1、 第三節(jié)第三節(jié) 絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂二、級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂一、一、交錯(cuò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法級(jí)數(shù)及其審斂法1 1、定義、定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù). . )1()1(111nnnnnnaa 或或2 2、萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足條條件件: : (i) ), 3 , 2 , 1(1 naann; (ii) 0lim nna, 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1as , , 其其余余項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值 1| nnar.

2、. )0( na其中其中證明證明nnnnaaaaaas212223212)()( 又又)()()(21243212nnnaaaaaas 1a , 01 nnaa.lim12assnn , 0lim12 nna,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnass, s .,1ass 且且級(jí)數(shù)收斂于和級(jí)數(shù)收斂于和),(21 nnnaar余余項(xiàng)項(xiàng),21 nnnaar滿(mǎn)足收斂的兩個(gè)條件滿(mǎn)足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnar定理證畢定理證畢.收斂收斂收斂收斂 nn1)1(4131211)11 !1)1(!41!31!211)21nn例例 用用L

3、eibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:2 2、萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足條條件件: : (i) ), 3 , 2 , 1(1 naann; (ii) 0lim nna, 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1as , , 其其余余項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值 1| nnar. . 3、三點(diǎn)說(shuō)明三點(diǎn)說(shuō)明: :(1) 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 (i) (ii) 的交錯(cuò)級(jí)數(shù)為的交錯(cuò)級(jí)數(shù)為萊布尼茨型萊布尼茨型級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .(2) 兩個(gè)條件兩個(gè)條件 (i) (ii) 是是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件 . .若不滿(mǎn)足條件若不滿(mǎn)足條件 (

4、ii) ，則，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)必發(fā)散必發(fā)散 . .若不滿(mǎn)足條件若不滿(mǎn)足條件 (i) ，交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)未必發(fā)散未必發(fā)散 . .例如：例如： 1112)1()1nnnn發(fā)散發(fā)散. 122)1(1)2nnn收斂收斂.(3) 應(yīng)用應(yīng)用萊布尼茨定理判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性萊布尼茨定理判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性必必須驗(yàn)證這兩個(gè)條件，缺一不可須驗(yàn)證這兩個(gè)條件，缺一不可 . .例例 1 1 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnaa1limlim nnannn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.,)()

5、(,)1)(, )()2(.10)1(111的的增增減減性性從從而而得得到到的的增增減減性性符符號(hào)號(hào)判判斷斷的的由由求求導(dǎo)導(dǎo)對(duì)對(duì)令令或或證證明明常常用用方方法法有有：判判斷斷nnnnnnnnaxfxfxxfnfaaaaaaa 收斂收斂收斂收斂 nn1)1(4131211)11 !1)1(!41!31!211)21nn上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1)11 nn;!1)21 nn發(fā)散發(fā)散收斂收斂例例 用用Leibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂1 1、定義定義: :

6、 一般項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為一般項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .2、定定理理 若若 1|nna收收斂斂, ,則則 1nna收收斂斂. . 證明證明),(|)|(21Nnaavnnn 令令, 0 nv則則|,|nnav 且且,1收斂收斂 nnv), |2(11 nnnnnava又又.1收收斂斂 nna定理的作用定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)3 3、 定定義義: :若若 0|nna收收斂斂, , 則則稱(chēng)稱(chēng) 1nna為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ; 以上定理說(shuō)明：若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則該級(jí)數(shù)必收斂.,1為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) nna,)lim(lim1有有確確定定

7、意意義義或或若若極極限限 nnnnnnaaa級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 ；則則 (1) 當(dāng)當(dāng) 0 1 時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng) 1 時(shí)時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 ；(3) 當(dāng)當(dāng) 1 時(shí)時(shí), , 級(jí)數(shù)斂散性需另行判定級(jí)數(shù)斂散性需另行判定. .定理定理(Page246)211112:1(1)( 1) ln(1)!(2)( 1)11(3)( 1)12nnnnnnnnnnnnnn例 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性（）12112:1(4)( 1)sin(5)1sin2npnnnnnannn例 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性(6)的斂散性？的斂散性？如何判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)如何判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nna若收斂若收斂, 要要指出指出是是條

8、件收斂條件收斂還是還是絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.一般步驟如下：一般步驟如下：, 0lim. 1 nna則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散.否則：否則：.|1的斂散性的斂散性判別判別 nna.,|. 211絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂則則收斂收斂若若 nnnnaa否則：否則：.,|. 311發(fā)散發(fā)散則則法得出法得出發(fā)散是用比值法或根值發(fā)散是用比值法或根值若若 nnnnaa,1的的斂斂散散性性否否則則應(yīng)應(yīng)考考慮慮 nna,1條條件件收收斂斂則則若若收收斂斂 nna.1發(fā)發(fā)散散否否則則 nna1112()?nnnnnnnabab、若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂，則是條件收斂還是絕對(duì)收斂1nna判斷級(jí)數(shù)的斂散性一般有如下程序：一、首先判斷級(jí)

9、數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，還是交錯(cuò)級(jí)數(shù)或者是一般級(jí)數(shù)；二、若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，按照如下過(guò)程判定 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件lim0nna不滿(mǎn)足發(fā) 散滿(mǎn)足比值審斂法 limn1nana根值審斂法limnnna1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用其他判別用其他判別法法積分判別法部分和極限1三、是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，先判斷是否絕對(duì)收斂，若不是絕對(duì)收斂，再利用萊布尼茨判別法判定級(jí)數(shù)是否條件收斂.四、若是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，先判斷是否絕對(duì)收斂，若不是絕對(duì)收斂則利用柯西審斂法或者定義判斷是否條件收斂.例例 7 7 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))0()1(1 xnxnnn的的斂斂散散性性. . 練練習(xí)習(xí)：1 1.

10、.判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))0(lg11 xxnn的的收收斂斂性性. . 練練習(xí)習(xí)： 2 2. .設(shè)設(shè)正正數(shù)數(shù)列列an單單調(diào)調(diào)下下降降， 且且 1)1(nnna發(fā)發(fā)散散，問(wèn)問(wèn) 111nnna的的收收斂斂性性如如何何？ 例例 6 6 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 121sinnn 的的斂斂散散性性. . 111ln)1()1nnn例例 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性判別下列級(jí)數(shù)的收斂性. 1100)1()2nnnn 12)1(2)1()3nnnn收斂收斂收斂收斂收斂收斂 1)1(2)1()4nnnn發(fā)散發(fā)散三、小結(jié)三、小結(jié)正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 別下列級(jí)數(shù)是否收斂別下列級(jí)數(shù)是否收斂? ?如果是收斂的如果是收斂的, ,是絕對(duì)收是絕對(duì)收斂還是條件收斂斂還是條件收斂? ? 1 1、 1113)1(nn