1、專題4.4 萬有引力定律 考點精講一、開普勒行星運動定律(1)開普勒第一定律(軌道定律)：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上(2)開普勒第二定律(面積定律)：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內掃過相等的面積(3)開普勒第三定律(周期定律)：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，即k.二、萬有引力定律1內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比2公式：fg，其中g6.67×1011 n·m2/kg2.3適用條

2、件 (1)嚴格地說，公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點(2)均勻的球體可視為質點，其中r是兩球心間的距離一個均勻球體與球外一個質點間的萬有引力也適用，其中r為球心到質點的距離4計算星球表面(附近)的重力加速度g(不考慮星球自轉)：mgg，得g.5計算星球上空距離星體中心rrh處的重力加速度g：mg，得g.所以.6萬有引力與重力的關系(1)在赤道上f萬f向mg，即mggm2r；(2)在兩極f萬mg，即mgg；(3)在一般位置，萬有引力等于mg與f向的矢量和 考點精練題組1開普勒行星運動定律1關于行星運動的規律，下列說法符合史實的是( )a開普勒

3、在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規律b開普勒在天文觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律c開普勒總結出了行星運動的規律，找出了行星按照這些規律運動的原因d開普勒總結出了行星運動的規律，發現了萬有引力定律【答案】b 【解析】開普勒在前人觀測數據的基礎上，總結出了行星運動的規律，與牛頓定律無聯系，選項a錯誤，選項b正確；開普勒總結出了行星運動的規律，但沒有找出行星按照這些規律運動的原因，選項c錯誤；牛頓發現了萬有引力定律，選項d錯誤2關于開普勒行星運動的公式k，以下理解正確的是( )ak是一個與行星無關的量b若地球繞太陽運轉軌道的半長軸為r地，周期為t地；月球繞地球運轉軌道的半長軸為r月，周

4、期為t月，則ct表示行星運動的自轉周期dt表示行星運動的公轉周期【答案】ad 4關于行星繞太陽運動的下列說法中正確的是( )a所有行星都在同一橢圓軌道上繞太陽運動b行星繞太陽運動時太陽位于行星軌道的中心處c離太陽越近的行星的運動周期越長d所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等【答案】d 【解析】所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，但不是同一軌道，太陽處在橢圓的一個焦點上，故a、b錯；所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，離太陽越近的行星，其運動周期越短，故c項錯，d項對。5地球的公轉軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓。天文學家哈雷曾經在1

5、662年跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉半徑的18倍，并預言這顆彗星將每隔一定時間就會再次出現。這顆彗星最近出現的時間是1986年，它下次飛近地球大約是哪一年( ) a2042年 b2052年c2062年 d2072年【答案】c 【解析】根據開普勒第三定律有1876.4，又t地1年，所以t彗76年，彗星下次飛近地球的大致年份是1986762062年，本題答案為c。6(多選) 據報道，美國探測器成功撞擊“坦普爾一號”彗星，并投入彗星的懷抱，實現了人類歷史上第一次對彗星的“大碰撞”，如圖所示設“坦普爾一號”彗星繞太陽運行的軌道是一橢圓，其運行周期為5.74年，則下列說法中正

6、確的是( ) a探測器的最小發射速度為7.9 km/sb“坦普爾一號”彗星運動至近日點處的加速度大于遠日點處的加速度c“坦普爾一號”彗星運動至近日點處的線速度小于遠日點處的線速度d探測器運行的周期小于5.74年【答案】bd【解析】.要想脫離地球控制，發射速度要達到第二宇宙速度11.2 km/s，故選項a錯誤；根據萬有引力定律和牛頓第二定律ma，得a，可知近日點的加速度大，故選項b正確；根據開普勒第二定律可知，行星繞日運行的近日點的線速度大，遠日點的線速度小，故選項c錯誤；探測器的運行軌道高度比彗星低，根據開普勒第三定律k可知探測器的運行周期一定比彗星的運行周期小，故選項d正確7長期以來“卡戎星

7、(charon)”被認為是冥王星唯一的衛星，它的公轉軌道半徑r119 600 km，公轉周期t16.39天。2006年3月，天文學家新發現兩顆冥王星的小衛星，其中一顆的公轉軌道半徑r248 000 km，則它的公轉周期t2最接近于( )a15天 b25天 c35天 d45天【答案】b 【解析】根據開普勒第三定律，代入數據計算可得t2約等于25天。選項b正確。題組2萬有引力定律 引力常量1下面關于行星對太陽的引力的說法中正確的是( )a行星對太陽的引力與太陽對行星的引力是同一性質的力b行星對太陽的引力與太陽的質量成正比，與行星的質量無關c太陽對行星的引力大于行星對太陽的引力d行星對太陽的引力大小

8、與太陽的質量成正比，與行星距太陽的距離成反比【答案】a【解析】天體之間的引力是同一種性質力。2關于太陽與行星間引力的公式f，下列說法正確的是( )a公式中的g是引力常量，是人為規定的b太陽與行星間的引力是一對平衡力c公式中的g是比例系數，與太陽、行星都沒有關系d公式中的g是比例系數，與太陽的質量有關【答案】c 3在討論地球潮汐成因時，地球繞太陽運行軌道與月球繞地球運行軌道可視為圓軌道。已知太陽質量約為月球質量的2.7×107倍，地球繞太陽運行的軌道半徑約為月球繞地球運行的軌道半徑的400倍。關于太陽和月球對地球上相同質量海水的引力，以下說法正確的是( )a太陽引力遠大于月球引力b太陽

9、引力與月球引力相差不大c月球對不同區域海水的吸引力大小相等d月球對不同區域海水的吸引力大小有差異【答案】ad【解析】由萬有引力定律f可知，f，太陽與月球對相同質量海水的引力之比1.687 5×102，故a對，b錯；月球與不同區域海水的距離不同，故吸引力大小有差異，故c錯，d對。4假設地球可視為質量均勻分布的球體已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為t，引力常量為g。地球的密度為( )a b c d【答案】b題組3 利用萬有引力定律研究天體運動1(多選) 通過觀測冥王星的衛星，可以推算出冥王星的質量假設衛星繞冥王星做勻速圓周運動，除了引力常量外，至

10、少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質量這兩個物理量可以是( )a衛星的速度和角速度 b衛星的質量和軌道半徑c衛星的質量和角速度 d衛星的運行周期和軌道半徑【答案】ad 【解析】根據線速度和角速度可以求出半徑r，根據萬有引力提供向心力有m，整理可得m，故選項a正確；由于衛星的質量m可約掉，故選項b、c錯誤；若知道衛星的運行周期和軌道半徑，有m2r，整理得m，故選項d正確2把火星和地球繞太陽運行的軌道視為圓周，由火星和地球運動的周期之比可求得( )a火星和地球的質量之比b火星和太陽的質量之比c火星和地球到太陽的距離之比d火星和地球繞太陽運行的速度大小之比【答案】cd 【解析】由，得t2，則。由此

11、式可知c選項正確。由m，得v2，由此式可知d選項正確。3最近，科學家通過望遠鏡看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100倍。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數據可以求出的量有( )a恒星質量與太陽質量之比b恒星密度與太陽密度之比c行星質量與地球質量之比d行星運行速度與地球公轉速度之比【答案】ad4火星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，火星與太陽間的引力提供火星運動的向心力，已知火星運行的軌道半徑為r，運行周期為t，引力常量為g，太陽質量m為 。【答案】 【解析】設太陽質量為m，

12、火星的質量為m。火星與太陽間的引力提供向心力，則有，v。兩式聯立得m。題組4 星球表面的重力加速度1宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為m，半徑為r，引力常量為g，則飛船所在處的重力加速度大小為( )a0 bc. d【答案】b.【解析】飛船所受的萬有引力等于在該處所受的重力，即gmgh，得gh，選項b正確2火星的質量和半徑分別約為地球的0.1倍和0.5倍，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為( )a0.2 g b0.4 gc2.5 g d5 g【答案】b方法突破方法1 求解萬有引力的

13、方法詮釋：萬有引力定律公式只適用于兩個質點間的作用，或是兩個質量分布均勻的球體間的萬有引力作用，此處r指兩球心間的距離。若兩物體不是質量分布均勻點的球體且又不可看成質點，可用填補法、等效法、對稱法等方法解決。題組5 求解萬有引力的方法1（填補法）如圖所示，一個質量均勻分布的半徑為r的球體對球外質點p的萬有引力為f.如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r，則原球體剩余部分對質點p的萬有引力變為( ) a bc d【答案】c 【解析】利用填補法來分析此題原來物體間的萬有引力為f，挖去半徑為的球的質量為原來球的質量的，其他條件不變，故剩余部分對質點p的引力為ff。2（等效法）一個質量均勻分布的

14、球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d6r處有一質量為m2的質點，剩余部分對m2的萬有引力為 。 【答案】g 3（對稱法 等效法）假設地球是一半徑為r、質量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( )a1 b1c()2 d()2【答案】a【解析】如圖所示， 根據題意“質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零”，可知：地面與礦井底部之間的環形部分對放在礦井底部的物體的引力為零，設地面處的重力加速度為g，地球質量為m，由地球表面

15、的物體m1受到的重力近似等于萬有引力，故m1gg，再將礦井底部所在的球體抽取出來，設礦井底部處的重力加速度為g，該球體質量為m，半徑rrd，同理可得礦井底部處的物體m2受到的重力m2gg，且由mv·r3，mv·(rd)3，聯立解得1，a對。點評：萬有引力定律公式的使用必須滿足其使用的條件，而當條件不滿足時，要采用方法進行等效處理后方可用。 方法2處理雙星系統的方法詮釋：1.雙星系統的特點：(1)兩星都繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，故兩星的角速度、周期相等；(2)兩星之間的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力，所以它們的向心力大小相等；(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的

16、距離，即r1r2l。2. 雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即 m12r1m22r2。3. 雙星問題的兩個結論(1)運動半徑：m1r1m2r2，即某恒星的運動半徑與其質量成反比。(2)質量之和：由于，r1r2l，所以兩恒星的質量之和m1m2。題組6 處理雙星系統的方法1宇宙中兩個相距較近的星球可以看成雙星，它們只在相互間的萬有引力作用下，繞兩球心連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動根據宇宙大爆炸理論，雙星間的距離在不斷緩慢增加，設雙星仍做勻速圓周運動，則下列說法正確的是( )a雙星相互間的萬有引力不變b雙星做圓周運動的角速度均增大c雙星做圓周運動的動能均減小

17、d雙星做圓周運動的半徑均增大【答案】cd 2冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統，質量比約為7:1，同時繞它們連線點o做勻速圓周運動由此可知，冥王星繞o點運動的( )a軌道半徑約為卡戎的 b角速度大小約為卡戎的c線速度大小約為卡戎的7倍 d向心力大小約為卡戎的7倍【答案】a 【解析】設兩星軌道半徑分別為r1、r2，則m2r1m2r2。r1:r2mm1:7，選項a正確；由于雙星周期相同，由知角速度相同，選項b錯誤；線速度vr，知v1:v21:7，選項c錯誤；根據a2r知a1:a21:7，選項d錯誤。3. 2016年2月11日，美國科學家宣布探測到引力波，證實了愛因斯坦100年前的預測，彌補

18、了愛因斯坦廣義相對論中最后一塊缺失的“拼圖”.雙星的運動是產生引力波的來源之一，假設宇宙中有一雙星系統由a、b兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得a星的周期為t，a、b兩顆星的距離為l，a、b兩顆星的軌道半徑之差為r(a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑)，則( )a.b星的周期為tb.a星的線速度大小為c.a、b兩顆星的半徑之比為d.a、b兩顆星的質量之比為【答案】 b4經長期觀測，人們在宇宙中已經發現了“雙星系統”，“雙星系統”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統一般遠離其他天體。兩顆星球組成的雙星m1、m2，在

19、相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的o點做周期相同的勻速圓周運動現測得兩顆星之間的距離為l，質量之比為m1m232。則可知( )am1與m2做圓周運動的角速度之比為23bm1與m2做圓周運動的線速度之比為32cm1做圓周運動的半徑為ldm2做圓周運動的半徑為l【答案】 c【解析】 雙星系統在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的o點做周期相同的勻速圓周運動，角速度相同，選項a錯誤；由gm12r1m22r2得r1r2m2m123，由vr得m1與m2做圓周運動的線速度之比為v1v2r1r223，選項b錯誤；m1做圓周運動的半徑為l，m2做圓周運動的半徑為l，選項c正確，d錯誤。5研究發現，雙星系統在

20、演化過程中兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為t，經過一段時間演化后，兩星的總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則此時做圓周運動的周期為( )a.t b.t c.t d.t【答案】b 5. 宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統，其中有一種三星系統如圖3所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為l，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心o做勻速圓周運動，引力常量為g，下列說法正確的是( ) 圖3a.每顆星做圓周運動的角速度為 b.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關c.若距離l和每顆星的質量m都變

21、為原來的2倍，則周期變為原來的2倍d.若距離l和每顆星的質量m都變為原來的2倍，則線速度變為原來的4倍【答案】 c【解析】 任意兩星間的萬有引力fg，對任一星受力分析，如圖所示. 由圖中幾何關系和牛頓第二定律可得：fmam2，聯立可得： ，a2，選項a、b錯誤；由周期公式可得：t2 ，當l和m都變為原來的2倍，則周期t2t，選項c正確；由速度公式可得：v ，當l和m都變為原來的2倍，則線速度vv，選項d錯誤. 6. (多選)宇宙間存在一個離其他星體遙遠的系統，其中有一種系統如圖4所示，四顆質量均為m的星體位于正方形的頂點，正方形的邊長為a，忽略其他星體對它們的引力作用，每顆星體都在同一平面內繞

22、正方形對角線的交點o做勻速圓周運動，引力常量為g，則( ) 圖4a.每顆星做圓周運動的線速度大小為b.每顆星做圓周運動的角速度大小為c.每顆星做圓周運動的周期為2d.每顆星做圓周運動的加速度與質量m有關【答案】 ad【解析】 由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑ra，每顆星體在其他三個星體萬有引力的合力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：g2gcos 45°m2，解得v，角速度為 ，周期為t2，加速度a，故選項a、d正確，b、c錯誤. 方法3天體質量和密度的計算(1)自力更生法：利用天體表面的重力加速度g

23、和天體半徑r.由gmg得天體質量m.天體密度：.(2)借助外援法：測出衛星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期t.由gm得天體的質量為m.若已知天體的半徑r，則天體的密度.若衛星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑r，則天體密度，可見，只要測出衛星環繞天體表面運行的周期t，就可估算出中心天體的密度題組71(多選)1798年，英國物理學家卡文迪許測出萬有引力常量g，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人若已知萬有引力常量g，地球表面處的重力加速度g，地球半徑r，地球上一個晝夜的時間t1(地球自轉周期)，一年的時間t2(地球公轉周期)，地球中心到月球中心的距離l1，地球中心到太陽中心的距

24、離l2.你能計算出( )a地球的質量m地b太陽的質量m太c月球的質量m月d可求月球、地球及太陽的密度【答案】ab.【解析】對地球表面的一個物體m0來說，應有m0g，所以地球質量m地，a項正確對地球繞太陽運動來說，有m地l2，則m太，b項正確對月球繞地球運動來說，能求地球質量，不知道月球的相關參量及月球的衛星運動參量，無法求出它的質量和密度，c、d項錯誤2如圖所示是美國的“卡西尼”號探測器經過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道若“卡西尼”號探測器在半徑為r的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環繞n周飛行時間為t，已知萬有引力常量為g，則下列關于土星質量m和平均密度的表達式正確的是( ) am，bm，cm，dm，【答案】d 3. 到目前為止，火星是除了地球以外