1、一、極限存在準那么一、極限存在準那么1.夾逼準那么夾逼準那么準準則則 如如果果數數列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數數列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準那么

2、可以推行到函數的極限上述數列極限存在的準那么可以推行到函數的極限準則準則 如果當如果當)(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .留意留意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構構造造出出利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關nnnnzyzy準那么準那么 和準那么和準那么 稱為夾逼準那么稱為夾逼準那么.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nn

3、nnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調有界準那么單調有界準那么滿滿足足條條件件如如果果數數列列nx,121 nnxxxx單調添加單調添加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數列證明數列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假

4、定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對

5、對于于 x,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設設 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnn

6、nn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx

7、, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 三、小結三、小結1.兩個準那么兩個準那么2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準那么夾逼準那么; 單調有界準那么單調有界

8、準那么 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 思索題思索題求極限求極限 xxxx193lim 思索題解答思索題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習習 題題._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求以下各極限二、求以下各極限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準則證明數列利用極限存在準則證明數列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .一、一、1