1、2.3垂徑定理基礎題知識點1垂徑定理1(長沙中考改編)如圖，在o中，弦ab6，圓心o到ab的距離oc2，則o的半徑長為(b)a. b. c2 d42如圖，ab是o的弦，odab于d，交o于e，則下列說法錯誤的是(d)aadbd baoeboec. dodde3如圖，在o中，直徑cd垂直于弦ab.若c25°，則bod的度數是(d)a25° b30° c40° d50° 4如圖，ab是o的弦，半徑ocab于點d.若o的半徑為5，ab8，則cd的長是(a)a2 b3 c4 d55如圖，ab是o的直徑，弦cdab于點e，oc5 cm，cd6 cm，則o

2、e4cm. 6(教材p59例1變式)如圖，在o中，直徑ab垂直弦cd于點m，am18，bm8，則cd的長為247如圖，ab是o的直徑，弦cdab于點e，點m在o上，md恰好經過圓心o，連接mb.若cd16，be4，求o的直徑解：abcd，cd16，cede8.設obx，be4，x2(x4)282.解得x10.o的直徑是20.知識點2垂徑定理的實際應用8(教材p60習題t1變式)一條排水管的截面如圖所示已知排水管的截面圓半徑ob10，截面圓圓心o到水面的距離oc是6，則水面寬ab是(a)a16b10c8d69如圖所示，某窗戶是由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度ab3 m，弓形的高ef1 m，現計劃

3、安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓o的半徑r.解：由題意，知oaoer.ef1，ofr1.oeab，afab×31.5.在rtoaf中，of2af2oa2，即(r1)21.52r2.解得r.圓o的半徑為 m.易錯點忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”10下列說法正確的是(d)a過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧b弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心c過弦的中點的直徑垂直于弦d平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦中檔題11如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心o，則折痕ab的長為(c)a2 cm b. cm c2 cm d2 cm 12(2018·棗莊)

4、如圖，ab是o的直徑，弦cd交ab于點p，ap2，bp6，apc30°.則cd的長為(c)a. b2 c2 d8提示：過點o作ohpd于h，連接od.ap2，bp6，則aobo4，則po2，又ophapc30°，oh1，odob4，在rthod中，hd，cd2hd2.13如圖，以點p為圓心的圓弧與x軸交于a，b兩點，點p的坐標為(4，2)，點a的坐標為(2，0)，則點b的坐標為(6，0) 14(2018·黃岡)如圖，abc內接于o，ab為o的直徑，cab60°，弦ad平分cab.若ad6，則ac215(2018·孝感)已知o的半徑為10 cm，

5、ab，cd是o的兩條弦，abcd，ab16 cm，cd12 cm，則弦ab和cd之間的距離是2或14cm.16(2018·安徽)如圖，o為銳角abc的外接圓，半徑為5.(1)用尺規作圖作出bac的平分線，并標出它與劣弧bc的交點e；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)若(1)中的點e到弦bc的距離為3，求弦ce的長解：(1)畫圖如圖所示(2)ae平分bac，.連接oe，oc，ec，則oebc于點f，ef3.在rtofc中，由勾股定理可得，fc.在rtefc中，由勾股定理可得，ce.17如圖，cd為o的直徑，弦ab交cd于點e，連接bd，ob.(1)求證：aecdeb；(2)若cdab，a

6、b8，de2，求o的半徑解：(1)證明：根據“同弧所對的圓周角相等”，得ad，cabd，aecdeb.(2)cdab，o為圓心，beab4.設o的半徑為r，de2，則oer2.在rtoeb中，由勾股定理，得oe2eb2ob2，即(r2)242r2，解得r5.o的半徑為5.綜合題18如圖，已知man30°，o為邊an上一點，以o為圓心，2為半徑作o，交an于d，e兩點，設adx.當x為何值時，o與am相交于b，c兩點，且boc90°？解：過點o作ofbc于點f.boc90°，oboc2，obc45°，bc2.ofbc，bfbc，bof45°.ob

7、fbof.ofbf.man30°，oa2of2.ad22，即當x22時，boc90°.小專題(五)與圓的基本性質有關的計算與證明1已知：如圖，a，b，c，d是o上的點，12，ac3 cm.(1)求證：；(2)求bd的長解：(1)證明：12，.(2)，acbd.ac3 cm，bd3 cm.2a，b是o上的兩個定點，p是o上的動點(p不與a，b重合)，我們稱apb是o上關于點a，b的滑動角已知apb是o上關于點a，b的滑動角(1)若ab是o的直徑，則apb90°；(2)如圖，若o的半徑是1，ab，求apb的度數解：連接oa，ob，ab.o的半徑是1，即oaob1，又a

8、b，oa2ob2ab2.由勾股定理的逆定理可得，aob90°.apbaob45°.3如圖，ab是o的直徑，c，d兩點在o上若c45°.(1)求abd的度數；(2)若cdb30°，bc3，求o的半徑解：(1)連接ad.bcd45°，dabbcd45°.ab是o的直徑，adb90°.abd45°.(2)連接ac.ab是o的直徑，acb90°.cabcdb30°，bc3，ab6.o的半徑為3.4如圖，a，p，b，c是圓上的四個點，apccpb60°，ap，cb的延長線相交于點d.(1)求證：

9、abc是等邊三角形；(2)若pac90°，ab2，求pd的長解：(1)證明：a，p，b，c是圓上的四個點，abcapc，cpbbac.apccpb60°，abcbac60°.acb60°.abc是等邊三角形(2)abc是等邊三角形，acb60°，acabbc2.pac90°，dabd30°.bdab2.四邊形apbc是圓內接四邊形，pac90°，pbcpbd90°.在rtpbd中，pd4.5如圖，一圓弧形橋拱的圓心為e，拱橋的水面跨度ab80米，橋拱到水面的最大高度為20米求：(1)橋拱的半徑；(2)現水

10、面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為多少米？解：(1)過點e作efab于點f，延長ef交圓于點d，則由題意得df20.由垂徑定理知，點f是ab的中點，affbab40米，efedfdaedf，由勾股定理知，ae2af2ef2af2(aedf)2.設圓的半徑是r，則r2402(r20)2，解得r50.即橋拱的半徑為50米(2)設水面上漲后水面跨度mn為60米，mn交ed于h，連接em，則mhnhmn30米，eh40(米)ef502030(米)，hfehef10米6已知abc，以ab為直徑的o分別交ac，bc于點d，e，連接ed.若edec.(1)求證：abac；(2)若ab4，bc2，求

11、cd的長解：(1)證明：edec，edcc.edcade180°，adeb180°，edcb.bc.abac.(2)連接ae，ab為直徑，aebc.由(1)知，abac，becebc.在abc與edc中，cc，cdeb，abcedc.ce·cbcd·ca.acab4，×24cd.cd.7如圖，在abc中，abbc2，以ab為直徑的o分別交bc，ac于點d，e，且點d為bc的中點(1)求證：abc為等邊三角形；(2)求de的長；(3)在線段ab的延長線上是否存在一點p，使pbdaed，若存在，請求出pb的長；若不存在，請說明理由解：(1)證明：連接ad.ab是o的直徑，adb90°.點d是bc的中點，ad是線段bc的垂直平分線abac.abbc，abbcac.abc為等邊三角形(2)連接be.ab是直徑，aeb90°.beac.abc是等邊三角形，aeec，即e為ac的中點d是bc的中點，故de為abc的中位線，deab×21.(3)存在點p使pbdaed，由(1)(2)知，bded，bac60°，deab