1、1/36._)()1()1( . 12 xfxxxf，則則若若._1)2(arcsin3 . 2223 yxxxxy則則，若若._)( . 32 yyxfy，則則若若._)0(4arctan . 42 yyxy，則則 32(1)x 29arcsinxx2222()1()xyfx yx fx y -2-22/36,1xt 令令tx1 則則2)111()( tttf3)1(2x 2)1(1t 2)1(1)( xxf 4)1()1()1(2)( xxxf 3)1(2x ._)()1()1( . 12 xfxxxf，則則若若3/36._1)2(arcsin3 . 2223 yxxxxy則則，若若222

2、2321)2(12 113arcsin9xxxxxxxxxy xx arcsin92 xx arcsin924/36._)( . 32 yyxfy，則則若若)()(22 yxyxfy)2()(22yxxyyxf )(1)(2 222yxfxyxfxyy )(1)(2222yxfxyxfxy 5/36._)0(4arctan . 42 yyxy，則則 1)0( y011222 yyyxyy代代入入上上式式1)0(, 0 yx2)0( y則則2 6/36 2( )(1) ( )( )(1)_.F xxg xg xF 若若，其其中中連連續續，則則)1(2g1 1、2 2、設設 f (x)=ex, x

3、0,ax+b, x 0,在在x=0 點可導，求點可導，求 a, b 之值之值.a =1 b =17/36如果改為可導，如果改為可導，直接用求導的四直接用求導的四則運算法即可則運算法即可 2( )(1) ( )( )(1)_.F xxg xg xF 若若，其其中中連連續續，則則1)1()(lim)1(1 xFxFFx10)()1(lim21 xxgxx)()1(lim1xgxx )(lim)1(lim11xgxxx )1(2g )1(2g221121( )(1)( )(1)( )2( )(1)( )2 (1)xxxFxxg xxg xxg xxg xg 注意：注意：g(x)是否可導是未知的是否可

4、導是未知的.1 1、8/36用定義求導的三種情況：用定義求導的三種情況：1、分段函數在分段點處的導數；、分段函數在分段點處的導數；2、函數在某一點是否可導未知；、函數在某一點是否可導未知；3、用公式求導太繁。、用公式求導太繁。)2()1()0( )99()2)(1()( fffxxxxxf ，求求，如如：9/36解：解：由由 f (x) 在在 x=0 點可導，則一定在點可導，則一定在 x=0 點連續，點連續，因此有因此有1lim)(lim00 xxxexf0lim( )xf x )(lim0baxx b 即即 b =1從而從而 f (x)=ex, x0，ax+1, x 0，f (0) =1.=

5、 =2 2、設設 f (x)=ex, x0,ax+b, x 0,在在x=0 點可導，求點可導，求 a, b 之值之值.10/360( )(0)(0)limxf xffx 0(1)1limxaxax 由由 f (x) 在在 x=0 點可導，有點可導，有 f +(0)=f (0)=f (0), 故故 a=1所求函數為所求函數為 f (x)=ex, x0，x+1, x 0.0( )(0)(0)limxf xffx 又又01limxxex 0lim1,xxx f (x)=ex, x0，ax+1, x 0，a =1 b =111/36 f (x)=ex, x0，x+1, x 0. f (x)=ex, x

6、0，x+1, x0.2, x=0. f (x)= ex f (x)= 11)( lim0 xfx1)( lim0 xfx1)0( f但是但是f (x)=在在x=0處不連續，所以不可導！處不連續，所以不可導！ 求求 f (x)一、高階導數的定義一、高階導數的定義二、高階導數的求法舉例二、高階導數的求法舉例13/36物理問題物理問題：變速直線運動的加速度。變速直線運動的加速度。)()(tvttvv 1.11.1、實例、實例)(tvv 已知一物體作變速直線運動的速度為已知一物體作變速直線運動的速度為求求 t 時刻的加速度時刻的加速度)(tattt t)(tvv )(ttvv ttvttvtv )()

7、(平均加速度平均加速度14/36物理問題物理問題：變速直線運動的加速度。變速直線運動的加速度。1.11.1、實例、實例 t 時刻的瞬時加速度時刻的瞬時加速度tvtat 0lim)()(tv ( )( )v ts t 瞬瞬時時速速度度為為 )()()( tstvta-路程路程s(t)的導數的導數的導數的導數.avt加加速速度度 是是速速度度 對對時時間間 的的變變化化率率那么一個函數的導數的導數與原來這個函數那么一個函數的導數的導數與原來這個函數的關系是什么？的關系是什么？15/360( )( )()( ),( )lim,( )( )( ).xf xfxxfxxfxfxxfxfxf xx 若若的

8、的導導數數存存在在，它它仍仍然然是是 的的函函數數，若若它它還還可可導導 即即存存在在 則則稱稱的的導導數數為為在在點點 處處的的二二階階導導數數1.21.2、二階導數定義、二階導數定義記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導數的導數稱為三階導數的導數稱為四階導數四階導數, ,記為記為3333( ),.d y d ffxydxdx二階導數的導數稱為二階導數的導數稱為三階導數三階導數, ,記為記為44(4)(4)44( ),d y d ffxydxdx1.31.3、三、四階導數定義、三、四階導數定義16/36記記作作階階導導數數的的階階導導數數的的導導數數稱稱為為函函數

9、數的的函函數數一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數. .)(;)(,稱稱為為一一階階導導數數稱稱為為零零階階導導數數相相應應地地xfxf 1.41.4、 n 階導數定義階導數定義例如例如322(4)(5)( ),3,(3)6(6 )6,0,0,.,0,(4)nyx yx yxxyxyyyn ()!0nmmmnxmn 一一般般()()：17/36例例1 1arctan,(0),(0).yxff 設設求求解解1.1.直接法直接法(1)由高階導數的定義逐階求高階導數由

10、高階導數的定義逐階求高階導數.211xy 22)1 (2xx )11(2 xy求高階導數的求高階導數的類型類型: 1.求具體階導數求具體階導數2.求求n階導數階導數一般函數高階導一般函數高階導隱函數高階導隱函數高階導抽象函數高階導抽象函數高階導)1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 18/36解解例例2.求下列函數的二階導數求下列函數的二階導數21)cos,2)1xyexyx (cossin )( sincos )2sinxxxyexxexxxe ,1)22xxy 2221)1(1xxxxy ),s

11、in(cossincos)1xxexexeyxxx 222223/21/111(1)xxxxx1）題若改為證明）題若改為證明:220?yyy呢呢19/36例例3. 計算下列函數的高階導數計算下列函數的高階導數0)2sin)1 xyyexyeyyxy求求求求解：解：1）方程兩邊對）方程兩邊對 x 求導求導yyy cos1yycos11 上式兩邊對上式兩邊對 x 求導，得求導，得22)cos1(sin)cos1()cos1(yyyyyy 3)cos1(sinyy 2）方程兩邊對）方程兩邊對 x 求導求導)1(0 yxyyey20/36)2(02)(2 yxyyeyeyy于是于是yyexyyey 2

12、)(2eyyx/1)0(1, 10 ）式得）式得代入（代入（20/121, 0eyyxx ）式得）式得代入（代入（將將隱函數求高階導數，應用隱函數求導法，若計算某隱函數求高階導數，應用隱函數求導法，若計算某一點處的導數，則有兩種方法，見一點處的導數，則有兩種方法，見 （1）與）與 （2）上式兩邊再對上式兩邊再對 x 求導，得求導，得)1(0 yxyyey21/36例例4 4.,),1(yfxxfy 求求二二階階可可導導其其中中已已知知解解)1(1)1(xfxxf )x1(1)1(1)1()1(y22 fxxfxxxf)1(13xfx )1(yxf)1(-)1()1(2xxxfxf)1()1()

13、1(xxxfxf)1(xfx)1)(1(12xxfx 22/36例例5 5( )ln(1),.nyxy設設求求解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn求求n階導數時階導數時,先求出先求出1-3或或4階導數階導數,將它們當作數列的將它們當作數列的前若干項，分析結果的規律性前若干項，分析結果的規律性,寫出通項公式即為寫出通項公式即為n階階導數公式導數公式. （2）推導法（）推導法（n 階導數的計算）階導數的計算）直接法直接法23/36例例6 6( )sin ,.nyxy 設設求求解解xycos xysi

14、n )sin( x)22sin( xxycos )23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得_)(cos_,)(sin)()( nnkxkx,.)1 , 0( n,.)1 , 0( n看出結看出結論了嗎論了嗎?)2sin( xxysin)4( )2sin( x)24sin( x)2sin(nkxkn)2cos(nkxkn24/36例例7 7.,)(nxyay求求設設 解解aayxln 2)(lnaayx 3)(lnaayx nxnaay)(ln)( 如：如：._,2)10(8 yxyx則則10)2(ln2xxnxee )()(y = ex 的

15、任何階導數仍為的任何階導數仍為ex本身本身.特別特別:25/36 求求n階導數時階導數時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合并不要急于合并, ,分析結果的規律性分析結果的規律性, ,寫出寫出n 階導數階導數. . 例例8 8.y,ln(n)求求設設xy 解解注意注意: :xy121)(y x32)1)(y x4(4)3)2)(1)(yxnnx1)(n2)1)(y)(1 x1)0!1,(1)!(1)(y1)(nxnnnn)()1(nx1!1)(nnxn26/362.2.間接法間接法: :常用高階導數公式常用高階導數公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!

16、1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導數公式利用已知的高階導數公式, 通過四則通過四則 運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數階導數.1)(!)1()1( nnnxnx，27/36例例9 9.,11)5(2yxy求求設設 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx1)(!)1()1( nnnxnx28/36解解例例101066( )

17、sincos,.nyxxy 設設求求3232)(cos)(sinxxy x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn)coscossin(sin4224xxxx ( n=1,2,)利用立方利用立方和公式和公式29/36作業作業: : 練習練習3-33-3 第第9292頁頁 3(1,2),5(1),8,9(3),103(1,2),5(1),8,9(3),10思考題思考題: : 習題習題3-33-3 第第105105頁頁 1(2,4),2(1),4(2,3),6,7(1)1(2,4),2(1),4(2,3),6,7(1)吳傳生教材30/362

18、)/()()(vvuvuvuvuvuuvvuvu 1.1.導數的四則運算法則導數的四則運算法則 u ,v 都可導都可導, 方可用法則方可用法則 ！ 熟記積商法則，莫與極限混淆熟記積商法則，莫與極限混淆 2.2.基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式常數函數常數函數 冪函數冪函數 指數函數指數函數 對數函數對數函數 三角函數三角函數 反三角函數反三角函數 公式記不熟公式記不熟 必將吃苦頭必將吃苦頭 用用定定義義求求導導數數函函數數求求導導用用公公式式與與法法則則尤其是分段尤其是分段函數在分段函數在分段點的導數點的導數.31/364.冪指函數求導法冪指函數求導法-取對數求導法取對數求導法3.

19、復合函數的求導法則復合函數的求導法則反函數求導法反函數求導法隱函數求導法隱函數求導法取對數求導法取對數求導法參數方程求導法參數方程求導法5.高階導數高階導數32/36三、由參數方程所確定的函數的導數.,)()(定定的的函函數數稱稱此此為為由由參參數數方方程程所所確確間間的的函函數數關關系系與與確確定定若若參參數數方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t(differentiation of functions represented parametrical

20、ly)33/36xttyxydddddd txtydd1dd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytxtxtyxydddddd 即即tt)()( tt)()( 參數方程求導參數方程求導: 實質上是利用復合函數求導法則實質上是利用復合函數求導法則;34/36,)()(二階可導二階可導若函數若函數 tytx )dd(dddd22xyxxy )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即tt)()( xydd再用再用商商的的求導法則求導法則求二階導求二階導數數dx1)dd(ddxyt dtdx)dd(ddxyt

21、dtdx1)dd(ddxyt dt35/36例例9 9解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即36/36例例1010解解.sincos33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy )cos()

22、tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dx1)dd(ddxyt dt37/36 （1）導數的概念）導數的概念0000()()()limxf xxf xfxx 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 自變量從自變量從 變到變到0 xxx 0自變量從自變量從 變到變到0 xx38/36例例1. f(x) 在在 x=1 處可導，則處可導，則1(32 )(1)lim1xfxfx 從從1變到變到 3-2x, 自變量的改變量自變量的改變量 2(1-x)(1)2(1(1)2(11lim1fxfxfx1)1()23(lim1 xfxfx于是于是)1(2 f

23、 )1(2)1()23(lim)2(1xfxfx 39/36例例2.若若 則則0()2fx 000lim()(2 )()xxf xxf x A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -4000(2 )()lim22xf xxf xx 2/1)()2(2lim000 xfxxfxxA應應選選00000012limlim(2 )()2(2 )()xxxxf xxf xf xxf x 11()22 40/36分段函數在分分段函數在分段點的導數必段點的導數必須用定義來做須用定義來做 (2) 分段函數的連續性與可導性分段函數的連續性與可導性例例3.討論函數討論函數2sin210( )1sin0 xe

24、xf xxxx 在在 x=0 處的連處的連續性和可導性續性和可導性解解：01sinlim)00(20 xxfx0)1(lim)00(sin20 xxef又又 f(0)=0 ,故故 f(x) 在在 x=0 處連續處連續.2001sin(0)1(0)limlimsin00 xxxfxfxxx 41/36為什么？為什么？2sin002sin(0)lim(1)/lim2,xxxxfexx )0()0( ff故故 f(x) 在在 x=0 處不可導處不可導若此題改為求函數的導數，如何計算？請練習若此題改為求函數的導數，如何計算？請練習.)1sin()(02 xxxfx，解：解：)1(1cos1sin22

25、xxxxxxxx1cos1sin2 xxxxexeexfxsin2sin2sin2cos2)sin2() 1()(, 0 42/36, 2sin2lim/ )1(lim)0(0sin20 xxxefxxx)0()0( ff故故 f(x) 在在 x=0 處不可導處不可導 0cos201cos1sin2)(sin2xxexxxxxfx01sinlim/1sinlim)0(020 xxxxxfxx43/362311xfxx 例例4. 求求( )fx 解解332/11/111xxxxxf 31)(xxxf 2332323)1(21)1(31)(xxxxxxxf （3）求導數）求導數 (四則運算法則、復合函數求四則運算法則、復合函數求導、隱函數求導、對數求導法導、隱函數求導、對數求導法)44/36例例5.設設 求求22(1)ln(12)2yxxxxxxy 解