1、五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義定義: :.)()(,)()()()()()()(,),(00000小小值值點(diǎn)點(diǎn)通通稱稱為為最最值值點(diǎn)點(diǎn)最最大大值值點(diǎn)點(diǎn)和和最最值值點(diǎn)點(diǎn)小小上上的的最最大大在在為為稱稱值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對對于于在在區(qū)區(qū)間間ixfxixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1m

2、ax y1. 1. 定理定理21(21(最值定理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 推論推論( (有界性定理有界性定理)

3、) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf定義定義: :.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx 2.介值定理與零點(diǎn)定理介值定理與零點(diǎn)定理定理定理 2222( (介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間上的最大值為上連續(xù)，且在這區(qū)間上的最大值為m, ,最最小小值為值為m， 則對介于， 則對介于m與與m之間的任何

4、值之間的任何值 ， 至少存在一， 至少存在一點(diǎn)點(diǎn) ba, ，使得，使得 )(f. . 幾何解釋幾何解釋:mbamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 yxfy 推論推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 例例1515.)1 ,

5、 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,(0,1), 使使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx9( )0,4,f x 在閉區(qū)間上連續(xù)練習(xí)：練習(xí)： 13xex至少有一個(gè)不超過 4 的 證證：證明令3( )1xf xxe且(0)f31e(4)f4 341e030e根據(jù)零點(diǎn)定理 ,(0,4),( )0,f使原命題得證 .(0, 4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然正根 .

6、310 xxe 例例1616.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxf 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即例例1717證證),()()(axfxfxf 令令, 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則axf)()0()0(afff 而而 0)2()()(fafafaf ).()(, 0),2()0(,2 , 0)(affaaffaxf 使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間

7、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)若若 00 f即即)()0(aff 則則a或或0 , 0)()()( afff 使使), 0(a 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,若若 00 f則則0)()0( aff綜合以上所述可得，綜合以上所述可得， a, 0 存在存在使得使得)()(aff 3 3、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解區(qū)間區(qū)間即是這個(gè)根的一個(gè)隔離即是這個(gè)根的一個(gè)隔離，于是，于是內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，計(jì)算，計(jì)算的中點(diǎn)的中點(diǎn)取

8、取 ,)()(1111bbaaff 同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時(shí)，可求得時(shí)，可求得當(dāng)當(dāng) );(21)(21,2222211211ababbababa 且且時(shí)，可求得時(shí)，可求得當(dāng)當(dāng)復(fù)上述做法，復(fù)上述做法，作為新的隔離區(qū)間，重作為新的隔離區(qū)間，重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復(fù)如此重復(fù) 小于小于的近似值，那末其誤

9、差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn 例例18.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實(shí)根的近似值的實(shí)根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在故故xf如圖如圖至多有一個(gè)實(shí)根至多有一個(gè)實(shí)根0)( xf, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內(nèi)有唯一的實(shí)根內(nèi)有唯一的實(shí)根在在 xf.1 , 0,

10、 1, 0即是一個(gè)隔離區(qū)間即是一個(gè)隔離區(qū)間取取 ba計(jì)算得計(jì)算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 ;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670