1、2021-11-131第三講第三講 ( (一一) ) 無窮小量與無窮大無窮小量與無窮大量量 ( (二二) ) 連續函數連續函數二、二、三個重要關系三個重要關系三、三、無窮小量的比較無窮小量的比較四、四、求極限舉例求極限舉例五、五、函數的連續性函數的連續性一、一、無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量2021-11-132定義定義1 1： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,極限為零極限為零 的函數的函數, ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮小量（無窮小）無窮小量（無窮小）。五、無窮小量與無窮大量五、無窮小量與無窮大量（一）定義（一）定義例如：例如：.0sintan,cos1,ta

2、n,sin,2時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12時時的的無無窮窮小小量量都都是是 xxexx 注意：無窮小量是極限 為零的函數！無窮小量不是絕對值很小的數！2021-11-133定義定義2 2： 在某個變化過程中在某個變化過程中, ,絕對值無限絕對值無限 變大的函數變大的函數, ,稱為在此變化過程中的稱為在此變化過程中的 無窮大量（無窮大）無窮大量（無窮大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfgxfxxgxx記記作作無無窮窮大大時時為為當當則則稱稱有有時時使使當當 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfgxfxx

3、gxx記記作作正正無無窮窮大大時時為為當當則則稱稱有有時時使使當當 2021-11-134oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx2021-11-135（二）無窮小與無窮大的性質（二）無窮小與無窮大的性質性質性質1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是無無窮窮小小和和為為常常數數過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮小小和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性質性質1只可以推廣到有限個函數只可以推廣到有限個函數)21(lim222nnnnn 例例212)

4、1(1lim2 nnnn0 2021-11-136.)()(,)(,)(,是是無無窮窮小小此此變變化化過過程程中中則則在在是是有有界界函函數數是是無無窮窮小小化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個個變變xgxfxgxf性質性質2：.)()()0()(,)()(,都都是是無無窮窮大大和和常常數數過過程程中中則則在在此此變變化化都都是是無無窮窮大大和和化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個個變變xgxfcxcfxgxf 性質性質3：2021-11-137 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函數數11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim x

5、xxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx2021-11-1381.（無窮小與無窮大）（無窮小與無窮大）.)(1,)(,是是無無窮窮小小則則在在這這個個變變化化過過程程中中是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個個變變xfxf.)(),()()(lim時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中 xxxaxfaxfx 2.（極限與無窮小）（極限與無窮小）（三）三個重要關系（三）三個重要關系2021-11-1393.無窮大與無界函數無窮大與無界函數無無界界。反反之之不不一一定定。則則是是無無窮窮大大化化過過程程中中若若在在自自變變量量的的

6、某某一一個個變變)(,)(,xfxf問題：問題：兩個無窮小量的商是否為無窮小量？兩個無窮小量的商是否為無窮小量？ xxxxf,sin)(例例2021-11-1310二、無窮小量的比較二、無窮小量的比較.)()(,1)()(lim,;)()(, 0)()(lim)1(.)()(,是是等等價價無無窮窮小小與與時時稱稱當當時時當當特特別別是是同同階階無無窮窮小小與與時時則則稱稱當當若若都都是是無無窮窮小小與與過過程程中中設設在在自自變變量量的的同同一一變變化化xgxfxxgxfxgxfxaxgxfxgxfxx 定義：定義：)()()(xxgxf記記作作2021-11-1311).()()(.)()(

7、, 0)()(lim)2( xxgxfxgxfxxgxfx記記作作相相比比是是高高階階無無窮窮小小與與時時則則稱稱當當若若2021-11-1312幾個常用的等價無窮小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 2021-11-1313等價無窮小量的性質)(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx誤誤差差是是時時當當時時當當例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或則則無無窮窮小小均均為為時時設設當當性質性質1：2021-11-1314)()(lim)()(

8、lim)()(lim)()(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均為為無無窮窮小小時時若若當當)()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性質性質2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 則則有有等價代換等價代換)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 2021-11-1315解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4( ;)232()4( ,22222 xxxxx

9、xx同同階階無無窮窮小小是是與與時時當當?2324lim222 xxxx例例1三、求極限舉例三、求極限舉例2021-11-1316?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解2021-11-1317)()(cos12同階xox )()(cos1高階xx )(21cos12等價xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxx2021-11-1318xxxx30sinsintanlim 21l

10、im22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sincos1lim xxxxcos1sincos1lim20 2021-11-1319)(sintan3xoxx 2sintan3xxx )(sintan2xxx 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0時時當當 討論：討論：代數和不能代換！代數和不能代換！2021-11-1320?)1ln(lim0 xxx解解100ln(1)limlimln(1)xxxxxxln1e例例410lnlim(1)xxx2021-11-1321?1lim0 xaxxxexaaxxxx1

11、lim1limln00 axaxxlnlnlim0 ) 0(ln1 xaxax1 (0)xex x解解例例52021-11-1322?tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx1 (0)xex xln(1) (0)xx x2021-11-1323?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作變變換換ux 3 則則0,3,ux時時當當并并且且 解解 )3cos(21cos21ux

12、 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 2021-11-1324301 2cos1 cos3sinlimlimsinsin()3xuxuuux從而3lim2210 uuu3 01 coslim3sinuuu2021-11-1325連連 續續 函函 數數2021-11-1326函數連續性的定義函數連續性的定義 函數的連續性描述函數的漸變性態函數的連續性描述函數的漸變性態, ,在通常意義下，對函數連續性有三種在通常意義下，對函數連續性有三種描述：描述： 當自變量有微小變化時，因變量的當自變量有微小變化時，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變

13、化不會引起因變量的自變量的微小變化不會引起因變量的 跳變；跳變； 連續函數的圖形可以一筆畫成連續函數的圖形可以一筆畫成, ,不斷開不斷開. .2021-11-13272xy xytan 例如：例如：上上連連續續在在),( 上上連連續續在在)2,2( xysin 2021-11-1328處處間間斷斷在在點點0 x 0, 2, 0, 1)(xxxfy xyo122021-11-1329處處間間斷斷在在點點0 xxyo . 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxgy2021-11-1330處處間間斷斷在在點點0 x2021-11-1331.,;,)()(lim,)(0000000的的一一個

14、個間間斷斷點點是是函函數數稱稱處處間間斷斷在在點點否否則則稱稱函函數數的的一一個個連連續續點點是是函函數數稱稱處處連連續續在在點點則則稱稱函函數數如如果果的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設fxxffxxfxfxfxxfxx 定義定義1： 以上描述實質上是同義的反復以上描述實質上是同義的反復, ,數學上要確切數學上要確切地刻畫函數連續性地刻畫函數連續性, ,必須用必須用極限極限作定量地描述作定量地描述. .（一）定義（一）定義2021-11-1332缺缺一一不不可可三三個個條條件件處處連連續續蘊蘊涵涵以以下下在在點點函函數數,0 xf注意注意1;)1(0的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在

15、點點 xf以上三條中帶本質性的是第二條，極限的存在性以上三條中帶本質性的是第二條，極限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0換換順順序序運運算算與與函函數數運運算算可可以以交交處處連連續續意意味味著著極極限限在在點點函函數數xf注意注意2;)(lim)2(0存存在在極極限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等與與函函數數值值極極限限xfxfxx2021-11-1333;)()()(lim,()(0000處處左左連連續續在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設設函函數數xxfxfxfxaxfxx 定義定義2：;)()()(lim,),)(0000處處右右連連續續

16、在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設設函函數數xxfxfxfbxxfxx （函數在一點的單側連續性）（函數在一點的單側連續性）2021-11-1334),(.),()(,),()()1(bacfbaxfbaxf 記記作作內內連連續續在在開開區區間間則則稱稱每每一一點點處處都都連連續續的的在在開開區區間間若若函函數數,.,)(,),()()2(bacfbaxfbabaxf 記記作作上上連連續續在在閉閉區區間間則則稱稱左左連連續續在在點點右右連連續續且且在在點點內內連連續續在在開開區區間間若若函函數數定義定義3： （ 函數在區間上的連續性）函數在區間上的連續性）2021-11-1335（二）間斷

17、點的分類（二）間斷點的分類根據間斷點的不同情況，可以分為三類：根據間斷點的不同情況，可以分為三類：1. 可去型間斷點可去型間斷點)(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型間斷不是本質性的間斷可去型間斷不是本質性的間斷,可以重新可以重新定義定義, 使其連續使其連續.)(lim)(00 xfxfxx 令令2021-11-1336沒沒有有定定義義在在點點0sin)( xxxxf例如例如是是可可去去型型間間斷斷點點故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若令若令的的一一個個連連續續點點就就成成為為則則)(01xfx 2021-11-133

18、72. 第一類間斷點第一類間斷點但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 躍躍度度等等于于處處發發生生跳跳躍躍在在點點函函數數 .0, 1,0, 0,0, 1sgn時時當當時時當當時時當當xxxxy例例 符號函數符號函數 是是第第一一類類間間斷斷點點0 x2021-11-1338至至少少一一個個不不存存在在和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx 3. 第二類間斷點第二類間斷點xy1 是是第第二二類類間間斷斷點點0 xxy1sin 例例 2021-11-1339五

19、、函數連續性的基本性質五、函數連續性的基本性質（一）連續性定義的等價形式：（一）連續性定義的等價形式：下下列列命命題題等等價價則則的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2021-11-1340)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左連連續續又又右右連連續續在在點點）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）連續函數的有界性：（二）連續函數的有界性：)(,000有有界界在在點點簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有

20、界界的的在在則則連連續續在在點點若若函函數數xfxfxf2021-11-1341.)()(),(, 0., 0)(,000000同同號號與與上上使使在在即即的的某某鄰鄰域域上上保保號號在在點點則則且且連連續續在在點點若若函函數數xfxfxxxfxfxf （三）連續函數的保號性：（三）連續函數的保號性：2021-11-1342連續連續也在也在0 )2(xgf 則則連連續續都都在在點點若若,0 xgf連連續續也也在在函函數數對對任任意意常常數數0 ,)1(xgf 連續連續也在也在則則若若00, 0)()3(xgfxg （四）連續函數的運算性質：（四）連續函數的運算性質：.)(),(,)(,)()4

21、(00000連連續續在在則則復復合合函函數數且且連連續續在在連連續續在在若若ttgftgxxxfttgx 2021-11-1343（六）初等函數的連續性（六）初等函數的連續性 初等函數在其定義區間上是連續的。初等函數在其定義區間上是連續的。 （五）（五） 關于反函數的連續性關于反函數的連續性.)(),()(),()(,)(1嚴嚴格格單單調調且且連連續續上上也也或或區區間間在在閉閉則則其其反反函函數數單單調調且且連連續續上上嚴嚴格格在在閉閉區區間間若若函函數數afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(znnxxxf 定定義義域域為為離離散散點點是是初初等等函函數數。例例：2021-11

22、-1344連續函數的性質連續函數的性質一、連續函數的基本性質一、連續函數的基本性質二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性三、閉區間上連續函數的性質三、閉區間上連續函數的性質2021-11-1345一、函數連續性的基本性質一、函數連續性的基本性質（一）連續性定義的等價形式：（一）連續性定義的等價形式：下下列列命命題題等等價價則則的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2021-11-1346既既左左連連續續又又右右連連續續在在點點）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）連續函數的有界性：（二）連續函數的有界性：)(,000有有界界在在點點簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續續在在點點若若函函數數xfxfxf2021-11-1347連續連續也在也在0 )2(xgf 則則連連續續都都在在點點若若,0 xgf連連續續也也在在函函數數對對任任意意常常數數0 ,)1(xgf 連續連續也在也在則則若若00, 0)