1、中山大學(xué)2005-2007中山大學(xué)20051 （16分）設(shè)蝕屮嚴(yán)+sg確定常數(shù)譏G使得小）在ax +bx + c9x>0（yO+oO）處處存在2 （16分）設(shè)y = asinx（a>Q）t試確定參數(shù)使得曲線y = asinx和它在點(diǎn)（不0）的法線方程，以及y軸所圍成區(qū)域的面積最小3 （16 分）計(jì)算曲面積分 JJ2（1 -X2dydz, + Sxydzdx-xzdxcly ,其中 S 是曲線SX = R（0 <y< a）繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的外側(cè)（16分）求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)£ln（l +H-1蘭的收斂域。并證明該級數(shù)在收斂域是一致收斂的5 （16分）設(shè)/在有限區(qū)間（

2、心）有定義 證明/（X）在（恥）一致連續(xù)的充要條件是：若£是（）中收斂列，則/UJ也是收斂列中山大學(xué)2006數(shù)學(xué)分析（16分）證明：當(dāng)X"時(shí)，存在（x）e（O,l）,使得yjx + -y/x = . 1 2y/x+0（X）并求 lim 0（x）和 lim 0（x）（16分）設(shè)S為由兩條拋物線_v = x2-l與y =+ l所圍成的閉區(qū)域，橢圓=+汁=1在S內(nèi)，試確定a,b（a,b > 0）使橢圓面積最大 cr b-三，（16分）判別下列級數(shù)和廣義積分的收斂性，條件收斂還是絕對收斂丄討嚅葉應(yīng)皿四，(16 分)求 / = JJ(X3 4- >3 lydz + (x3

3、 + x2 刃 dzdx + (l +)MMy,其中是單葉 r雙曲面x2 + y2-z2 = 在0K>/?的部分取外側(cè)五，(16分)設(shè)函數(shù)列©)滿足:(1) 是-1,1上的可積函數(shù)列，且在-1,1一致連續(xù)(2) 任意ce(0,1), %(“)在-1,-c和c,l-致收斂于零證明：對任意-1,1上的連續(xù)函數(shù)/(a),有l(wèi)im/ -/(0)%“皿=071->X J-I高等代數(shù)(10分)幾取何值時(shí)，線性方程2xl 一 4x2 + 5x3 + 3x4 = 1,< 3xl -6x2 + 4兀3 + 2x4 = 2,4,Vj 一 8兀2 + 3x3 +x4 =A9有解？當(dāng)方程組

4、有解時(shí)，試求其通解(10分)設(shè)心,巾，色是實(shí)數(shù)域上的三維向量空間V的一組基，0|=2卬一&2-巾，Pl = -«2 .03=2如+巾證明卩、0一禹也是y的一組基，并求y中在這兩組基下坐標(biāo)相同的 所有向量三 (15分)設(shè)R4中厲=(1,2,1,0)。2=(-1,1,1,1)心=(0,3,2,1)生成的子空間為V, 0嚴(yán)(2,-1,0,1),燉=(1,一1,3,7)生成的子空間為嶺。分別求K+嶺,v,nv2的一組基四，(15分)設(shè)A, 3都是階正定是對稱方陣，證明：（1） A3正定的充要條件是AB = BA如果4-3正定則肝一屮亦正定五,（10分）設(shè)人=,其中a、b、c、d是實(shí)數(shù)

5、,且ad-bc = o證明：如果六,"cos& sin 0 y一 sin& cos 叭(1)Ct sinx ,心、上石7Warcsin ex f_dx|d + d|v2,貝IJ存在實(shí)數(shù)&和實(shí)可逆矩陣T使得TAT =（10分）設(shè)A, B是兩個(gè)可換的實(shí)方陣，且存在自然數(shù)斤使屮=0。證明:A + B = B中山大學(xué)2007（每小題6分，共36分）計(jì)算(4) limlimTf X _ eX設(shè)g）由方程宀2士“確定，求窖 求曲面十+ 2/ + 3才=6在（1丄1）點(diǎn)處得切平面方程（每小題6分，共24分）判別下列級數(shù)或廣義積分的收斂性，條件收斂還是絕對收斂。討）溜諮噸）仆

6、三,（14分）求平面曲線“于。s+sin上對應(yīng)于f點(diǎn)的法線方程,并 y = a（sm/-/cos/）討論曲線在/e（0）-段的凹凸性Lj (x V)H (0 0)四，(18 分)討論函數(shù)/(x,y) = * a-2 + / '“' 在 po(O,O)點(diǎn)處o,(x,y) = (O,O)連續(xù)性(1) 可微性(2) 沿7 = (cosa,sin a)的方向?qū)?shù)的存在性五，(14分)計(jì)算曲線積分xyzdy ,其中曲線c:K + >，2 + z2=1,其方向與z軸構(gòu)成右手系六，(18分)對幕級數(shù)乞(-1)"“吐1疋”(1) 求收斂性(2) 求和函數(shù)(3) 討論鬲級數(shù)在收斂域上的一致收斂性七，(每小題8分，共16分)在O心平面上，光滑曲線厶過(1,0)點(diǎn)，并且曲線L上任意一點(diǎn)P(x, y)(x豐0)處得切線斜率與直線OP的斜率之差等于處(a>0為常數(shù))(1) 求曲線厶的方程(2) 如果厶與直線)，=心