1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔圓綜合練習(xí)題一、與圓有關(guān)的中檔題：與圓有關(guān)的證明(證切線為主)和計(jì)算(線段長(zhǎng)、面積、 三角函數(shù)值、最值等)1.如圖，BD為O O的直徑，AC為弦，AB=AC , AD交BC于E , AE =2 , ED =4 .(1) 求證： ABE ADB，并求 AB的長(zhǎng)；(2) 延長(zhǎng)DB到F，使BF二B0，連接FA，判斷直線 FA與O O的位 置關(guān)系，并說(shuō)明理由.2. 已知：如圖，以等邊三角形 ABC邊AB為直徑的O 0與邊AC BC分別交于點(diǎn) D E,過(guò)點(diǎn)D作DH BC垂足為F.(1) 求證：DF為O 0的切線；(2) 若等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為4,求DF的長(zhǎng);(3) 求圖中陰影部分的面積

2、.3、如圖，已知圓 0的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn)F，且ACF _ AD .(1 )請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn);(2)若AB =8，求CD的長(zhǎng).精彩文案4.如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn) C在O O上，/ BAG= 60 , P是OB上一點(diǎn)，過(guò) P作AB的垂5. 已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， BCL AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C交半圓O于點(diǎn)E,且E為DF的中點(diǎn)(1) 求證：AC是半圓O的切線；(2) 若 AD =6, AE =6 .2，求 BC 的長(zhǎng).6. 如圖， ABC內(nèi)接于O 0,過(guò)點(diǎn)A的直線交O O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，且 aB=ap

3、 ADA(1)求證：AB 二 AC ；(2)如果.ABC =60 , O O的半徑為1，且P為弧AC的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng).7. 如圖，在 ABC中，/ C=90° , AD是/ BAC的平分線，0是AB上一點(diǎn)，以0A為半徑的O 0經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(1) 求證：BC是OO切線；(2) 若 BD=5, DG3,求 AC的長(zhǎng).& 如圖，AB是O0的直徑，CD是O 0的一條弦，且 CD丄AB于E,連結(jié) AC OC BC.(1) 求證：/ AC0M BCD(2) 若 BE=2, CD=8 求 AB 和 AC的長(zhǎng).9.如圖，已知BC為O 0的直徑，點(diǎn)A、F在O 0上, AD _ BC ,垂足為D

4、, BF交AD 于 E，且 AE = BE .(1) 求證：AB =AF ;(2) 如果 sinZFBC=f , AB = 4/5，求 AD 的長(zhǎng).日化£E C10. 如圖，已知直徑與等邊 UABC的高相等的圓 0分別與邊AB BC相切于點(diǎn) D E,邊AC 過(guò)圓心0與圓0相交于點(diǎn)F、GA若ABC的邊長(zhǎng)為a，求 ECG的面積.(1)求證：DE J AC ；11. 如圖，在 ABC中，/ BCA=90。，以BC為直徑的O O交AB于點(diǎn)P, Q是AC的中點(diǎn).(1) 請(qǐng)你判斷直線 PQ與O 0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2) 若/ A= 30°, AP=2 3，求O O半徑的長(zhǎng)12如

5、圖，已知點(diǎn) A是O O上一點(diǎn)，直線 MN過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)B是MNk的另一點(diǎn)，點(diǎn) C是0B勺中1點(diǎn)，AC OB ,2若點(diǎn)P是O 0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ OBA =30；, AB=2.3時(shí)，求 APC的面積的最大值.13.如圖，等腰 ABC中, AB=AC=13, BC=10，以AC為直徑作O O交 BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)D作O O的切線交 AB于點(diǎn)E交AC 的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F.(1) 求證：EF丄AB(2) 求cos/ F的值.14.(應(yīng)用性問(wèn)題)已知：如圖，為了測(cè)量一種圓形零件的精度，在 加工流水線上設(shè)計(jì)了用兩塊大小相同，且含有30。的直角三角尺按圖示的方式測(cè)量(1) 若O O分別與AE AF交于點(diǎn)B

6、、C,且AB=AC若O O與AF相切 求證：O O與AE相切；(2) 在滿足(1)的情況下，當(dāng)E、C分別為AE AF的三分之一點(diǎn)時(shí)，且AF=3,求BC的弧長(zhǎng)二、圓與相似綜合15.已知：如圖，O O的內(nèi)接 ABC中,/ BAC=45 , / ABC=15°, AD/ OC并 交BC的延長(zhǎng)線于 D, OC交AB于E.(1) 求/ D的度數(shù)；(2) 求證：AC2 二 AD CE ;(3 )求BC的值CD16.如圖，O O的直徑為 AB，過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦CE _ AB ,在BC上取一點(diǎn)D，分別作直線 CD、ED，交直線 AB于點(diǎn)F、M求.COA和.FDM的度數(shù)；求證：FDM s QOM

7、 ;如圖，若將垂足 G改取為半徑0B上任意一點(diǎn)，點(diǎn) D改取 在上仍作直線CD、ED，分別交直線 AB于點(diǎn)F、M . 試判斷：此時(shí)是否仍有 .FDM s .'COM成立？若成立請(qǐng)證明你 的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。三、圓與三角函數(shù)綜合x(chóng)17.已知O O過(guò)點(diǎn)D(4, 3),點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱， 過(guò)H作OO的切線交y軸于點(diǎn)A (如圖1)。求O O半徑；求Sin . HAO的值；如圖2,設(shè)O O與y軸正半軸交點(diǎn) P,點(diǎn)E、F是線 段OP上的動(dòng)點(diǎn)(與P點(diǎn)不重合)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng) DE DF交OO于點(diǎn)B C,直線BC交y軸于點(diǎn)G若 DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin CGO的大小怎樣變

8、圖i化？請(qǐng)說(shuō)明理由。四、圓與二次函數(shù)(或坐標(biāo)系)綜合18、如圖，OM的圓心在x軸上，與坐標(biāo)軸交于 A( 0, 3 )、B(- 1, 0)，拋物線L/f+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).(1) 求拋物線的函數(shù)解析式;(2) 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 P.試判斷點(diǎn)P與O M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;(3)若O M與y軸的另一交點(diǎn)為及弧ABD圍成的封閉圖形實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔精彩文案19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，以點(diǎn) C( 1,1 )為圓心，2為半徑作圓，交 x軸于A，B兩點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A B,且其頂點(diǎn)P在O C上.(1) 求/ ACB的大??；(2) 寫出A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 試確定此拋物線的解析式；

9、(4) 在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段0P與CD互相平分？若存 在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(以圓為幌子，二次函數(shù)為主的代幾綜合題) 如圖，半徑為1的O 01與?X軸交于 A、B兩點(diǎn)，圓心 Or的坐標(biāo)為(2 ,0),二次函數(shù)y = -X2 bx c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為F .(1 )求b, c的值及二次函數(shù)頂點(diǎn) F的坐標(biāo)；(2)將二次函數(shù) y - -x2 bx c的圖象先向下平移 1個(gè)單位， 再向左平移2個(gè)單位，設(shè)平移后圖象的頂點(diǎn)為 C，在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 和點(diǎn)D 0, -3的直線丨上是否存在一點(diǎn) P，使 PAC的周長(zhǎng)最小,若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由五

10、、以圓為背景的探究性問(wèn)題21.下圖中，圖 是一個(gè)扇形OAB將其作如下劃分:第一次劃分:如圖 所示，以0A的一半0A的長(zhǎng)為半徑畫弧交0A于點(diǎn)A,交0B于點(diǎn)B,再作/ A0B的平分線，交 AB于點(diǎn)C,交A1B1于點(diǎn)O,得到扇形的總數(shù)為 6個(gè)，分別為： 扇形0AB扇形0AC扇形 0CB扇形 0AB、扇形 0AG、扇形 0GB ；第二次劃分： 如圖 所示，在扇形 0CB1中， 按上述劃分方式繼續(xù)劃分，即以0C 的一半0A的長(zhǎng)為半徑畫弧交 0C于點(diǎn)A2,交0B于點(diǎn)B2,再作/ B0C的平分線，交 B1C1于點(diǎn)D，交A2B2于點(diǎn)D,可以得到扇形的總數(shù)為 11 個(gè);第三次劃分：如圖(4)所示，按上述劃分方式

11、繼續(xù)劃分;劃渝數(shù)扇理總個(gè)數(shù)1621134W * * n 依次劃分下去.（1）根據(jù)題意，完成右邊的表格；根據(jù)右邊的表格，請(qǐng)你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形的總數(shù)為 2008個(gè)？為什么？ 若圖（1）中的扇形的圓心角/ AOB=m，且扇形的半徑 OA的長(zhǎng)為R.我們把圖（2）第一次劃分的圖形中，扇形 OA1C1 （或扇形OGR ）稱為第一次劃分的最小扇形，其面積記為Si;把圖（3）第二次劃分的最小扇形面積記為S2； ,把第n次劃分的最小扇形面積記為S.求邑的值.Sn A22. 圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”，記作.AOBL AB （如圖）;圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等與它

12、所對(duì)的弧及圓心角的對(duì)頂角所對(duì)的弧的和的一半”，1記作.AOB （AB CD）（如圖）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：2（1）如圖，猜測(cè).APB與AB、CD有怎樣的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖，猜測(cè).APB與AB、CD有怎樣的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由（提示：“兩條平行弦所夾的弧相等”可當(dāng)定理用）B23. 已知：半徑為 R的O O 經(jīng)過(guò)半徑為r的O 0圓心，O O與O O交于M N兩點(diǎn).（1）如圖1，連接oo 交OO于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作OO的切線交O O于點(diǎn)A、B,求oaOb 的值；2）若點(diǎn)C為OO上一動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到O O 內(nèi)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作OO的切線交O O于A、B兩點(diǎn)請(qǐng)你探 索OAOB的值與（1）中的結(jié)

13、論相比較有無(wú)變化？并說(shuō)明你的理由； 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O O外時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作OO的切線，若能交O O于A B兩點(diǎn).請(qǐng)你在圖3 中畫出符合題意的圖形，并探索 OALOB的值（只寫出OAOB的值，不必證明）.B圖了北京市豐臺(tái)區(qū)2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期 初三數(shù)學(xué)第24章圓綜合練習(xí)題一、與圓有關(guān)的中檔題：與圓有關(guān)的證明(證切線為主)和計(jì)算(線段長(zhǎng)、面積、 三角函數(shù)值、最值等)1如圖，BD 為OO的直徑，AC 為弦，AB 二 AC , AD 交 BC 于 E , AE = 2 , ED = 4 .(1)求證: ABEADB，并求 AB 的長(zhǎng);(2)延長(zhǎng)DB到F，使BF =BO，連接 由FA，判斷直線1解：

14、AB 二 AC , Z ABC =Z C . :Z C =Z D , . Z ABC 又：Z BAE 二Z DAB ,AB A A D AEB.AB2 二 ADLAE 二 AE ED Lae = 2 42=12 .-AB =2-、3 (舍負(fù)).(2)直線FA與LI O相切.連接OA . ： BD為L(zhǎng)I O的直徑,在Rt ABD中，由勾股定理，得 BD二冷AB2 AD212+(2+4$ =屁= 4>/3 .B_BOtBD 冷 4亠2 3 .Tab =2*3,bf 二 bo 二 ab .(或.BF=BO=AB=OA，.: AOB 是等邊三角形，.F=/BAF .OBA OAB =60 , .

15、 F = BAF =30 .).Z OAF =90：. . OA 丄 AF)又丁點(diǎn)A在圓上，.直線FA與U O相切.2.已知：如圖，以等邊三角形ABC邊AB為直徑的OO與邊AC BC分別交于點(diǎn)D E,過(guò)/ CF =1 , EF =1.S直角梯形FDOE-(EF OD) DF23、32S扇形doe60二 222=Tl3603B點(diǎn)D作DF丄BC垂足為F.(1) 求證：DF為O O的切線；(2) 若等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為4,求DF的長(zhǎng);(3) 求圖中陰影部分的面積.2. (1)證明：連接DOv ：ABC 是等邊三角形，/ C=60 ° ,Z A=60°/ OA=OD A OA

16、D 是等邊三角形 / ADC=60vDF丄 BC , Z CDF=30 Z FDO18O° - Z ADOZ CDF 90 ° . DF為O O 的切線.(2)v . ：OAD是等邊三角形，CD=AD=AO=- AB=2.2Rr CDF 中，Z CDF=30 ° , CF=-C!=1. DF= CD2 CF2 =目32(3) 連接OE由(2)同理可知E為CB中點(diǎn)， CE = 2 .-S直角梯形FDOE - S扇形DOE3、如圖，已知圓 O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E ,連接CO并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn)F，且CF _ AD .(1 )請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn);(2)若AB

17、=8，求CD的長(zhǎng).3、(1)證明：連接AC，如圖:CF _AD , AE_CD 且 CF, AE 過(guò)圓心 O.AC=AD , AC=CD , . ACD 是等邊三角形. . FCD =3011在Rt COE中，OE OC，OE OB.點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)22(2) 解：在 Rt. QCE 中；AB =8，. OC = 1 AB =42又；BE =OE , OE =2ABBAG 60，P 是 OB上一點(diǎn),4如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C在O O上，/線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q連結(jié)OC過(guò)點(diǎn)C作CD丄OC交PQ于點(diǎn) 求證： CD僱等腰三角形；(1)(2)如果 CDQRA COB求BP PO的值.過(guò)P作AB

18、的垂CE = OC2 - OE2 = 16 - 4 = 2 3. CD =2CE =4、34. (1)證明：由已知得/ ACB90。，/ ABC30°,/ Q=30°,Z BCO/ ABC30° ./ CDL OC / DCQZ BCO30°,/ DCQZ Q,CDQ是等腰三角形.(2)解：設(shè)O O的半徑為 1,則 AB=2, O(=1, A(=-AB =1 , BO ,3 . 2等腰三角形 CDQf等腰三角形 CO雀等， COBO 3 ./ AQAOCQ1+T3 , AP=丄 AQ= ,PQAP AO：1' 3 -1 = 3 一1 ,2 22

19、2 BP=AB- AP=2_i"3_32BP： PO= , 3 .DO5. 已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BCL AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C交半圓O于點(diǎn)E,且E為DF的中點(diǎn).(1)求證：AC是半圓O的切線；(2)若 AD =6, AE =6 .2，求 BC 的長(zhǎng).5.解：(1)連接 OE T E為 DF 的中點(diǎn)， DE 二 EF ./ . OBE =/CBE ./ OE =0B， . OEB =/OBE . /. OEB =/CBE . /. OE/ BC./ BQ AC,C=90° . / AEO/ C=90° .即 OEL AC又OE為

20、半圓O的半徑， AC是半圓O的切線(2 )設(shè)口 O的半徑為x , OE 丄 AC , (x 6)2 -(6、2)2 =x2. x =3. AB = AD OD OB =12 .AO OF93 OE/ BC, AOE ABC . 竺=竺 即工=2 BC = 4AB BC12 BC6.如圖， ABC內(nèi)接于O O,過(guò)點(diǎn)A的直線交O O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，且AB=AP AD(1)求證：AB =AC ;(2)如果/ABC =60：, O O的半徑為1，且P為弧AC的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng).6.解：(1)證明：聯(lián)結(jié)BP.AB=AP AD ,AB_ADAP = AB/ BAD玄 PAB ABD APB

21、/ ABC玄 APB V/ ACB/ APB/ ABC玄 ACB AB=AC.D(2)由(1)知 AB=AC V/ ABC=60 , ABC是等邊三角形. / BAC=60 ,v P 為弧 AC的中點(diǎn)，/ ABP=/ PAC* / ABC=30 ,1 / BAP=90 , BP是O O 的直徑， BP=2, AP=? BP=1 ,在Rt PAB中，由勾股定理得aB"= BP2 AP=3,aB" AD=AB =3.7.如圖，在 ABC中,/ C=90° , AD是/ BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的O O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1) 求證：BC是OO切線；(2)

22、若 BD=5, DO3,求 AC的長(zhǎng).DC圖12 2x +8 = ( x+4)設(shè) AC=x (x>0),則 AE=x.在 Rt ABC中，Z C=90 , BGBBDG8, AB=x+4,由勾股定理，得 解得x=6.即AC=6.圖3I EAC +BC= AB2.7. ( 1)證明：如圖1，連接0D/ OA=OD AD平分/ BAC / ODAZ OAD / OADZ CAD Z ODAZ CAD OD/ AC Z ODBZ C=90 3 BC是O O的切線.(2)解法一：如圖2，過(guò)D作DEL AB于 E. Z AEDZ C=90°.又 ADAD Z EADZ CAD AEDA

23、ACD AEAC DE=D(=3.在Rt BED中, Z BED=90 ,由勾股定理，得BE= .、BD2 _DE2 =4 .解法二：如圖3,延長(zhǎng)AC到 E,使得AE=AB ADAD Z EAD= Z BAD AEDA ABD ED=BD=5.在Rt DCE中, Z DCE90：由勾股定理，得CE= DE2 -DC2 =4. 5分在Rt ABC中，Z AC咅90 , BC=BBDC=8,由勾股定理，得2 2 2即 AC +8 =(AC+4).解得 AC=6.&如圖，AB是OO的直徑，CD是O O的一條弦，且 CDLAB于E,連結(jié)AG OC BC.(1) 求證：Z ACOZ BCD(2)

24、 若 BE=2, CD=8 求 AB 和 AC的長(zhǎng).8、證明：(1)連結(jié) BD, / AB是O O的直徑，CDLAB,又 OA=OC Z 1 = Z A. Z1=Z 2.即：Z ACOZ BCD解：(2)由(1)問(wèn)可知，Z A=Z 2,Z AEC=/ CEB.CEBE=AB. cE=be ae.CE又 CD=8 - CE=DE=4 AE=8. AB=10. AC= AE2 CE2 = . 80 = 4 5.9.如圖，已知BC為o O的直徑，點(diǎn)A、F在O O上，AD _ BC ,垂足為D , BF交AD于 E，且 AE =BE .(1) 求證：AB =AF ;3_(2) 如果 sin. FBC

25、, AB =4、5，求 AD 的長(zhǎng).59.解：（1）延長(zhǎng)AD與O O交于點(diǎn)G直徑BC丄弦AG于點(diǎn)D,- AB=GB . / AFB=Z BAE/ AE=BE / ABE=/ BAE / ABE：/ AFB ABAF.(2)在 Rt EDB中sin / FB(=-EdBE則 AE=5x, AD=8x，在 RtA EDB中，由勾股定理得 BD=4x.設(shè) ED=3x, BE=5x,在RtAADB中，由勾股定理得 BD+AD=AB. AB=4、.5 , (4x)2(8x)2 =(4、5)2.-x =1 (負(fù)舍).AD=8x=8.10.如圖，已知直徑與等邊ABC的高相等的圓O分別與邊AB過(guò)圓心O與圓O相

26、交于點(diǎn)F、G(3)求證：deLIac ；(4)若ABC的邊長(zhǎng)為a，求二ECG的面積.« * .10. (1)ABC是等邊三角形， B=60NA = 6055BC相切于點(diǎn)D邊ACE,TAB BC是圓O的切線，D E是切點(diǎn)，二BD=BEBDE =60 , A =60 ,有 DE/AC.分別連結(jié) OD OE,作EH丄AC于點(diǎn)HTAB BC是圓O的切線，D E是切點(diǎn)，O是圓心，.ADO 二.OEC =90，OD=O,AD=EC1:ADO = CEO,有 AO=OC a.2T圓O的直徑等于 心ABC的高，得半徑O(=3a，二CG=OC+OGa +3a424T EH _OC, C =60 , C

27、OE=30，eh=_27Sec2cgeh= 2(Ta + 2a) Ta，S ECG3a2 .譏2 = 3 2鬻.64326411.如圖，在 ABC中，/ BCA=90，以BC為直徑的OO交AB于點(diǎn)P, Q是AC的中點(diǎn).(1) 請(qǐng)你判斷直線 PQ與O O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;(2) 若/ A= 30°, AP=2.3，求O O半徑的長(zhǎng).11、解：(1)直線PQ與O O相切.連結(jié)OP CP/ BC是O O的直徑， / BPC= 90° 又 Q是AC的中點(diǎn)， PQCQAQ. - / 3 =/ 4./ / BCA=90 ° ,/ 2+Z 4=90° ./ /

28、1 = / 2 , / 1+Z 3=90° .即 / OPQ90 ° .直線PQ與O O相切.(2)T / A= 30°, AP=2、3 ,在 Rt APC中，可求 AO4. 在 Rt ABC中，可求 BC=4、3.32“。半徑的長(zhǎng)為3忌12如圖，已知點(diǎn) A是O O上一點(diǎn)，直線 MN過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)B是MN上的另一點(diǎn)，點(diǎn) C是0B的中1點(diǎn)，AC OB ,2若點(diǎn)P是OO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ OBA =30：, AB=2.3時(shí)，求 APC的面積的最大值.12、解：連結(jié)0A由C是 OB的中點(diǎn)，且,可證得/ OA=90°2則 / O=60 ° . 可求得 OA

29、=AC=過(guò)點(diǎn)O作O吐AC于 E,且延長(zhǎng)EO交圓于點(diǎn)F. 貝U P(F)E是厶PAC的AC邊上的最大的高.在厶 OA沖,OA2, / AOE30° ,解得 OE=.：3.所以PE=23.A11 故 S PAC AC PE 2 (2.3).2 2即Spac =2. 3.13. 如圖，等腰 ABC中, AB=AC=13, BC=10，以 AC為直徑作OO交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)D作O O的切線交AB于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線與點(diǎn) F.(1) 求證：EF丄AB(2 )求cos / F的值.13.證明：(1)聯(lián)結(jié)OD/ OCOD 又 AB=AC:丄 ODC/B/ ODC/ OCD/ OCDZ

30、 B OD/ AB第13題圖O/ ED是O O的切線，OD是O O的半徑 ODL EF A吐 EF(2) 聯(lián)結(jié) AD CG/ AD是O O的直徑 / ADC/ AGC90°/ AEL EF.DE/ CGE-B D C第13題圖DF/ F=/ GCA ABAC DC1 BC=52Rt ADC中, AD =寸AC2 CD2 = 12 AD BCAB CGADLBC 120CQ=AB 13120169GCRt CGA中 cos/ GCA巴AC- cos/ F=12016914. (應(yīng)用性問(wèn)題)已知：如圖，為了測(cè)量一種圓形零件的精度，在加工流水線上設(shè)計(jì)了用兩塊大小相同，且含有 30°

31、;的直角三角尺按圖示的方式測(cè)量(1) 若OO分別與AE AF交于點(diǎn) B C,且AB=AC若O O與AF相切. 求證：O O與AE相切；(2) 在滿足(1)的情況下，當(dāng)E、C分別為AE AF的三分之一點(diǎn)時(shí)，且AF=3,求BC的弧長(zhǎng).14.解：(1)證明：連結(jié)OB OA OC根據(jù)題意，/ OCA90 ° .在厶 ABOW ACC中 ,AB=AC OA=OAOB=O,C所以 ABOA ACO所以 / OCA/ OBA=90 ° .貝U AE是圓的切線.(2) 因/ OCA/ OBA=90 ° ,且/ EAD/ FAG=30 °貝U / BAC=120 

32、6; .1又 ACAF =1 , / OAG60 ° ,故 OC - . 33所以BC的長(zhǎng)為二、圓與相似綜合15. 已知：如圖，O O的內(nèi)接 ABC中,/ BAC45°,/ ABC=15°, AD/ OC并交 BC的延長(zhǎng)線于DOC交 AB于 E.(1) 求/ D的度數(shù)；(2) 求證：AC2 二 AD CE ;(3) 求BC的值.CD15. (1)(2)解：如圖3,連結(jié)OB/ OO的內(nèi)接 ABC中，/ BA(=45°, / BOC=2/ BAC =90° ./ OB=OC - / OBC=Z OCB=45° . / AD/ OC , /

33、 D = / OCB=45° .證明：T / BAC =45°,/ D =45 ° , / BAC=/ D ./ AD/ OC , / ACE=/ DAC. ACEDAC.(3) AC CEDA 一 AC解法一：如圖 4,延長(zhǎng)BO交DA的延長(zhǎng)線于 F,連結(jié)OA ./ AD/ OC , / F=/ BOC=90° ./ / ABC=15 ° , / OBA=/ OBC-/ ABC=30 ° .T OA = OB , / FOAf/ OBAF/ OAB=60 °，/ OAF=30AC2 =AD CE .1二 OF OA.2OC,

34、. BOCs BFD ./ AD/BCBDBOBF解法二：作OML BA于M，.BC BO OABC2，即 卩 -CD OF OFCD設(shè)OO的半徑為r,可得BM=r ,2的值為2.OM，. MOE =30 , 2ME =OM tan30 :6r , BE=2'3r , AE= 3r，所以33CD16.如圖，O O的直徑為 AB，過(guò)半徑分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)求.COA和.FDM的度數(shù)；求證：.FDM s . COM ； 如圖，若將垂足 G改取為半徑CD、ED ,分別交直線 AB于點(diǎn)F、M 若成立請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不，請(qǐng)說(shuō)明理由。OA的中點(diǎn)G作弦CE _ AB， F、M .變

35、=2.EA£上取一點(diǎn)D ,OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn) D改取在B .試判斷：0/M IB F(1)上，仍作直線(第 16 題)c c16.解：(1)v AB為直徑，CE _ AB , AC =AE ,1在 Rt COG 中， OG = OC,.OCG =30 .二.COA=60 .21 cc又： CDE的度數(shù)=-CAE的度數(shù) =AC的度數(shù)二/COA的度數(shù)二60°,2 . FDM =180° -/CDE =120 .(2)證明： . COM =180° - . COA = 120 , / COM /FDM.GM = GM在RMCGM和RMEGM中，丿,4G =EG

36、 Rt二CGM = Rt-EGM . GMC = . GME.又： DMF =/GME . OMC =/DMF . . FDM s ,COM(3) 結(jié)論仍成立.證明如下：:匚FDM =180° ZCDE，1 cc又 . CDE的度數(shù)-CAE的度數(shù)=CA的度數(shù)=/COA的度數(shù),2 . FDM =180° -/COA - . COM ./ AB 為直徑，CE _AB ,在 Rt. CGM 和 Rt EGM 中，；GM =GM、CG =EG， Rt CGM 也 Rt EGM . . GMC 二.GME. ：FDM s ：COM .三、圓與三角函數(shù)綜合17. 已知O O過(guò)點(diǎn)D( 4

37、, 3)，點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，過(guò) H作O O的切線交y軸于點(diǎn)A (如圖1 )。求O O半徑；求sin NHAO的值；如圖2，設(shè)O O與y軸正半軸交點(diǎn)P,點(diǎn)E、F是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)(與P點(diǎn)不重合)， 聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)DE DF交O O于點(diǎn)B C,直線BC交y軸于點(diǎn)G,若 DEF是以EF為底的等腰 三角形，試探索sin CGO的大小怎樣變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔3精彩文案17. 點(diǎn) D 4,3 在。O上， O 0的半徑 r =0D =5。(2) 如圖1,聯(lián)結(jié) HD交0A于Q貝U HDL 0A 聯(lián)結(jié) 0H則OHL AH/0Q 3 / HAOM 0HQ sin . HA0 = sin . 0HQ0H

38、 5(3) 如圖2,設(shè)點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,聯(lián)結(jié)HD交0P于 Q貝UHDL 0P又 DE=DF DH 平分/ BDC BH 二 CH 。聯(lián)結(jié) 0H 則 0HLBGM CG0M 0HQyj.G/Ph"e'7D(4.3)Q;Z>qF1-C戸 0丿xA/圖2sin CG0 =si n 0HQ = 0Q = 30H 5四、圓與二次函數(shù)（或坐標(biāo)系）綜合A( 0,. 3 )、B (- 1 , 0),拋物線18、如圖，O M的圓心在 X軸上，與坐標(biāo)軸交于bx c經(jīng)過(guò)AB兩點(diǎn).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔精彩文案(5)(6)18.解:的面積是多少?(1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A B,.3 = c,託h +b

39、 c.3 y3.33(2)由 y2.3求拋物線的函數(shù)解析式;設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 P試判斷點(diǎn)P與O M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;(x-1)2心3頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,出）.3在 Rt AOM中 ,MA2 MO =OA2 ,OA=,OB=1,2 2MA2 (MA 1) 2 =3, MA=2. MB=2, MO=1,即點(diǎn) O 的坐標(biāo)為(1 , 0). MP=- > 2.頂點(diǎn)P在圓外;(3)連結(jié)OD點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上， MP/ y 軸,由線段PA線段PD及弧ABD形成的封閉圖形 PABD勺面積=扇形OAD勺面積.J3在 Rt AOM中 ,sin / AMO, / AMO=60 .2120 二封閉圖

40、形PABD的面積=_ MA2二360若O M與y軸的另一交點(diǎn)為 D,則由線段PA線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形 PABD19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，以點(diǎn) C( 1,1 )為圓心，2為半徑作圓，交 x軸于A B兩點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，B,且其頂點(diǎn)P在O C上.(1) 求/ ACB的大小；(2) 寫出A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 試確定此拋物線的解析式；(4) 在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段0P與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19 .解：(1)作CHL x軸，H為垂足./ CH=1,半徑 CB=2, / HBC30° / BC

41、H60。. / ACB=120°.(2) T CH=1，半徑 CB=2, HB = . 3，故 A(1-.3,0),(3) 由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)B(1、3,0).P的坐標(biāo)為(1, 3).設(shè)拋物線解析式為y二a(x-1)2 3，把點(diǎn)B(V .3,0)代入解析式,解得 a = -1 .所以 y - -x2 2x 2 .(4) 假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形 OCPD是平行四邊形. 所以，PC / OD 且 PC =OD .'A' PC / y軸，.點(diǎn)D在y軸上.PC =2 , OD =2，即 D(0,2).D(0,2)滿足 y = x2 2

42、x 2 ,點(diǎn)D在拋物線上.存在D(0,2)使線段OP與CD互相平分.p20. (以圓為幌子，二次函數(shù)為主的代幾綜合題)如圖，半徑為1的O O1與x軸交于A、B2兩點(diǎn)，圓心Oi的坐標(biāo)為(2,0),二次函數(shù)y=-xbx c的圖象經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為F (1 )求b, c的值及二次函數(shù)頂點(diǎn) F的坐標(biāo)；(2)將二次函數(shù)y - -x2 bx c的圖象先向下平移 1個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，設(shè)平移后圖象的頂點(diǎn)為 C ,在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D 0, -3的直線l上是否存在一點(diǎn) P ,使:PAC的 周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.解：(1)由題意得,則有-1"0，廠

43、9 +3b + c = 0.二次函數(shù)的解析式為A(1 , 0) , B(3,0). 解得“4,c = -3.2 2二-x Ax-3二- x-21 頂點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(2, 1).1平移后的拋物線解析式為y = -x2，其頂點(diǎn)為C (0,0).直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B (3, 0)和點(diǎn)D (0, - 3 ), 直線丨的解析式為y=x 3 . 作點(diǎn)A關(guān)于直線丨的對(duì)稱點(diǎn)A，連接BA > CA , AA，丄直線丨，設(shè)垂足為E，則有AE = AE ,由題意可知， NABE =45 , AB =2 , . EBA-45 , AB=AB=2 . CBA'=90 .過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，垂足為 F，四邊形C

44、FA B為矩形.:、FA" = OB=3 A©,-2 )直線CA*的解析式為2y = 一_ x .3 2計(jì)y 一3x,的解為$ =x _3._91x _ 5 ,9 6、5直線CA與直線1的交點(diǎn)為點(diǎn)P 9 , 6|615 5丿五、以圓為背景的探究性問(wèn)題21. 下圖中，圖(1)是一個(gè)扇形OAB將其作如下劃分：第一次劃分： 如圖 所示，以0A的一半OA的長(zhǎng)為半徑畫弧交 OA于點(diǎn)A,交0B于點(diǎn)B,再作/ AOB的平分線，交 AB于點(diǎn)C,交AiBi于點(diǎn)O,得到扇形的總數(shù)為6個(gè)，分別為： 扇形OAB扇形OAC扇形OCB扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB ;第二次劃分： 如圖 所示，在扇形 OCBi中， 按上述劃分方式繼續(xù)劃分，即以O(shè)C