1、第第5章章 數字控制系統的數字控制系統的延續延續離散化設計離散化設計 設計數字控制系統，就是在知對象特性的前提下，設計數字控制系統，就是在知對象特性的前提下，根據系統動態和穩態性能目的的要求，設計數字控制器。根據系統動態和穩態性能目的的要求，設計數字控制器。 本章引見數控系統的延續本章引見數控系統的延續離散化設計離散化設計 ，是其中，是其中的一類設計方法的一類設計方法 。 設計步驟：設計步驟：知對象特性知對象特性G(s)，按延續系統設計方法確定模擬控制器，按延續系統設計方法確定模擬控制器D(s)；由由D(s)按相應規那么設計數字控制器按相應規那么設計數字控制器D(z)，即將，即將D(s)離散化

2、；離散化；系統檢驗，看能否滿足系統設計目的，看能否需重新設計系系統檢驗，看能否滿足系統設計目的，看能否需重新設計系統。統。5.1 引言引言本章重點：本章重點：1. 由由D(s)到到D(z)的多種近似方法。的多種近似方法。2. 檢驗所設計的數控系統的性能。檢驗所設計的數控系統的性能。闡明：闡明： 延續延續離散化設計是一種近似的設計方法：離散化設計是一種近似的設計方法：由由D(s)到到D(z)的轉換是一種近似過程；的轉換是一種近似過程；在設計中，沒有思索堅持器對系統的影響。零保帶來在設計中，沒有思索堅持器對系統的影響。零保帶來T/2的相位滯后，使系統閉環性能變壞。因此延續的相位滯后，使系統閉環性能

3、變壞。因此延續離散化設離散化設計的系統，要求有較小的采樣周期計的系統，要求有較小的采樣周期T。5.2 數字濾波器法數字濾波器法 任何改動信號頻譜的網絡都可以稱為濾波器。任何改動信號頻譜的網絡都可以稱為濾波器。D(s)可可稱為模擬濾波器，稱為模擬濾波器，D(z)可稱為數字濾波器。以下引見由可稱為數字濾波器。以下引見由D(s)設計設計D(z)的幾種方法。的幾種方法。5.2.1 脈沖不變法脈沖不變法 設計準那么：設計準那么：D(z)的脈沖呼應與延續系統設計的的脈沖呼應與延續系統設計的D(s)的脈沖過渡函數采樣點的值相等，即的脈沖過渡函數采樣點的值相等，即D(s)求求Z變換。變換。 D(z)=Zh(k

4、)=Zh*(t)=ZD(s)D(s)(t )(thD(z)(t )(* th)(* t 分析脈沖不變法特點：分析脈沖不變法特點：D(s) 與與 D(z)之間的近似關系。之間的近似關系。由設計準那么知，二者的脈沖呼應在采樣點取一樣值；由設計準那么知，二者的脈沖呼應在采樣點取一樣值；D(s)與與D(z)極點按極點按Z變換定義變換定義z=esT一一對應一一對應 ；假設假設D(s)穩定，其極點位于穩定，其極點位于S左半平面，那么其左半平面，那么其D(z)必穩定，必穩定，極點位于極點位于Z平面單位圓內；平面單位圓內；D(s)與與D(z)零點不是按零點不是按 z=esT 一一對應的；一一對應的；D(s)與

5、與D(z)的頻譜不同；的頻譜不同；選擇不同的采樣周期選擇不同的采樣周期T，得到的，得到的D(z)不同，要滿足采樣定理。不同，要滿足采樣定理。5.2.2 堅持器等效法堅持器等效法 設計準那么：設計準那么：D(z)的階躍序列呼應，與的階躍序列呼應，與D(s)階躍呼應的采樣點的值一樣。階躍呼應的采樣點的值一樣。 由于具有零保的對象在單位階躍序列由于具有零保的對象在單位階躍序列 1*(t) 作用下的呼應，等于延續對象的階躍呼作用下的呼應，等于延續對象的階躍呼應，所以有：應，所以有： )()1()(1)(1ssDZzsDseZzDsT D(s)( 1 t)(tuD(z)( 1 t)(* tu)(*1t分

6、析堅持器等效法的特點：分析堅持器等效法的特點：D(s)與與D(z)極點按極點按Z變換定義一一對應變換定義一一對應 z=esT；假設假設D(s)穩定，穩定，D(z)穩定；穩定；D(z)與與T有關；有關；D(s)與與D(z)頻率特性不同；頻率特性不同；D(s)與與D(z)零點不是按零點不是按 z=esT 一一對應的。一一對應的。5.2.3 數值積分法數值積分法設計準那么：將設計準那么：將D(s)中的中的s用相應的用相應的s到到z的轉換關系代入：的轉換關系代入：)1()1(211 zTzsTzzsTzs梯形積分梯形積分后向矩形積分后向矩形積分前向矩形積分前向矩形積分。則則前前向向矩矩形形積積分分，s

7、TzTzs 1,11SZ1數值積分法闡明數值積分法闡明方方法法一一般般不不用用。可可能能不不穩穩定定，所所以以此此種種穩穩定定時時，對對應應的的平平面面映映射射，平平面面到到分分析析)()(zDsDZS。，則則后后向向矩矩形形積積分分，sTzTzzs 1112SZ1。平平面面對對應應一一個個圓圓其其在在時時，當當22222225 . 0)Im(5 . 0)Re(11111 zzZTTjTTjzjs 必必穩穩定定，可可以以使使用用。穩穩定定，所所以以)()(zDsD)1()1(22121)1()1(2,32/2/ zTzssTsTeeezzTzssTsTsT又稱雙線性變換：又稱雙線性變換：梯形積

8、分梯形積分SZ1S12/s 2/s 變變換換。一一一一對對應應的的之之內內；平平面面壓壓縮縮到到主主頻頻段段將將換換得得來來：此此變變換換可可看看成成由由兩兩次次變變ZezZSjsSTtgTSSZSSTjs1:2,22:1111 S左半平面與左半平面與Z平面單位圓一一對應，所以平面單位圓一一對應，所以D (s)穩定，穩定， D(z)必穩定。必穩定。)1()1()2/(00)()( zzTtgssDzD 改改進進的的雙雙線線性性變變換換為為線線性性變變換換。此此現現象象，可可采采用用改改進進雙雙頻頻率率失失真真，為為防防止止之之間間呈呈非非線線性性，會會產產生生與與由由于于1 。即即有有相相同同

9、的的頻頻率率特特性性，在在所所要要求求的的頻頻率率點點上上具具和和數數字字濾濾波波器器波波器器設設計計準準則則為為：使使模模擬擬濾濾TjezjszDsDzDsD00)()()()( 2)2/()1()1(2)1()1(200000TTtgAeTeAjzTzAsTjTj 修修正正公公式式為為5.3 匹配匹配Z變換又稱零極點匹配、變換又稱零極點匹配、根匹配根匹配 設計準那么：直接將設計準那么：直接將D(s)的零極點由的零極點由Z變換變換 z=esT 映射映射到到Z平面上，成為平面上，成為D(z)的零極點。的零極點。 niimiizniimiispzzzKzDpszsKsD1111)()()()()

10、()(aTatTjaTjaaTeTzezezezasjasjasezas202)()(20200cos2)()()(100 對對于于共共軛軛復復數數零零極極點點：對對應應實實數數零零極極點點有有： 留意，匹配留意，匹配 Z變換在如下情況下不宜采用：假設變換在如下情況下不宜采用：假設 D(s) 具有共軛復數零極點具有共軛復數零極點 s=j0 ，且其位于，且其位于S主頻帶之外，主頻帶之外，那么設計之那么設計之D(z) 將產生混疊。將產生混疊。值值相相等等。限限值值），在在采采樣樣點點上上的的響響應應的的終終值值（有有在在同同一一類類型型信信號號輸輸入入下下與與的的設設計計準準則則是是增增益益)()

11、(:2zDsDKz)()()1(lim)()(lim10zRzDzsRssDzs niimiimnzniimiisaTpzzzzKzDpszsKsDezazasazzzsZmnsDzmn1111)()()()()()(11)(0)1(、來來源源于于個個零零點點。處處有有在在實實軸軸處處，相相當當于于認認為為個個零零點點匹匹配配到到將將nmsD 分子分母不同階，分子分母不同階，)(. 2零極點匹配闡明：零極點匹配闡明：變變換換。，則則零零極極點點一一一一取取分分子子分分母母同同階階，znmsD )(. 1 niimiimnzniimiispzzzzKzDpszsKsDzzTszmn1111)()

12、()1()()()()()1(2)1(11)2(積積分分的的關關系系來來源源于于連連續續積積分分與與梯梯形形處處，個個零零點點匹匹配配到到將將之之頻頻率率響響應應相相同同。與與下下，頻頻率率與與某某一一采采樣樣周周期期確確定定的的準準則則為為：在在某某一一與與此此時時）（之之間間，個個零零點點匹匹配配到到將將)()()()()()()()()10()3(01111zDsDTKpzzzzKzDpszsKsDmnzniimiimnzniimiis 2221)()1()1()()1()()(TTTztkezzzTezDTeKtuku ，則則令令。變變換換求求用用匹匹配配已已知知例例)(,)1()(1

13、352zDZsssD 21)()1()(0)1(TzezzzKzDzmn 個個零零點點匹匹配配到到將將解解：1)(1)(0)(1)()()(lim)(20 ttsttussRtussRsDssRtu時時，當當時時，當當2121)1()()1()(0)(1)()()()1(lim)(TzkkzkeTKkuzTzsRkuzzzRzDzRzku 時時，當當時時，當當222221)()1)(1(2)1()(2)1()()1)(1()(1)2(TTTzTzezzzTezDTeKezzzKzDzmn 用用相相同同方方法法可可求求出出個個零零點點匹匹配配到到將將23221)368. 0()5272. 0)(

14、1(2828. 0)(5272. 0,2828. 005 . 0)1()()(11)()(1()()3( zzzzDKjjeDjDsTezzzKzDzzTjTz 時時，要要求求：匹匹配配到到 。，考考慮慮實實時時性性，取取按按經經驗驗取取，圖圖求求得得開開環環剪剪切切頻頻率率為為從從系系統統開開環環）選選擇擇采采樣樣周周期期（sTsradbodeTcsc015. 0106/5 . 51 控控制制系系統統。統統，設設計計相相應應的的數數字字已已知知一一連連續續閉閉環環控控制制系系例例145 5.4 系統設計例系統設計例ss1 . 0125. 018 25 . 2s410-405.5-40-208

15、6. 094. 02010)1()1(24)1()1(220)()()1()1(2 zzzTzzTzsDzDzTzs雙雙線線性性變變換換設設計計104201 . 0125. 018)()(2 sssssDzD）設設計計（。等等求求得得：階階躍躍響響應應采采樣樣點點終終值值相相與與由由變變換換設設計計匹匹配配1 .19)()(86. 0)94. 0()()(104 zzTTzKsDzDzzKezezKzDZ相相差差很很小小。計計的的很很小小，因因此此兩兩種種方方法法設設由由于于采采樣樣周周期期)(zDT的的動動態態特特性性。，要要求求接接近近于于連連續續系系統統，輸輸入入時時，穩穩態態誤誤差差制

16、制系系統統。要要求求在在設設計計數數字字控控已已知知連連續續對對象象特特性性為為例例15 . 001. 001. 0)()110(1)(245 nssradettrsssG 設計步驟：設計步驟：1 1確定確定D(s)D(s)12)(22222 sscbsassscbsassHnn 系系統統為為根根據據已已知知條條件件，設設閉閉環環01. 011 01. 0lim)(1)(lim01. 0)(22200 sscbsassssHssRettrssss時時則則 可為任意數可為任意數abcsscsbsass011)1()1()1(1lim12201110)()()()(,11)(2 sssGsHsHs

17、DsssHe則則可可取取。取取為為，按按經經驗驗公公式式取取sTscs12106 2 采樣周期T的選擇。圖圖得得第第二二種種方方法法：畫畫；令令第第一一種種方方法法，計計算算剪剪切切頻頻率率sradbodesradjGjDccc/1/786. 01)()(: 3679. 09048. 0)(1 . 0 zzKezezKzDzTTz3采用匹配采用匹配Z變換法離散變換法離散D(s)3679. 09048. 06397. 6)(6397. 63679. 09048. 01)1(lim11101lim)()(10 zzzDKzzKzzzsssszDsDKzzzsz因因此此準準則則求求取取階階躍躍響響應

18、應穩穩態態值值相相等等為為、以以4仿真檢驗仿真檢驗)9048. 0)(1()9678. 0(04837. 0)110(11)1()(1 zzzsssZzzGd)3679. 0)(1()9678. 0(3212. 0)()( zzzzGzDZd傳函：傳函：開環開環1)3679. 0()9678. 0(3212. 01 zszzK開開環環增增益益超超調調較較大大。，階階躍躍響響應應的的反反變變換換可可得得系系統統單單位位由由)(1)()(kyzzzHzY 01. 001. 001. 0)( sssKTettr時時的的穩穩態態誤誤差差為為：678. 00467. 1)968. 0(3212. 0)(

19、)(1)()()(2 zzzzGzDzGzDzHZdd傳傳函函：閉閉環環的的連連續續系系統統對對應應。，與與，其其極極點點9034. 0215. 055.508238. 02, 1 np %50 pM為為系系統統階階躍躍響響應應最最大大超超調調次次每每周周期期采采樣樣點點數數12. 755.50360 N5再設計再設計 重新選擇采樣周期。重新選擇采樣周期。次。次。的連續系統，的連續系統，相應于相應于，時，時，當當8 .22%,2414115. 076.15883. 078. 07 . 1)99. 0(0385. 0)()97. 0)(1()99. 0(00445. 0)(741. 0)97.

20、0(64. 8)(3 . 02, 12 NMpzzzzHzzzzGzzzDsTPnd 次次。的的連連續續系系統統，相相應應于于，時時，當當8 .13%,32975. 036. 008.268394. 0704. 05074. 1)983. 0(09914. 0)()9512. 0)(1()983. 0(0123. 0)(6065. 0)9512. 0(064. 8)(5 . 02,12 NMpzzzzHzzzzGzzzDsTPnd 5.5 數字數字PID控制控制sKsKKsEsUsDtedtdKdtteKteKtudaiapdatiap 1)()()()()()()(05.5.1 模擬模擬PI

21、D控制器的數學模控制器的數學模型型Proportional-integral-derivative regulatorPIDG(s)r(t)e(t)u(t)y(t)pKsKia/sKdae(t)u(t)模擬模擬PID控制器控制器+。效效，因因此此不不能能獨獨立立使使用用蕩蕩。其其只只在在瞬瞬態態過過程程有有和和較較強強烈烈的的振振可可有有效效抑抑制制過過大大的的超超調調微微分分環環節節sKda. 2比比例例環環節節一一起起使使用用。不不能能單單獨獨使使用用，必必須須與與性性變變差差，積積分分作作用用使使系系統統的的穩穩定定穩穩態態性性能能得得到到提提高高。但但而而使使系系統統的的提提高高系系統

22、統的的無無差差度度，從從積積分分環環節節sKia/. 3穩穩定定。降降低低，甚甚至至造造成成系系統統不不增增大大使使系系統統相相對對穩穩定定性性精精度度。但但差差，提提高高控控制制增增大大可可減減小小系系統統穩穩態態誤誤比比例例環環節節pppKKK. 1。之之處處是是放放大大了了噪噪聲聲信信號號分分作作用用不不足足，提提高高系系統統穩穩定定性性。微微的的增增益益，減減小小穩穩態態誤誤差差采采用用較較大大對對穩穩定定性性要要求求下下，容容許許在在保保證證系系統統具具有有一一定定相相，加加快快反反應應速速度度。比比可可增增加加控控制制系系統統的的阻阻尼尼 sKKdaP 5.5.2 數字數字PID控

23、制根本算法控制根本算法 根本算式分為位置及速率算式兩種。根本算式分為位置及速率算式兩種。TKKTKKkekeKjeKkeKTkekeKTjeKkeKkudadiaidkjipdakjiap ，式式中中，)1()()()()1()()()()(00向向差差分分。采采用用后后向向矩矩形形積積分分與與后后式式）位位置置算算式式（也也稱稱全全量量算算. 1)1(11)()()(11 zKzKKzEzUzDdippK)1/(1 zKi)1(1 zKde(kT)u(kT)+PID udte(kT)u(kT)u(kT)()1()()2()1(2)()()1()()1()()()1()()1()()(kuku

24、kukekekeKkeKkekeKkekeKkeKkekeKkukukudipdip )(. 2kuPID 調調節節器器輸輸出出速速率率算算式式（增增量量算算式式）闡明：闡明：就整個系統而言，這兩種算法無本質差別，就整個系統而言，這兩種算法無本質差別，只不過增量算法中，積分部分不是由計算只不過增量算法中，積分部分不是由計算機承當，是由系統中其它部分如步進電機承當，是由系統中其它部分如步進電機來實現。機來實現。增量算法與全量算法比，其優點是積分飽增量算法與全量算法比，其優點是積分飽和得到改善，使系統超調減少，過渡過程和得到改善，使系統超調減少，過渡過程時間短，也就是系統的動態性能比全量算時間短，

25、也就是系統的動態性能比全量算法有所提高。假設系一致直任務在線性區，法有所提高。假設系一致直任務在線性區，那么兩算法結果一樣。那么兩算法結果一樣。增量算式容易實現手動控制與自動控制的增量算式容易實現手動控制與自動控制的無憂切換。無憂切換。3. 積分飽和的影響積分飽和的影響 由于任何執行機構均有一線性范圍，即閥位有上、下由于任何執行機構均有一線性范圍，即閥位有上、下限而引起非線性。經過例如分析兩種算法純積分的輸出。限而引起非線性。經過例如分析兩種算法純積分的輸出。)()()()(0keKkujeKkuikji 增量算式：增量算式：全量算式：全量算式：例例5-5-1)()(5 .0)1(,2 .1,

26、5 .0,5 .1:maxkukykyupKi 的的單單位位階階躍躍響響應應。用用遞遞推推算算法法計計算算系系統統閥閥位位飽飽和和已已知知111 zKipzp 1r(k)y(k)u(k)無閥位限制無閥位限制1閥位限制、位置法閥位限制、位置法2閥位限制、增量法閥位限制、增量法30123456789101.51.410.870.700.841.031.101.060.990.9701.311.361.110.910.870.951.031.041.021.21.21.21.21.21.21.190.900.830.9200.60.91.051.121.161.191.191.050.941.21.

27、21.120.990.930.951.001.021.021.0000.61.051.091.040.990.970.981.001.01)()()()()()(332211kykukykukykuk051015200.511.52u(t)0510152000.511.5無閥位限制無閥位限制1閥位限制、位置法閥位限制、位置法2閥位限制、增量法閥位限制、增量法3y(k)5.5.3 數字數字PID控制的改良算法控制的改良算法 kjdilPkekeKjeKKkeKkuPID0)1()()()()(. 1控控制制算算法法積積分分分分離離度度。無無差差可可較較少少超超調調，又又可可增增加加不不但但內內時

28、時，引引入入積積分分環環節節。之之環環節節不不起起作作用用，偏偏差差在在分分為為門門限限值值，大大偏偏差差時時積積，式式中中AAAjeAjeKl )(0)(1)()1()()(11)()()()1()()2()1(2)()()1()()(. 211zYzKzYzRzKzYKzUkukukukykykyKkeKkykyKkuIPDdipdiP 算算法法明明顯顯的的優優點點。調調節節有有因因此此對對階階躍躍輸輸入入信信號號，統統動動態態特特性性得得到到改改善善。調調，從從而而使使系系變變化化過過大大而而產產生生大大的的超超變變時時不不致致于于使使有有關關，當當輸輸入入信信號號有有突突差差此此算算法

29、法只只有有積積分分項項與與偏偏IPDkuke)()( 111 zKi對象對象PK)1 (1 zKdr(t)u(t)y(t) maxmax0max20maxmax00000max3 . 05 . 02)1(2 . 1)5 . 0(6 . 0)(),1()()()(. 1hhKKLhKLhKhkykLkykyhkytydipi式式為為：則則高高橋橋參參數數整整定定經經驗驗公公采采樣樣點點之之間間最最大大差差值值：情情況況下下，找找到到相相鄰鄰兩兩個個或或）躍躍響響應應（或或稱稱飛飛升升特特性性在在已已知知連連續續對對象象單單位位階階高高橋橋參參數數整整定定公公式式5.5.4 PID參數整定參數整定

30、對對系系統統的的影影響響。，已已包包含含、確確定定TKKKdip3603. 0)2(22636. 01638. 02348. 02636. 00967. 00)(7589. 05951. 03603. 00967. 00)(43210110max ykhkhkyksT可可求求各各采采樣樣點點值值為為：）求求飛飛升升特特性性，對對應應解解：（略略）擴擴充充臨臨界界比比例例度度整整定定法法. 2確確定定參參數數。，用用高高橋橋參參數數整整定定公公式式已已知知連連續續對對象象特特性性例例sTssesGs1,)12 . 1)(15 . 1()(2553 . 0 9 . 114. 13 . 05 . 09 . 12)1(2 . 17725. 1)5 . 0(6 . 06332. 0)()2(maxmax0max20maxmax000 hhKKLhKLhKhkykLdipi，入入公公式式，求求得得：參參數數整整定定，將將相相應應值值代代。系系統統超超調調，的的一一組組參參數數反反復復試試湊湊，得得到到較較滿滿意意。響響應應，得得到到系系統統超超調調位位階階躍躍用用遞遞推推法法求求得得系系統統