1、4 4 羅朗羅朗( (laurentlaurent) )級數(shù)級數(shù)& 一一 預(yù)備知識預(yù)備知識& 二二 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)& 三三 函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)& 四四 展開式的唯一性展開式的唯一性由由3 知知, f (z) 在在 z - z0r 內(nèi)解析，則在該圓域內(nèi)解析，則在該圓域內(nèi)內(nèi), , f (z)可展開成可展開成 z - z0的冪級數(shù)。若的冪級數(shù)。若 f (z) 在在z0點點不解析，但在圓環(huán)域不解析，但在圓環(huán)域 r1z - z0r2 內(nèi)解析，那么，內(nèi)解析，那么，f (z)能否用能否用級數(shù)表示呢？級數(shù)表示呢？先看一個例子先看一個例子:例如，例如，

2、.11010:,1, 0)1(1)(內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析及及圓圓環(huán)環(huán)域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介zzzzzfz 111)1(1)(,10時時當當)1(1111)1(1)(,110zzzzzfz 時時當當 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在r 1z - z0r2 內(nèi)解析內(nèi)解析, , f (z) 可可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz本

3、節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。一一 預(yù)備知識預(yù)備知識cauchy 積分公式的推廣到復(fù)連通域積分公式的推廣到復(fù)連通域，：、且且作作圓圓周周：解解析析內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)rzzrddkkrrrzzkrzzkrzzrdzf 01210201201,:,:.:)(dz0r1r2rrk1k2d1z有，有，對對1dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(二二 雙邊冪

4、級數(shù)雙邊冪級數(shù)-含有正負冪項的級數(shù)含有正負冪項的級數(shù)定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)正冪項正冪項(包括常數(shù)項包括常數(shù)項)部分：部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分：負冪項部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc級數(shù)級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為r2 即，級數(shù)即，級數(shù)在在 z - z0 =r2 內(nèi)收斂，且和為內(nèi)收斂，且和為s(z)+; 在在z

5、 - z0 =r 2外發(fā)散。外發(fā)散。 則則若若令令對對于于級級數(shù)數(shù),1),3(0zz 級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則當當設(shè)設(shè)其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級級數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)對對變變數(shù)數(shù)rrr ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc 則則級級數(shù)數(shù)代代回回得得將將令令,11,1100rrzzzz .;)(,1010發(fā)發(fā)散散當當且且和和為為收收斂斂當當rzzzsrzz z0r1r2有有公公共共收收斂斂域域21rr z0r2r1無無公公共共收收斂斂域域21rr 。且和且和收斂收斂稱稱，此時，此時，區(qū)域即圓環(huán)域：區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂有公共收斂及及時，級數(shù)時，級數(shù)當且

6、僅當當且僅當 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcrzzrrrnnn.)()4(2010以以逐逐項項求求積積和和逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的而而且且可可內(nèi)內(nèi)的的在在級級數(shù)數(shù)rzzrzzcnnn a 02100)3(zzrr：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可可以以。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcrr)()1(021(2)(2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0=r1z - z0 =r2上上, , nnnzzc。點點發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些點點收收斂斂，有有些些)(0三三 函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理：定理：.) 5(

7、), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一條簡單閉曲線內(nèi)繞是其中則內(nèi)解析在設(shè)zdcndzficzzczfrzzrdzfcnnnnn級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 證明證明 由復(fù)連通域上的由復(fù)連通域上的cauchy 積分公式：積分公式：dz0r1r2rrk1k2d1zdzfidzfizfkk12)(21)(21)(記為記為i1記為記為i2，時時，當當1002 zzzk ，時時，當當記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(0001

8、0012 nnnnknnzzczzdzfii 的的推推導(dǎo)導(dǎo)得得：重重復(fù)復(fù) 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfii :,2)(1逐項積分得逐項積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數(shù)中系數(shù)cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進上進行的，在行的，在d內(nèi)取繞內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路，由復(fù)合閉路定理

9、可將定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()()(2110ndzficcnn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。a .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的鄰域內(nèi)解析，需要把的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成級數(shù)，

10、那么展成級數(shù)，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ laurent ）級數(shù)來展開。）級數(shù)來展開。四四 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f (z)的洛朗級數(shù)。的洛朗級數(shù)。事實上事實上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfrzzrdzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 dz0r1r2cczdc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0的的正正向向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數(shù)數(shù)將

11、將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cpzp),()(110 dz0r1r2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知laurent nnnzaf)()(0 a 由唯一性，將函數(shù)展開成由唯一性，將函數(shù)展開成laurent級數(shù)，可級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的laurent展開式，只有展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式在個別情況下，才直

12、接采用公式(5)求求laurent系系數(shù)的方法。數(shù)的方法。例例1解解展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)。在在求求 zzz0sin !5!31!5!3(1)!12()1(1sin425302zzzzzznzzzznnn z0.03級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將laurentzzez ! 4! 31! 2111)! 21(1!12323033nzzzzznzzzznzzzennnnz例例2解解例例3解解.01級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展成成在在將將laurentzez nttntte!1! 2112在在復(fù)復(fù)平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z例例4級級數(shù)數(shù)。內(nèi)內(nèi)展展開開成成（在在

13、以以下下圓圓環(huán)環(huán)域域?qū)aurentziiiziizizzzf 2)(;21)(; 10)2)(1(1)(xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（解解zzzf 2111)( 01222)211 (874321)421 (21)1 (2112111)(nnnnzzzzzzzzzzzf故故12110)( zzzi2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 210012)2(1)1(1nnnnnnnzzzzz 43222731)421 (1)111 (1zzzzzzzzz級級數(shù)數(shù)。域域內(nèi)內(nèi)展展開開