1、復復 習習一、一、n n階行列式的定義階行列式的定義二、行列式的五個性質 轉置、換法變換、倍法變換、消法變換、加法三、特殊的行列式第四節第四節 行列式按行行列式按行(列列)展開展開余子式與代數余子式余子式與代數余子式 行列式按行行列式按行(列列)展開的法則展開的法則引 言對于三階行列式來說，容易驗證，111213222312131213212223112131323332332223313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 這樣，三階行列式的計算可以歸結為二階行列式的計算這樣，三階行列式的計算可以歸結為二階行列式的計算. 可以證明 n 階行列式的計算總可以化為為階數較低的行

2、列式的計算.為此引入子式和代數余子式的概念.v余子式與代數余子式余子式與代數余子式 在n階行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列劃去后 剩下來的n1階行列式叫做元素aij的余子式余子式 記作Mij記Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代數余子式代數余子式 55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaM A23(1)23M23M23 例如 已知 則a23的余

3、子式和代數余子式為 解解 例例1 求行列式 中元素a31和a32的代數余子式 5 0 3 2 2 13 0 4A31(1)31 0 3 0 40 A32(1)32 5 33 429 nkjkikjijiDAa1 0 當當 或nkkjkijijiDAa1 0 當當 v定理定理(行列式按行行列式按行(列列)展開法則展開法則) 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)各元素與其對應的代數余子各元素與其對應的代數余子式乘積的和式乘積的和 即即 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n) 或或 D a1j A1j a2j A2j anj Anj (j=1 2 n) 推論推論

4、 行列式某一行行列式某一行(列列)的元素與的元素與另一行另一行(列列)的對應元素的代的對應元素的代數余子式乘積之和等于零數余子式乘積之和等于零 即即 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j) 或或 a1i A1j a2i A2j ani Anj 0 (i j) v綜合結論綜合結論 Da13A13a23A23a33A33a43A43 其中a133 a231 a331 a430 例例2 計算行列式計算行列式 5021011321014321D 將將D按第三列展開按第三列展開 解解 所以所以24 D3191(63)(1)180(10) 19521013201) 1(3113A1852

5、1201421) 1(3333A19521013201) 1(3113A63521013421) 1(3223A 1(3333A10013201421) 1(3443A 應有應有 例例3 已知四階行列式D中第3列元素依次為1 2 0 1 它們的余子式依次分別為5 3 7 4 求D? 解解 Da13(1)13M13a23(1)23M23 +a33(1)33M33a43(1)43M43 (1)(1)1352(1)2331(1)434 15 111)( )(22322223223211312 nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa注 行列式Dn稱為n階范德蒙行列式。

6、提示 第n1行乘a1加到第n行 第n2行乘a1加到第n1行 第n3行乘a1加到第n2行 提示 按第一列展開 提示 各列提出公因式 例例4 112112222121111 nnnnnnnaaaaaaaaaD21122112122122112000111 nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa112112222121111 nnnnnnnaaaaaaaaaD21122112122122112000111 nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa 2112311322112123123212211312 nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(a

7、2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2 例例4 112112222121111 nnnnnnnaaaaaaaaaD21122112122122112000111 nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa112112222121111 nnnnnnnaaaaaaaaaD21122112122122112000111 nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa 2112311322112123123212211312 nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1 njiijaa1)( 于是

8、Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1 v相關結果相關結果 nnnniniinaaaaaaaaa 212111211ininiiiiAaAaAa 2211 行列式按第i行展開 得 將元素ai1換成b1 ai2換成b2 ain換成bn 得 nnnnnnaaabbbaaa 212111211inniiAbAbAb 2211 njnjjnnnnnnAbAbAbabaabaaba 2211122211111 v相關結果 如果第i行的元素為b1 b2 bn 則有nnnnnnaaabbbaaa 212111211inniiAbAbAb 2211 如果第j列的元素為b1 b2 bn 則有 解解 例

9、3 設3142313150111253D D 的(i j)元的余子式和代數余子 例例5式依次記作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 314231315011111114131211AAAA314231315011111114131211AAAA 0011202250111111 314231315011111114131211AAAA r4r3r3r1 011222511 001202521 按第三列展開 011222511 c2c1 4 2052 4 2052按第三行展開 4 解 例 3 設3142313150111253D D 的(i j)元的余子式和代數余子 例5式依次記作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 M11M21M31M41A11A21A31A4131413131501112510 0010313150111251 311501121311501501 31413131501112510010313150111251 r4r3 按第四行展開 311501121311501501r12r3 例6 計算n階行列式abbaababaD0000000000000000 解 按第一行展開 得babbabbabaabaaDn0000000000) 1(0