的解題策略（專題探究）一、教學目標：理解含參不等式恒成立問題特征；能充分利用化歸、數形結合、函數和分類討論等數學思想解決含參不等式恒成立問題；培養學生分析解決綜合問題的能力。二、教學方法：啟發、探究三、教學過程：通過含

14、參數不等式恒成立問題的求解，通過變式、啟發、引導學生探究解題策略，培養學生利用化歸、數形結合、函數和分類討論等數學思想進行解題的意識。例題1：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。變式：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。例題2：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。變式1：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。變式2：已知不等式對恒成立，求實數的取值范圍。例題3：當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍。練習1：已知函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍。練習2：對于滿足的所有實數，求使不等式恒成立的的取值范圍。思考：1、若不等式對滿足的所有都成立，求實數的取值范圍。2、設，若滿足不等式的一切

15、實數，能使不等式恒成立，求正實數的取值范圍。常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題是近幾年高考以及各種考試中經常出現，它綜合考查函數、方程和不等式的主要內容，并且與函數的最值、方程的解和參數的取值范圍緊密相連，本文結合解題教學實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉換策略例1 已知對于任意的a-1,1，函數f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規思路是分a=0時f(x)是一次函數，a0時是二次函數兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數，我們可以通過變量轉

16、換，把a看成變量，x看成常參數，這就轉化一次函數問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時，g(a)>0恒成立，則，得.點評 對于含有兩個參數，且已知一參數的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數為自變量的函數，利用函數圖象求另一參數的取值范圍。2 零點分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區間的左側、零點在區間的右側三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點評 對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于零的問題,可以考慮函數的零點分布情況,要求對應閉區間上函數圖

17、象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數f(x)在閉區間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點評 對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于或小于等于常數問題,可以求函數最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數，若在區間上，的圖象位于函數f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設,則,即x=1時, k的取值范圍

18、是k>2.變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設,則，, k的取值范圍是k>. 點評 本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，本題構造的函數求最值對學生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉化為“對勾函數”，從而求得最值. 變式題中構造的函數通過換元后轉化為“二次函數型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數最值策略求解.5 數形結合策略例5 設函數,若恒有成立,試求實數a的取值范圍. 解析 由題意得,令,.可化為，它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示)當直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實數a的取值范圍是xyO點評 本題通過對已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構造函數，運用數形結合的思想來求參數的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.6 消元轉化策略 例6 已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數,且f(1)=1,若，若對于所有的