1、2021年山東省青島市高三上學期期末考試理科數學試卷學校:姓名：班級：考號：一、單選題1. 已知集合A = y|y = lnx,x>l, B= y y= -,x>，則()A. - x 0<x< - B. xpvxvl C. < x <x< 1 D. 0J丿2. 2.若復數二i是純虛數，則實數。的值為1 + 2/A. 2 B. 一丄 C. -2 D. 123. 圓(x-1)2 +/ = 1和圓疋+ y2 + 2x + 4y 4 = 0的位置關系為A.相交 B.相切C.相離 D.以上都有可能4. 已知函數心)=腫,則函數y*(x+l)的大致圖象為5. 下列

2、命題： k > 4是方程F +y2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0表示圓的充要條件； ftly = sinx的圖象向右平移扌單位，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的?得到函數y = sin(2x 一暫)的圖象： 函數f(x) = sin(2x + f)0, &上為增函數； 橢圓音+手=1的焦距為2,則實數m的值等于5.其中正確命題的序號為A. B. C. D.6. 若圓臺兩底而周長的比是1:4,過高的中點作平行于底面的平而，則圓臺被分成兩 部分的體積比是()D. 39:129A. 1:16B. 3:27C. 13:1297. 執行如圖的程序框圖，則輸出$的值為()

3、D. -128. 函數/(x) = ln(x + l)-的零點所在的區間是()D. (3,4)A. (0,1)B. (1,2)C. (2疋)9僅位同學參加測試，假設每位同學能通過測試的槪率都咼且各人能否通過測274B.-9C.D.19?7試是相互獨立的，則至少有一位同學能通過測試的槪率為10. 已知函數/ (x) = -X3 + ax1 + 2bx + c有兩個極值點召宀， 則直線加-(a_l)y + 3 = 0的斜率的取值范圍是 2 2、B.23C.f 2 M n( 2)f 2DidkJ,+oQ5 3丿< 52丿5 2)A.二. 填空題11. fx2-的展開式中的常數項是 X)12.

4、當a > 0且a工1時，函數f(x) = loga(x - 1) + 1的圖像恒過點4,若點4在直線mx-y+n = 0上，貝Ij4m + 2n的最小值為13. 兩曲線x-y = 0, y = x2 - 2x所圍成的圖形的而積是14. 若數列"”的通項公式為an = /（“ 已 N"）,記f （町=（1 一4 ）（1 一）（】一"”），試通過計算S + 1）/（1）,/（2）,/（3）的值，推測岀/（”）=.2 215. 已知雙曲線的方程為二一= 1（6/>0上>0）,雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為、一（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離

5、心率e為3三. 解答題6已知直線兩直線厶：xcosa + £y-l = 0：厶：y = xsin Q +彳 AABC中，內角A, B,C對邊分別為a,b,c, a = 2屈c = 4,且當q二A時，兩直線恰好相互垂直：（I）求A值；（II）求b和AABC的面積17.下圖為某校語言類專業N名畢業生的綜合測評成績（百分制）分布直方圖，已知8090分數段的學員數為21人.（II現欲將90 -95分數段內的6名畢業生分配往甲、乙、丙三所學校，若向學校甲分配兩爼畢業生，且英中至少有一名男生的槪率為,求九名中業生中男、女各幾人（男、 女人數均至少兩人）.（III）在（II）的結論下，設隨機變量&

6、#167;表示n名畢業生中分配往乙學校的三名學生中男生的人數，求§的分布列和數學期望E（C18.如圖，ABCD 為梯形，加丄平而 ABCD. AB/CD, ZB4D二ZADC=90DC = 2AB = 2a,DA = y/3ayPD = >/3a , E 為 BC 中點，連結 AE,交 BD 于 O.(I) 平而F3D丄平而PAE(ID求二而角D-PC-E的大小(若非特殊角，求出其余弦即可)19. (本小題滿分12分) 已知S”是等差數列©的前n項和，數列化是等比數列，勺=丄心一1恰為$4與丄的2 b、等比中項，圓C:(A-2n)2+(y-,/)2=2/r,直線/:x

7、+y = ”，對任意” e/V ,直線/都與圓c相切.(I)求數列©,$的通項公式:(II) 若幵=1 時，q = 1 + +，” n 21甘，c” =+ . + -p,cn的前n項+ 1 - + 2S乞-殆仇和為匚，求證：對任意“2 2,都有人>巴+1220. (本小題滿分13分)已知g(x) = bx2 +cx + l,/(x) =x2 + ax + lnx + 1,(%)在x = 1 處的切線為y = 2x(I) 求b,c的值；(II) 若a = -1,求/(x)的極值：(III) 設h(x) = /(%) - g(xt是否存在實數a,禺W(0,e, (e兀2.718,為

8、自然常數) 時，函數h(x)的最小值為3.21. (本題滿分12分)已知拋物線C1：y2 = 2px±一點M(3, y°)到其焦點F的距離為4： 橢圓C2：石+音=l(a > b > 0)的離心率° =容，且過拋物線的焦點F.(1)求拋物線G和橢圓C?的標準方程;（2）過點F的直線人交拋物線CA . B兩不同點交y軸于點M已知麗=久喬，NB = “麗，求證：A + n為左值.（3）直線仏交橢圓C2于P，Q兩不同點，P, Q在尤軸的射影分別為P'，Q',C）P-OQ+oP- 莎+1 = 0,若點S滿足：OS=OP + OQ，證明：點S在橢

9、圓C2上.參考答案1. A【分析】利用對數函數和指數函數的單調性求出集合A、 B,然后利用交集的立義求出集合AQB.【詳解】由于函數 y = lnx 為增函數，當 X>1 時，貝 iJlnx>lnl = O> /. A = y|y >0.aX為減函數，當兀>1時，則OvJ, .gyo < v < 1.2；22函數y =因此，Ar>B = < x 0<x<- 故選A.【點睹】本題考査集合交集的運算，同時也考査了指數函數和對數函數的值域，考查計算能力，屬于基礎題.2. C a + 2 =0 => tz = -2；應選 C. 考

10、點：復數的運算.【解析】試題分析：因為応=3+Q(l_2i)"(1+21X1-20匕丁是純虛數,所以3. A【解析】 試題分析：由題意可得：兩圓的圓心分別為O|(l,0), Q(1l2)，則兩圓心的距離為2邁、所以lcQiQlv 4所以應選A.考點：圓與圓的位置關系.4. D【解析】試題分析：當X>1時，f(x)=e = x，其圖像為一條直線；當0VHC1時，f(x) = e=-f所以函數y =V(x+l)的圖像為函數y = fM圖像向左x平移1個單位長度后得到的，故選D.考點：函數圖像變換.5. D【解析】 試題分析：方程/ + y2 + 2kx + 4y + 3k+8 =

11、0表示圓應滿足(2貯+16-4(318卜0 =上4或故錯誤：把尹=sinx的圖象向右平移f單位, 再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的?得到函數y = sin(2x-扌)的圖象故 正確：由解析式可知：函數在0.12,上是減函數,所以f錯島橢圓號+斗"的焦距為2,所以朋一 4=】或4 一用=1,所以m=3或匚 所以錯誤，故應選D.考點：命題貞假的判斷.6. D【分析】x r i 根據條件分別設上、下底而半徑分別為r,4r,截而半徑為x,圓臺的高為2h,則有 一=- 3r 2從而尋求到x與r的關系，再由圓臺體積公式求解.【詳解】由題意設上、下底而半徑分別為r, 4r,r r j截而半徑為x

12、,圓臺的髙為2h,則有一=-,3r 25x = r.2y -W2+rx + x2) 、 _2"下 |(x2+4rA + 16r2)129故選D.【點睹】本題主要考查圓臺的結構特征及體積的求法，是常考類型，屬中檔題.7. B【解析】 試題分析：模擬執行程序框圖，可得s = 2,k=0,滿足條件kv2016,s = l,k = l：滿足 條件<2016,5 = 1 = 2；滿足條件A:< 2016,5 = 2 = 3：滿足條件2kv2016,s = 1,=4：滿足條件kv2016,s =丄,k=5：觀察規律可知，$的取值以 23為周期，由2015 = 3x671 + 2,有滿

13、足條件k<2016, 5 = 2, £ = 2016,不滿足條件£<2016,退出循環，輸出$的值為2,故選B.考點：程序框圖.8. B【分析】“ z 、 2函數/(x) = In(x + l)-一的零點所在區間需滿足的條件是函數在區間端點的函數值符號相 A反.【詳解】解：V/(l) = ln2-2<ln2-2 = 0,/(2)= ln3-l>In-l=0,則 / /(2) < 0,、 z 2函數/(x) = ln(.r + l)-一的零點所在區間是(1,2),2當x>0t 且x-»0時，/(x) = ln(x+I)-<0

14、X .2 2/=ln(f+1)-二 > 1心一一> 0 ,ee、22/(3)= In(3 +1)> In e > 0 >z、21/(4) = ln(4+l)>ln>0 >4*2ACD中函數在區間端點的函數值均同號，根據零點存在性左理，B為正確答案.故選：B.【點睛】本題考査函數的零點存在性立理，連續函數在某個區間存在零點的條件是函數在區間端點處的函數值異號.9. D【解析】試題分析：由題意可得：3位同學都沒有通過的槪率為=,所以至少有一位同學能13 丿 27819通過測試的概率為1-=>故答案為D.2727考點：獨立重復試驗.10. A【解

15、析】試題分析：由題意可得：fx) = x2+2ax+2b,因為/(x)有兩個極值點x,x2,所以f(x)有兩個零點，因為一 1<比<1<吃<2,所以一lv-a<2>-2<a</ (l) = 2d + 2Z? + l>0 / (-1) = -2“ + 2方 + 1>0=>2。-”-1 vO /(2)= 4。+ 2/? + 4>0=> 2a + b + 2>0,又是可行域中動點M(/b)與泄點£>(1,0)連線2 253；的斜率，最大值為k =才 最小值為所以直線加(d l)y+3 = 0的斜率的取

16、值范囤是考點：導數的應用.11. 15【解析】=c；（-iy嚴,所以試題分析：展開式的通項為：7；t=C；（/廣一丄 展開式中的常數項是C：（-1）4 = 15考點：二項式泄理的應用.12 2d【解析】試題分析：由題意知函數V = /W過點（2J） 鏟 + 2” > 2如2” =272 =2血 所以鏟十2”的最小值為2近.考點：對數函數的圖像及其性質：基本不等式13. ?2【解析】試題分析：由題意可得：兩曲線x-y = 0,y = x2-2x所圉成的圖形的而積是 試題分析：由題意可得：= 4* /二(1_亦.1_6)二斗x?二匚二;，_2蝕=（32加=（討討"【解析】44 93

17、6/(3)=q-坷Xi-6Xi-6)=#xA|j=+，所以由此可得/何二守呂.考點：數列的通項公式.!5, 12【解析】試題分析：由題意可得：雙曲線的漸近線方程為，=所以雙曲線的一個焦點到一條 a漸近線的距離為_J"L 亠膽",即b = -4c2=9cre = -.c32考點：雙曲線的立義及性質.16. (I) A = -； (ID b = 2, 2苗3【解析】 試題分析:(I)根據兩直線相互垂直可得k.k2 =(-2cosA)sin(/l + -) = -l ,整理可得6cos A sin(A + ) = ,6 2由此可得A =彳；(II)由余弦定理可得“2 =b2+c2

18、- 2加cos彳，所以(b-2)2= 0即b = 2, 由而積公式可得Swc =丄Z?csin A = x4x2sin = 2>/3 .223試題解析：(【)當a = A時，直線人：xcosa + y-l=0;人：y = xsin(a + ?)的斜率分別2 6為=-2cosA2=sin(A + -),兩直線相互垂直 6所以 R禹=(-2cos A)sin(A + ) = -16即 cos A sin(A + ) = 6 2可得 cos A(sin A cos + cos A sin )=6 6 2所以sinAcosA + -cos2A = - 所以逅sin2A +丄(H4)=丄22242

19、22 即sin2/l+1 + CO-2/A =12 2即sin(2/l +蘭)=丄4分6 2因為OvAv/r, 0<2A<2> 所以-<2A + -< 6 6 6所以只有2A + - = 6 6所以A = 6分3(II) a = 2>/3, c = 4,4 =, 所以/ =b2 +c2 -2Z?ccos 3 即 12=滬+16-丄 x8b2所以(2)2=0即b=29分 所以 MBC的面積為SMBC = -Z?csin A = -x4x2sin- = 212 分.223考點：兩直線的位置關系、余弦左理及面積公式.917. (I) 6； (II) 6名畢業生中有

20、男生2人，女生4人：(III) 5【解析】試題分析：(【)從頻率分布直方圖可知80 -90分數段的畢業生的頻率為§ = (0.04 + 0.03) X 5 = 0.35,而此分數段人數為21人，因此總人數可得，再由頻率分布直方圖可得90 95分數段的頻率，從而得到此分數段人數；(II)至少有一名男生的反面是全是女生，因此 可設男生有x人，女生有6-x人，則害=1_,由此可求得尤：(III)由(1【)知6人中男Cg5生有2人，因此§的取值可以為：0,1,2,由古典概型概率公式可計算出各概率，得分布列， 再由期望公式可計算出數學期望.試題解析：(【)80 90分數段的畢業生的頻

21、率為B = (0.04 + 0.03) X 5 = 0.35, 此分數段的學員總數為21人，所以畢業生的總人數"二旦 =60035P2 = 1- (0.01 + 0.04 + 0.05 + 0.04 + 0.03 + 0.01) X 5 = 0.1, 所以90 95分數段內的人數n = 60X 0.1 = 6.(II)90- 95分數段內共6軻畢業生，設其中男生尤名，則女生6x名.設分配往甲校的兩名畢業生中至少有一名男畢業生為事件 力，則P=1 一罟=右解得 = 2或9（舍去），即6名畢業生中有男生2人，女生4人.（III）§表示九名年業生中分配往甲學校的兩名學生中男生的人

22、數, 所以f的取值可以為：0,1,2.當§ = 0時,P（f = 0）=善=壬;當f = 1 時，p（e = i）= = |：當§ = 2時，P« = 2） = = |.所以f的分布列為012P(f = k)153515171£（/） = 0x- + lx-+2x- = l所以隨機變量§的數學期望為 555.考點：頻率分布直方圖，隨機變量概率分布列，數學期望.18. （1）見解析；（2） 至4【分析】試題分析：（1）證明兩個平而垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡單記為“證面而垂直， 找線面垂直”，是化歸思想的體現，這種思想方法與空間中的平行

23、關系的證明類似，掌握化 歸與轉化思想方法是解決這類題的關鍵：（2）作二而角的平而角可以通過垂線法進行，在一 個半平而內找一點作另一個平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確左的平 而和二而角的棱垂直，由此可得二而角的平而角.試題解析：（I ）ZBAD = Z.4DC = 90s，Pt-f（xt,-x） =一0,所以 BD = DC = BC = 2a,E 為 BC 中點，所以,DE = y/3a = AD.因為 48 = BE = a, DB = DB,所以ZMB與ZHB為全等三角形，所 UZADB = ZEDB,所以與為全等三角形，所以在zVMB中，= 即DO丄AE，又因為PD丄平

24、而DAO.PD丄平而4AO、所以DO丄AE ,而 BDf)PD = D,所以P£丄平而PBD,因為加丄平而PBD,所以平而ABCD平而PBD,(II)以0為原點，分別以D4D5DP所在直線為AEu軸,建立空間直角坐標系如圖:二而角D-PC-B即二而角DPCB、"Z平面平而x9y9z的法向量可設為z?j =(1,0,0),設平而DPC的法向量為n2 =(x,y,l)，就=0所以 2 _ ，而 B(血4,0),<7(0,240),卩(0,0辰),n PC = 02BC =(-屈,e 0), PC = (0,2a.-y/3a),-3ax + ay = 0一 i、只lay -

25、 yJ3a =02 2即:廠，可求得$=（丄，止Hj =(1,0,0),所以兩平而忑”乙與平而DPC所成的角的余弦值考點：空間幾何的位置關系.:（2）見解析.19. (1) aH = 2n 1, hfi =【解析】試題分析：（1）給岀S”與的關系，求°”，常用思路：一是利用=a（fi>2）轉 化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為S”的遞推關系，先求出S”與“的關系, 再求6：由S”推色時，別漏掉"=1這種情況，大部分學生好遺忘；（2）般地，如果數列 ©是等差數列，仇是等比數列，求數列a-bn的前川項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比

26、數列仇的 公比，然后做差求解：（3）利用不等式放縮時掌握好規律，怎樣從條件證明出結論.試題解析：（I ）圓C:（x-2m）2 + （y-7）2 = 2«2的圓心為（加,應,半徑為J刃，對任意 neN*,直線l:x+y = n都與圓C:（x-2n）2 +（y-辰丫 = 2屛相切.所以圓心（2/7,州）到直線l-.x+y-n = 0的距離d為血i所以d = + 辱-"I = 血得屁="所以Slt=n2, neN*當 =1時，勺=S = 1當n>2時，an = S廠5- =一(77一I)2 = 2/7一 1 綜上,對任意 / e N an = S” 一 S_ =

27、2n-1 設等比數列0的公比為q,所以b” =bxqn-x=-q,t-x25 1恰為3與卜的等比中項（"廠©仇=丄§,所以2（9_1）2=64 = 6乂丄,解得0 =丄1 2所以II>2時“r ''2''八 2八 v2"+l227'v22 +1'22 +24_22+3 + )+z 1 1 1、2心+12心+22"廠、"卜111111"2心+12心+2T T TTn =Cj +c2 + . + cn =(! + ) + (+ ZT)+(R1 1一 + -2“10分2”一(2

28、心_1) + 1_2心 _丄212分所以 7>q+°+.+”>1 + * + * + . + 養1 +扌考點：等差.等比數列的性質及應用.20. (I) =1C=O； (H) y 侈於=f(l) = I ( HD a =e2【解析】 試題分析：（1）根拯&&丿的解析式求出函數的導函數，由條件可得2b = 2, g（l） = 2,進 而可得出乃=1工=0（2）根據題意可確泄函數的解析f（x） = x2-x-lnx + l,進而求導、 列表判斷函數的單調性，得出函數的極值；（3）列出函數的解析式求岀導數，然后對G分類 討論結合函數的單調性判斷是否存在這樣的值.

29、試題解析：(【0(%) = 2bx + c在x = 1處的切線為y = 2%所以 g'(x')x=1 = 2,即 2b = 2又在兀=1.處y = 2,所以g(l) = 2所以沁屛啓穿何惑鳥所以g(x) = x2 + 13 分 (II)a = -1 時f(x) = x2 -x -lnx + 1,定義域為(0,+co)/z(x) = 2% - 1 -=2%2 - %- 1 (% - 1)(2% + 1)XXX(0,1)1(1，+8)yf0+y極小值/(I)可以看出，當咒=1時，函數f (x)有極小值y極小=/(I) = 18分(III)因為f (%) = x2 + ax - ln

30、x + 1 ,<?(%) =x2 + l所以吃)=f(x) - g(x) = x2 + ax-nx+l- (x2 + 1) = ax-lnx假設存在實數4，使h(x) = ax - lnx(x G (0, e)有最小值3, hr(x) = a _ £9 分 當a < 0時，hx) < 0,所以/l(x)在(o,e上單涮遞減，h(x)min = h(e) = ae - 1 = 3,a = ?(舍去)10 分 當a > 0時.竺立X當0 V a S扌時，右> e, F(x) < 0在(0,e上恒成立所以h(x)在(0,e上單調遞減，h(x)min =

31、h(e) = ae - 1 = 3,a =(舍去)11 分(ii)當a >；時.0 <；<e,當0 V% V扌時川(咒)< 0所以力仗)在(。<)上遞減 當<%< 時於(力> O.h(x)在&£)上遞增 所以,h(x)min = h() = 1 + Ina = 312 分 所以a = &2滿足條件，綜上，存在a=e2fo6(0,e時有最小值313分考點：函數及英導數性質的應用.21. (I)拋物線G的方程為：產=依：橢圓的標準方程為號+ g=l (II)見解析；(III)見 解析.【解析】試題分析：(1)因為M(3, y°)到其焦點F的距離為4,根據焦半徑公式可求出p = 2,可得拋物線G的方程，再由橢圓C2：音+著=l(a>b>0)的離