1、2.2 2.2 橢橢 圓圓第一課時第一課時 2.2.1 2.2.1 橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程aMF1 F2 MOaOM 新課引入新課引入 在前面圓的方程中我們知道：平面內到一定點的距離為常數的點在前面圓的方程中我們知道：平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓的軌跡是圓. 那么，到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡又是那么，到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡又是什么呢？什么呢？數數 學學 實實 驗驗o(1)取一條細繩，取一條細繩，o(2)把它的兩端把它的兩端 固定在板上的兩固定在板上的兩 點點F1、F2o(3)用鉛筆尖用鉛筆尖 （M）把細繩拉）把細繩拉 緊，在板上慢慢緊，在板上慢慢 移動

2、看看畫出的移動看看畫出的 圖形圖形M觀察做圖過程觀察做圖過程(1)繩長應繩長應當大于當大于F1、F2之間的距之間的距離。離。(2)由于繩長固定，由于繩長固定，所以所以 M 到兩個定點的距到兩個定點的距離和也固定。離和也固定。F1F2（一）橢圓的定義（一）橢圓的定義o平面內到兩個定點的距離平面內到兩個定點的距離的和（的和（2a）等于定長（大）等于定長（大于于|F1F2 |）的點的軌跡叫）的點的軌跡叫橢圓。橢圓。o定點定點F1、F2叫做橢圓的焦叫做橢圓的焦點。點。o兩焦點之間的距離叫做焦兩焦點之間的距離叫做焦距（距（2C）。）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：橢圓定義的

3、符號表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1時，當2121FFMFMFMF1 F2 時，當2121FFMFMF概念辨析概念辨析小結（小結（1）：滿足幾個條件）：滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？的動點的軌跡叫做橢圓？（1）平面上）平面上-這是大前提這是大前提（2）動點）動點 M 到兩個定點到兩個定點 F1、F2 的距離之和是常數的距離之和是常數 2a （3）常數）常數 2a 要大于焦距要大于焦距 2CaMFMF221(2a2c)用定義判斷下列動點用定義判斷下列動點M M的軌跡是否為橢圓的軌跡是否為橢圓. .(1)(1)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(2,0)(2,0

4、)的距離之和為的距離之和為6 6的點的軌跡的點的軌跡. .(2)(2)到到F F1 1(0,-2)(0,-2)、F F2 2(0,2)(0,2)的距離之和為的距離之和為4 4的點的軌跡的點的軌跡. .(3)(3)到到F F1 1(-2,0)(-2,0)、F F2 2(0,2)(0,2)的距離之和為的距離之和為3 3的點的軌跡的點的軌跡. .是是不是不是是是 概念辨析概念辨析（二）橢圓方程的推導（二）橢圓方程的推導F1F2M基本步驟：基本步驟：（1）建建系系（2）設設點點（3）限限式式（4）代代換換（5）化化簡、證明簡、證明新知探究新知探究aMF1 F2 MaOM aMFMF22121FFxyx

5、yoo新知探究新知探究MF1 F2 xyo新知探究新知探究F1F2M0 xy解：以線段解：以線段F1F2中點為坐標原點，中點為坐標原點，F1F2所在直線為所在直線為x軸，建立平面直軸，建立平面直角坐標系，則角坐標系，則F1(-c,0)，F2(c,0)。設設M(x, y)，則，則 |MF1|MF2|2a,即即aycxycx2)()(2222將這個方程移項，兩邊平方，整理得將這個方程移項，兩邊平方，整理得兩邊再平方，得兩邊再平方，得a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2,整理得整理得 (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2),由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知 2a2c

6、 2a2c 即即 acac所以所以022 ca兩邊同時除以兩邊同時除以22ba12222byax得得0222bbca令令222222bayaxb得得12222byax叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在的焦點在x x軸上。焦點是軸上。焦點是F F1 1,0 , c,0 ,2cF222bac但但 如果使點如果使點21FF ,在在y y軸上，點軸上，點21FF ,的坐標分別的坐標分別, 01cFcF,02，a,ba,b的意義同上。的意義同上。那么方程為那么方程為12222bxay它也是橢圓的標準方程，它所表示的橢圓它也是橢圓的標準方程，它所表示的橢圓焦點是焦

7、點是, 01cF., 02cF的焦點在的焦點在y軸上。軸上。橢圓的標準方程橢圓的標準方程(一一) 0(12222babyax它表示：它表示：(1)橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上(2)焦點是焦點是F1（-C，0）,F2（C，0）(3)a2= b2 + c2F1F2M0 xy橢圓的標準方程（二）橢圓的標準方程（二）) 0(12222babxay它表示它表示:(1)橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸上軸上(2)焦點是焦點是F1（0，-C）,F2（0，C）(3)a2= b2 + c2 F1F2M0 xy1=169y+144x222）1=16y+25x122）答答:在在 x 軸上軸上(-3,0)和和(3,

8、0）答答:在在 y 軸上軸上(0,-5)和和(0,5）1=1+my+mx32222）答答:在在y 軸上軸上(0,-1)和和(0,1)判定下列橢圓的焦點在判定下列橢圓的焦點在 哪個軸上，哪個軸上，并指明并指明a2、b2，寫出焦點坐標，寫出焦點坐標.概念辨析概念辨析判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。例例1 1 寫出適合下列條件的橢圓的標準寫出適合下列條件的橢圓的標準 方程方程. .(1)a = 4 , b = 1, (1)a = 4 , b = 1, 焦點在焦點在x x軸上軸上. .(2)a = 4 ,

9、 c = ,(2)a = 4 , c = ,焦點在焦點在y y軸上軸上. .15(3)a + b = 10 , c = .(3)a + b = 10 , c = .52典例講評典例講評注意：注意：“橢圓的標準方程橢圓的標準方程”是個專用名詞，是個專用名詞，就是指上述的兩個方程，形式是固定的。就是指上述的兩個方程，形式是固定的。 （1 1）已知橢圓兩個焦點的坐標分別是）已知橢圓兩個焦點的坐標分別是（-2-2，0 0），（），（2 2，0 0），并且經過點），并且經過點 . .)23,25(典例講評典例講評（2）兩個焦點的坐標分別是（）兩個焦點的坐標分別是（0， -4 ）、（）、（0，4）橢圓上一點橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于到兩焦點距離的和等于10；求它的標準方程求它的標準方程例例2 2求橢圓方程的方法和步驟：求橢圓方程的方法和步驟：根據題意，設出標準方程；根據題意，設出標準方程；（根據焦點的位置設出標準方程）（根據焦點的位置設出標準方程）根據條件確定根據條件確定a,ba,b的值；的值；寫出橢圓的方程寫出橢圓的方程.形成結論形成結論即為先定位（定焦點位置），