1、文章編號：167 14860(2(X)5 )07-000()4)0文獻標志碼：八GIS中空間數船不確定性的混合嫡模型研究史玉峰史文中？靳奉祥-(I山東理I：大學建筑工程學院淄博市張店區張周路12號，25539)(2武漢大學地球空間環境與大地測試教育部巫點實於室.武漢市爐喻路129乃，430079)(3 香港理T.大學土地測秋與地理資訊系地球資汛科技研究中心.棄港九龍紅確)(4 III東科技大學校K辦公峑，育品市經濟技術干發X前灣港路579號.2665 10)摘 要：基于信息理論和模糊集合理論.針對G1S中部分空間數據既具有隨機性又具有模糊性的特點，建立 了空間數據不確定性的泯合煩模型，混合爛可

2、以度量空間數撼隨機不確定性和模糊不確定性的共同影響，以 GIS中線元不確定性為例，討論了線元不確定性的統計埔、模糊爛和混.合燔估計方法；并針對特例給出了線元 不確定性的埔帶分布。關鍵詞：不確定性；空間數據；混合爛；統計爛；模糊爛；線元中圖法分類號：文章編號：167 14860(2(X)5 )07-000()4)0文獻標志碼：八文章編號：167 14860(2(X)5 )07-000()4)0文獻標志碼：八收稿日期：2005-項目來源：香港特區資助項IK1.34.37.A222)；山東省肚礎地理信息與數字化技術唾點實憐室開放星金資助項H (SD2OO3-1O)空間數據的不確定性泛指空間數據所貝有

3、的 誤差、不精確性、模糊性和禽混性一般町分為: 位置不確定性、屬性不確定性、時域不確定性、邏 輯不一致性和數據的不完幣性，而空間數據特征 的不確定性是當今GIS學術界研究的主要問題 之一。II詢,空間數據不確定性研究主要集中在 位置不確定性的產牛、模熨和傳播方面。基于數 理統計理論，許多研究人員研究了 CIS中點位、 線元和面元的不確定性模型一其他有關貝 體研究見2 5。嚴格地說，基于信息爛的不確 定性模熨仍然屬于統計不確定，因為誤差嫡是基 于概率密度函數推導出來的，這電的誤差爛模型 是一種基于統計理論的不確定性模型。市于CIS中的一些空間數據常常同時具有 隨機性和模糊性，同時空間數據的采集和

4、處理過 程與信息傳輸模型極為相似，因此，基于信息論和 模糊集合理論，木文分別建立了空間數據位譽不 確定性的統計爛模型和屬性不確定性的模糊爛模 型,并將隨機性與模糊性綜合起來考慮，建立了空 間數據不確定性的混合埔模型。對于非明確定義 的地理現象，由于空間數據的模糊性和隨機性是 以連續體的形式存在的，因此混合爛更能體現氏 不確定性。1混合爛模型信息爛是信息論中的直要概念，它表示信源 的平均不確定性。對于取值離散的樣木空間 (信源)，X P ：| X： e , ei ； P( X) ： p , ，"，其中，“,為事件4出現的概率，且有 /> M0 ,I />. = 1,則II(

5、X)= e -= - y p.(i)為信源的信息爛。模糊爛是“模糊集合”理論中度量模糊子集模 糊不確定性的測度之一。許多學者對模糊爛的建 立方法進行了研究，提出了多種模糊爛模 型，2'U o在不考慮概率分布函數的情況下，De- luca和Termini提出的模糊爛模型為:/ ( .4 )二一A- V J JJl I ( X ) logpi < ( Xi ) +I 二 I(1 - |X< ( X. )log( 1 - p.I ( X. )1(2)這里，k是大于0的常數，常取k = lo在現實問題中，一個系統中可能既含有隨機 不確定性，又含有模糊不確定性。當這兩種不確 定性同時

6、存在時,Deluca和Termini提出一種測第3()卷第7期史玉蜂等：(；【S屮空間數據不確定性的混合爛模別研究5(x)= 一p(x)lnp( x) dx = lrrr2e (13)度來度量系統的統一不確定性，稱之為總爛(Ta tai enlropy)''，并定義為：= H,(A) + /( A)(3)式中,Hf ( 4)為系統的統計爛;Hj ( 4)為模糊爛。式(3)中的統計嫡和模糊爛是分別在概率空 間和模糊空間中計算的，它們之間沒有建立有機 的聯系。但實際問題中的隨機性和模糊性常常是 聯系在一起的，如GIS中土壤的分界線等I，氏 位置貝有隨機性，屬性貝有模糊性。因此，為了

7、統 一考慮由隨機性和模糊性所引起的總的不確定 性，應建芷一個由隨機空間(R)和模糊空間(n所 確定的共同積空間RX八這樣，表征系統隨機不 確定性和模糊不確定性的總分布隨數就足如卜一 個映射：j：Rx F->OJ(4)木文將隨機性和模糊性所產卞的總的不確定 性用混合爛HKR,F)來表示，它應滿足如F基本 條件:當模糊性消失時,£(R,F)退化為統計爛 模型；當隨機性不存在時,H、(R,F)則退化為模 糊爛模型?？紤]上述基本條件，根據Shannon爛和De- luca-Termini模糊爛模型，定義離散混合炳H、 (R,F)為:AHh (R, F) = - y | p.pL log

8、(+ I)i(1 -pijlog(p.(l -pi.)|(5)式中，各參數意義同式(1)和(2)。對式(7)進行分解，可得到：n»/a ( R, F)三-£ p- V I M-« logp- +(i - pL.)ig(i -+ £( i - “)m 1屮 +(1 - jjL.)lg(l - p.)(= H. + Hf - Hif (6)顯然，式(6)中右端H,、也分別是由式(1)和式 (2)所定義的系統的統計爛和模糊爛。定義Htf 為隨機性與模糊性的交叉爛，它町以看作隨機性 和模糊性的交叉影響，即AH、f - - y (1 - P') 從+(1

9、-4，山(1 - 卩)1(7)由式(6)可以看出，當系統為一明晰集合，即 從(兀)=| 0,1|，則式(6)就退化為統計爛模型；當 系統為一純粹模糊集合，即p(x) = l,則式(6)就 退化為模糊嫡模型。因此，混合爛可以看作系統 的統計爛利模糊爛的和減去它們之間的交叉爛。對于連續隨機分布和連續模糊分布的變呆， 定義混合爛為：H、(R,F)二-匚 p(兀加(01g| p(%加(兀) + p(x)(l -|i(x)lgi p(x)(l -dx(8)式中(兀)和p(*)分別為連續分布的模糊隸屬 度函數和概率密度函數。對式W式作變換，即Hd R, F) = - | = p( x)lgp( x)dx

10、- J卜(乂) lgpb( X)+ ( 1 - |JL(.r)lg(l - PL(%)! dx +(1 - p(x)|!i(x)lg|JL(x) + (1 -|i(x)lg(1 - pi(x)| dxHf(9)其中, »H、= - |_ p(x)p(x)dx(10) «fh = - J w 1 pL(.r)lgp,(.r) + (1 - |i(.r)lgd -4(%) dx(H) eHf 二- J H (1 - p(x) pi(x)lgpi( x) +(1 -4( x) )lg( 1 - p.( x) )j dx(12)顯然，式(10)是連續分布的統計爛，式(11)是連續

11、分布的模糊爛，而式(12)是連續隨機分布和模糊 分布的交叉影響，稱H,/為連續交叉爛 > 由式(6) 和式(9)可以看出，在由隨機空間和模糊空間組成 的聯合空間中，系統的總的不確定性(混合爛)等 于統計爛與模糊炳和再減去它們的交叉爛。2線元不確定性的混合爛模型GIS中的數據多是采用某于I標的模型進行 管理，這是一種常用的、標準的空間數據模型。LI 標模型認為，空間數據的分布可以用一組離散的 點、線和面來表示，它適合表征貝有明確定義的空 間實體。假設有一多邊形數據分類模型如圖1所 示，/1、為不同屬性地類，/為地類邊界線。分 界線的點位不確定性具有隨機性，且服從正態分 布，即其概率密度分布

12、函數為"(X)= 丄仆卩2rr(r;則由式(10)可以求得苴統計爛為：2(t圖1多邊形數據分類模型Fig. 1 Polygon Data Classing Model由式(13)可以看出，點位的統計埔的大小與點位分布的方差有關。根據文獻15,隨機點點位的 不確定性爛區間為：firntropy；(y « 2.066(14)這樣，區間(-2.066 4a 2 .066 4r)就是統計爛意 義下的點位誤差分布區間，在該區間中，集中了隨 機變量的主要不確定性信息，它是隨機不確定性 的客觀測度。假設在垂蟲于邊界線Z方向上,A、B兩類屬 性都為線性模糊分布，其隸屬函數和隸屬函數分 布分

13、別如式(15)和圖2所示，1,(x +(U )/2 a ix< ( x)=(厶一兀)/2厶.0,0,(仏一 x)/2(12 , 小兀)=(Zb + x)/2bt tx < ai“ W 第 W ()()W x W kxhx < (tlm W 尤 W () ()W x W h(15) 即在分界線/上其模糊性最大，隸屬函數值為 ().5；隨著離邊界線/距離的增大，其模糊性逐漸 減小，直至最大隸屬度1或最小隸屬度()。圖2屬性仏的模糊隸屈函數分布Fig.2 Fuzzy M rmbrrship b un(ation Distributions of(Category A and B i

14、n t he Res perli e Sides of Boundar則由式(11)可以計算其模糊爛：Hf(A)=(厶 -“ )/2(16)H/(B) = (/t -仗)/2(17)由式(16)、式(17)nf以看出，線性模糊分布函數的 模糊埔僅與分布區間有關，苴大小等于分布區間 K度的一半。根據模糊埔的可加性，則由模糊不 確定性所產生的總模糊爛為：H< = | ( /j - a ) + (/t - tn )| /2由式(12)可以得到隨機性和模糊性交叉影響所產 生的交叉爛為：H" = - f (1 - p( x) )| pi.4 ( x)lgpi4 ( x) +(1 一 Jl

15、i ( x) )lg(l - in ( x)(l.r - |a (i - "(Q) | |X« ( X)lgJJL« ( X)+ (1 -( X)lg(l -( X)! (lx(18)式(18)無法用符號代數式表示只能在已知積分 區間的情況下用數值積分求出其近似數值。現假設位置不確定性概率密度函數為標準正 態分布，即。二土 1;屬性模糊隸屬函數相同 且為對稱分布，令5=5 = - 1,厶=11 = 1 ;則統 計爛 H、=ln 2m « 1 .418 9,模糊爛 H, =2()采 用Matlab數值積分工具計算式(18),得H" 0.720 5

16、；則混合爛為：H*R, F) = 1 .418 9 + 2 - 0 .720 5 = 2.698 4 市式(14) nf以求得線元統計爛、模糊爛和混合爛 不確定性爛帶半徑分別為2.006 3,3 .694 5和5. 6167；圖3給岀了以統計嫡、模糊爛和混合爛為 半徑的線元不確定性分布情況。圖3線元的隨機煩帯、模糊爛帶和混合炯帯Fig .3 Statistic Entr(屮y Band , Fuzzy Entropy Bandand Hybrid Entropy Band of Line Segment3結語木文僅考慮了(;is中空間數據同時含有隨 機性和模糊性的情況下，不確定性混合炯模型的

17、建立,但空間數據町能還同時含有其他的不確定 性，如灰性和時域不確定性等，如何估算這些情況 下空間數據的不確定性還有待繼續研究。參考文獻1 Goodcliild M F Geographical Infor (nation Science. International Journal of Geographical Information System, 1992(6)-31* 462 Cheung C K. Shi W Z. Zhou X. A Probability-based I ncerlaintv Model for Point-in-polygon Analysis in (；1S.

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