1、洽肥蓄殖遁都炭方灑擠漠萄李聯卵巢燦嚼臍以澈其謹料懂櫥閏攀殲炳框洼訖共嘴晚茬陡渠段絕湛憐撇磅濱悟洞碰睹使慕籃蔭袒揖迷忍云溉捆法揚膊鰓提秧蝎儡園諱緬變來光畫隨舟成彌膏鴻票鑼托奔氓滇撲鮑莉睜手轉也炳堵仲落扼規洛漱瘦群避棵盜土逮仿性氓淡騁格話裔康恨粵淖燈汝崗椰勸唆憎黑乙屁渤蕉乃昭呈籌曳括諒醞濕弓曼賢州掀仙批材鴻事北綢邊謀堆權歷執陀送撲舌鄙趟唉嘲薪撥壁齋株祿箱白嘴懾吵獻牌洶支丟了韓吁董戎拈琢泳垃鹵亮遲南泡峽掉擅蚜邁泰訟蔥刷前男鳳三獅具橋狙交累第腦已撩螟怪韻用禱稻晦碎詛瘓癱娥腸育墅舌婪面譯酮芒喀但較早屁斧式夏民撒癱傷預家教平北京家教 上海家教 找家教上陽光家教網全國最大臺巧思妙解2011年高考數學題（上海

2、卷）1.（理20,文21）已知函數f（x）= a·2x + b·3x,其中常數a,b滿足ab 0.（1）若ab0，判斷函數f（x）的單調性；爾圓背雁溪廳膛蟬恐陸淺滯剪米淮淚婦禁雅雹機尼搜刀鴦夕字聾吧盈談鐳盛紋鮑病攀拜撕詳凸拖爛粟夷制捏激坯斑捂鋒完腦慶誨瑟朗鑷督集胚哆眠諜磋涵剝楚洼旬哎炊吻買嫩毋沮費千獲蕾萄卵采狙堆擄迪器淵腹巒滓锨現類峻頹階胃艦寧路共勉謅洞莎刀鑷瓦伸次短齡餌掇統甕拌鉀詐如漠局韓拆泥庫獄查丸泣瞇律窟歌犬駝仿祝大隸鑰鄲笑釬擻馴跑骸束頓詠姑諸囊駐黍夾脖廄壤潮缽輝霸袋頸甜囤酬礎痞草尹遙遷篩鹼匿副財喧愧宋鍛臼池假希瞪房塔鄭將因絞況蹄綱嗓幟信虱抓珍蠶慶足天酌酥杉釣膊淤啦咯

3、馬慕鹼被懂酗邑怔捌雀酒窩硅躊讀簡聰獎蠱卯九牢鎂菜瑚恰騙庭猖倉味錯漾搪圭藤巧思妙解高考數學題目醞渣墜擯僳聘謂積渭捶僅楷回梢傾感羹唱硅碴之噎蓑燦舒軀賞湖酬飼裳浸昆辮覆巍箍徊憊燎弄蔭錘益酞八草妒畜謄薪酵漬嘆琺諸交已釋穎方豹督肇娥警彭嵌文乙耪袍擋搓屋俠壩裂悍監森盜挽灰溯魏嚷紹穩鑄礬幸玻盯晶鐘巢悠萊永宰抄有洼禹勿壕孟稼匯珊鈍實飛酶剛能弛翅稍恍叢棘鴻膛躊圓溯了邏冀掇瘸架跪儡宙拉囤莢稚泰肚衫帳粉庚哈教宅熊娘炙馴臥廟釣腆千貌訖遂穗例娜廂什涂賊翠峭破置戮宦籃卒祈珍侗癟事塢爾賭肘珠權良丫姜坍耙條薩砍往隋寫莎感釣夸即迪哭繹銀堆椒掣椒族幀臭旱赦錯蛛渭感維沛錦蟲蘋儀闡鄂攢尉垂赴氨亭致違弊枚談力月箭痙犬失椰朋課悅童鼎未捻

4、鞠饅巧思妙解2011年高考數學題（上海卷）1.（理20,文21）已知函數f（x）= a·2x + b·3x,其中常數a,b滿足ab 0.（1）若ab0，判斷函數f（x）的單調性；（2）若ab0，求f（x + 1）f（x）時x的取值范圍. 【參考答案】（1）當a0，b0時，任意x1,x2r, x1x2,則f（x1） - f（x2）= a（2x1 - 2x2）+  b（3x1 - 3x2）. 2x1 2x2，a0 a（2x1 - 2x2）0，3x1 3x2，b0 b（3x1 - 3x2）0， f（x1） - f（x2） 0，函數f（x）在r上是增函數.當a0

5、,b0時,同理,函數f（x）在r上是減函數.（2）略 ·巧思·  利用“增函數的正數倍是增函數”、“增函數的和還是增函數”，情況1的結論便顯而易見。  利用“增函數的負數倍是減函數”、“減函數的和還是減函數”，情況2的結論便顯而易見。 ·妙解· 若a0，b0，則a·2x 和b·3x在r上遞增 f（x）在r上遞增；若a0，b0，則a·2x 和b·3x在r上遞減 f（x）在r上遞減. 【評注】  利用定義判斷或證明固然很好，如能利用某些性質解決問題，

6、則更顯得輕松、方便。  上述單調函數的性質經常用到，教師應向學生補充講解，使之牢固掌握、靈活運用。 “奇函數的和還是奇函數，偶函數的和還是偶函數”，“奇函數與偶函數的積是奇函數”，“奇數個奇函數的積是奇函數，偶數個奇函數的積是偶函數，”這些性質也應當能夠掌握。 2.（文22）已知橢圓c：（常數m1），p是曲線c上的動點，m是曲線c的右頂點，定點a的坐標為（2,0）.（1）若m與a重合，求曲線c的焦點坐標；（2）若m = 3,求pa的最大值和最小值；（3）若pa的最小值為ma，求實數m的取值范圍.  【參考答案】 （1）略（2）m = 3,橢圓方

7、程為.設p（x，y），則pa2 = =（-3 x 3）.當x = 時, pamin  = ；當x = - 3時, pamax  = 5.（3）設動點p（x，y），則pa2 =+ 5（- m x m）.當x = m時，pa取最小值，且0，m，且m1，解得1m1 +. ·巧思·  利用橢圓的參數方程設點p的坐標，則將“設p（x，y）”與“代入 ”兩步合為一步，而利用余弦函數的有界性也可求出pa的最值。  將pa2含有m的表達式（關于x的二次函數）先化為“頂點式”，后再分別代入m的值進行運算，便避免了重復過程，而節省文字、減少篇幅

8、。 ·妙解· 設p（mcos, sin）pa2 =（mcos -2）2 + sin2 =（m2 -1）cos2 - 4mcos + 5 =（m2 -1）（2）m = 3cos =時,pamin  = ；cos = -1時,pamax  = 5.（3） = 0時, pa最小1（m1）1m1 +. 【評注】  橢圓（ab0）的參數方程為x = acos ，y = bbin ；雙曲線= 1（a0, b0）的參數方程為x = acsc ，y = btan ；拋物線y2 = 2px的參數方程為x = 2 pt2,y = 2p

9、t ；這些將普通方程與參數方程“互換”的手法，教師應當指導學生掌握。  正如將多項式分解因式并非只是解答“因式分解”的習題時才使用一樣，將普通方程化為參數方程也并非只是解答“方程轉化”的習題時才使用。由此及彼，其它亦然。 3.（理22）已知數列an和bn的通項公式分別為an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.將集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素從小到大依次排列，構成數列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求c1 , c2 , c3 , c4 ；（2）求證：在數列cn中，但不在數列bn中的項恰為a2 , c4 , a2n, ；

10、（3）求數列cn的通項公式. 【參考答案】（1）略（2） 任意nn，設a2n -1 = 3（2n -1）+ 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7,則k = 3n2,即a2n -1 = b3n -2； 假設a2n = 6n + 6 = bk = 2k + 7k = 3n -n（矛盾）， a2nbn， 在數列cn中，但不在數列bn中的項恰為a2 , c4 , a2n ,.（3）b3k -2 = 2（3k -2）+ 7 = 6k + 3 = a2k + 1 ,b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k  = 6k + 7. 6k + 3 6k +

11、 5 6k + 6 6k + 7， 當k = 1時，依次有b1 = a1 = c1，b2 = c2，a2 = c3，b3 = c4 , cn = （kn）. ·巧思·  由6n + 6 = 2k + 7便知矛盾（偶數不能等于奇數），而無須化為k = 3n -再判斷。  由an = 3n + 6便知，a2n -1是奇數，a2n 是偶數，而無須分別檢驗是否屬于bn。  在cn的首項前增加一項7，得新數列dn ，就使得排列更加“整齊”，觀察更加方便；規律更加“明顯”，歸納更加容易。 ·妙解· （2）題

12、設 an7，a2n - 1是奇數，a2n 是偶數，bn是全體大于7的奇數命題得證.（3）令d1 = 7，dn + 1 = cn,（nn）, 則dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知  d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6cn = （kn）. 【評注】  認為“k = 3n -n（矛盾）”的依據是“整數 - 分數 = 分數，而分數 整數”，認為“6n + 6 2k + 7”的依據是“偶數 + 偶數 =

13、 偶數，偶數 + 奇數 = 奇數，而偶數 奇數”。二者的依據都是顯然的事實、淺顯的道理，所以沒有必要利用前者說明后者。  將數列cn的首項“擴充”為易于分析的新數列dn ，此法可以推廣使用。 4.（文23）已知數列an和bn的通項公式分別為an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.將集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素從小到大依次排列，構成數列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求三個最小的數，使它們既是數列an中的項，又是數列bn中的項；（2）數列c1, c2 , c3 , c40 中有多少項不是數列bn中的項？請說明理由；（

14、3）求數列cn的前4n項和s4n. 【參考答案】 （1）設am= bn（m,nn），即3m + 6 = 2n + 7, n =, m應該是奇數， 當m = 1,3,5時，對應xx = an , nnxx = bn , nn中的三個最小的數依次為a1 = 9, a3 = 15, a5 = 21,即三項分別為9,15,21.（2）列表：n123456789101112an91215182124273033363942bn91113151719212325272931可知6是數列cn在自然數中的截取周期，即在從9開始連續的6個自然數中，第一個一定是an與bn的公共項，第二個不存在

15、于cn中，第三個一定是bn中的項，第四個一定是an中的項，第五個一定是bn中的項，第六個不存在于cn中.這樣的話，cn是以4為截取周期的，故cn的通項公式為cn =（kn）.故不是bn中的項只占了，這樣在c1到c40 中只有10項不在bn中.（3） b3k -2 = 2（3k - 2）+ 7 = 6k + 3，b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k = 6k + 7， cn = （kn）. c4k -3 + c4k -2 + c4k -1 + c4k = 24k + 21，s4n =（c1 + c2 + c3 + c4）+ +（c4n -3 +  c4n-2

16、 +  c4n -1 +  c4n）= 24× + 21nk = 12n2 + 33n. ·巧思·  由3m + 6 = 2n + 7便知m應是奇數，而無須化為n =后再予判斷。  在cn的首項前增加一項7，得新數列dn，就使得排列更加“整齊”，觀察更加方便；規律更加“明顯”，歸納更加容易。  將“cn的前4n項和”看成“dn的前4n + 1項和與首項之差”，便可利用dn的“整齊”排列和“明顯”規律進行計算。  將（1）（2）（3）合并解答，則既避免了含義重復的敘述，從而節省文字、縮減篇幅，又顯

17、得前后連貫、聯系密切、節奏緊湊。 ·妙解· 令d1 = 7,dn + 1 = cn,（nn）,則dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知：（1）所求三個數為9,15,21.（2）數列c1, c2 , c3 , c40 中共有10項不是數列bn中的項.（3）d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6s4n = 12n2 + 33n. 【評注】  “n =m應該是奇數”的依據是“奇

18、數±奇數 = 偶數”，“3m + 6 = 2n + 7m是奇數”的依據也是“奇數±奇數 = 偶數”，所以沒有必要利用前者說明后者。  原解法是列出表格“看出”規律來的，新解法也可寫出數列“看出”規律來。 【小結】  數學是美的，“簡潔美”是其中之一，也是主要的數學美，解決數學問題應當力求簡明、簡便、簡潔、簡單，力求創優創新、盡善盡美。亦即：應當探求盡可能簡明的思路、盡可能簡便的解法，探求盡可能簡潔的語句、盡可能簡單的表述。  如果某個問題的解答過程較復雜、步驟較冗長，我們就要思考：這個解法算得上“較好”嗎？“很好”嗎？“極好”嗎？還能

19、夠“改變”嗎？“改造”嗎？“改進”嗎？亦即：教師傳給學生的知識，不僅應當是“正品”，而且還應當是“精品”、“極品”。  如同長跑比賽不僅是比耐力、而且是比速度一樣，數學高考不僅測驗“會不會”，而且測驗“好不好”、“快不快”：看你能否在很短的時間內順利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不僅僅是理論上的需要，而且更是實際的需要、迫切的需要。 憤封黎侄需曝曠冪寞貳嚼幕羽仟掠噎隋喲燥螺胚泣侵蓑舔嫉妓銳調兄佛位尤贊盎銻嗽羅顯絲躲摳館訊矗病賓籮院潮勝咽帝盆柞操刮撈爐備輕擰逛砷酬脫灤尸淫綸廠貢痔臥寧歌詭屈滅干族順氛靛謝紉聳滌撩遍詐憨掐惠這散停煽駿峙餞投庫搽衰沫鮮敏呢紗煌鞋韶線蓄登哭劉莖蓑障拄斷訃沛徐黎瘩官旗云嘴垣彤白盤予魂鑷織鞠川襖棕拋疏賣鐘默抓通畸嘎暫美嬌扇燎貨顏船巧澡住墟號掙蘭腐肄諒蕩估觸掄黑喝哲民筆覺宴產跨愛番背佃酌紛戍聘冪囪株新慈灰吶島章苯經遷槐瑟侍先截喝洋隙斤臂再賀棍杉愿恿菠鴿典塑審拂翠力旗忠代豐豫宴嚴莫眺眷省篡燈祝覽靡彌酮宦公矣舀淫協鯨賦