1、二項式定理二項式定理二項式定理二項式定理帕斯卡三角形帕斯卡三角形翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 1/22二項式定理二項式定理p.113 p.117302203 1 3 3 1x yx yxyx yxxx排列數排列數xxy排列數排列數yyy排列數排列數xyy排列數排列數 33223() 3 3 xyxx yxyy302112033!3!3!3!3!0!2!1!1!2!0!3!x yx yx yx y3303213123030123 c x yc x yc x yc x y翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 2/22二項式定理：二項式定理：即即二項式定理二項

2、式定理nnnnnnn kkknnnxyc x yc xyc xy c x y011010() nnnn kkkkxyc xy0() p.113 p.117翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 3/22利用二項式定理展開下列各式：利用二項式定理展開下列各式：(1) 。 (2) 。1p.114xy4() xy4() (1)(2) xyc x yc x yc x yc x yc x yxx yx yxyy444043142241340401234432234()464 xyxyc xyc xyc xyc xy c xyxx yx yxyy44440431422413012340444

3、32234()()()()()()()464 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 4/22(1) 試求試求 的展開式。的展開式。(2) 試求試求 的展開式。的展開式。2p.115ab5(32 ) nx(1) (1)(2)ababcacabcab cabcabcbaa ba ba babb555554153201252351455345543 22 345(32 )(3( 2 )(3 )(3 ) ( 2 )(3 ) ( 2 )(3 ) ( 2 )(3 ) ( 2 )( 2 )243810108072024032 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxcxcxcxcxcc xc

4、xc x0111100111011(1)1111 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 5/22(1) 試求試求 展開式中展開式中 項的系數。項的系數。3p.115xy6(2) x y33(1) 由二項式定理知由二項式定理知 展開式中的項形如展開式中的項形如要求要求 項的系數，故項的系數，故 此項為此項為故所求系數為故所求系數為160kkkkkkkkcxycxy66666(2 )()2( 1)xy6(2) x y33cxyx y633333332( 1)160 k3 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 6/22(2) 試求多項式試求多項式 除以除以 的余式。的

5、余式。3p.115xx29(22)x3(1) (2)故所求余式為故所求余式為xxxcxcxcxcx cxcxcxcx cxc292991891694920178993915913901792989(22)(1)1)(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1) cxcxx929289(1)91810翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 7/22利用利用 的展開式求的展開式求 近似值。近似值。(四舍五入取到小數點后第五位四舍五入取到小數點后第五位)4p.116x5(1) 5(0.998)由二項式定理知由二項式定理知故故后面三項數值太小，不會影響小數前五位后面三項數值太小

6、，不會影響小數前五位故只取前三項并取到小數點后第故只取前三項并取到小數點后第 5 位得位得 0.99004xxxxxx52345(1)1510105 55234545(0.998)(10.002)15 0.00210 (0.002)10 (0.002)5 (0.002)(0.002)10.010.000040.000000085 (0.002)(0.002) 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 8/22試證明：試證明： 。5p.117解法一解法一將二項式定理將二項式定理 中中令令 xy1 代入，即得欲證之等式代入，即得欲證之等式nnnnnnnnnnxyc xc xyc xyc

7、 y122012()nnnnnncccc0122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 9/22試證明：試證明： 。5p.117nnnnnncccc0122解法二解法二考慮以下問題：一列考慮以下問題：一列 n 個方塊，每個可以涂黑色或白色，個方塊，每個可以涂黑色或白色，有幾種方法？有幾種方法？可以有兩種算法：可以有兩種算法：(1) 由左至右涂，每個方塊可以是黑色或白色，故有由左至右涂，每個方塊可以是黑色或白色，故有 2n 種方法種方法(2) 按照有幾個黑方塊來分類，黑方塊可以有按照有幾個黑方塊來分類，黑方塊可以有 0，1，2， ，n 個。若有個。若有 3 個黑方塊就有個黑方塊就有

8、 種方法種方法因此，一共有因此，一共有 種方法種方法(1)、(2)是算同一個問題，答案必須要一樣是算同一個問題，答案必須要一樣因此因此nc3nnnnncccc012nnnnnncccc0122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 10/22帕斯卡三角形帕斯卡三角形(楊輝三角形楊輝三角形)：觀察帕斯卡三角形可以看出：觀察帕斯卡三角形可以看出：(1) 數字呈現左右對稱，且兩端的數都是數字呈現左右對稱，且兩端的數都是 1。 這是因為這是因為 ，且，且 。帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122nnkn kcc nnncc01翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 1

9、1/22帕斯卡三角形帕斯卡三角形(楊輝三角形楊輝三角形)：觀察帕斯卡三角形可以看出：觀察帕斯卡三角形可以看出：(2) 每個數等于其左上的數與右上的數的和每個數等于其左上的數與右上的數的和 即即 。nnnkkkccc111 帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 12/22帕斯卡定理：帕斯卡定理：nnnkkkccc111 帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 13/226p.119解法一解法一nnkknkccnnknkknknknknkknnknkk nkncknk111(1)!

10、(1)!(1)!()!(1)!(1)!11(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!()!()! 試證明帕斯卡定理試證明帕斯卡定理 。nnnkkkccc111 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 14/22解法二解法二我們計算在我們計算在 1，2，3， ，n 之中取出之中取出 k 個相異數字的組合個相異數字的組合有幾種方法，考慮以下兩種算法：有幾種方法，考慮以下兩種算法：(1) 顯然答案為顯然答案為 種方法種方法(2) 按照按照 “n” 是否被選到分成兩類是否被選到分成兩類 若若 “n” 被選到，則還要從被選到，則還要從 1，2，(n1) 之中選出之中選出 k1 個，有個，有

11、種方法種方法 若若 “n” 未被選到，則還要從未被選到，則還要從 1，2，(n1) 之中選之中選出出 k 個，有個，有 種方法種方法 因此，一共是因此，一共是 種方法種方法nkcnkc11 nkc1 nnkkcc111 6p.119試證明帕斯卡定理試證明帕斯卡定理 。nnnkkkccc111 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 15/22試證明帕斯卡定理試證明帕斯卡定理 。6p.119nnnkkkccc111 解法二解法二(1)、(2)是算同一個問題，答案必須一樣是算同一個問題，答案必須一樣故故 ，故得證，故得證nnnkkkccc111 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式

12、定理 page 16/22帕斯卡三角形的性質：帕斯卡三角形的性質：(1) 每一列數字的和等于每一列數字的和等于 2 的次方，即的次方，即 。帕斯卡三角形帕斯卡三角形nnnnnncccc0122p.118p.122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 17/22帕斯卡三角形的性質：帕斯卡三角形的性質：(2) 每一列數字正負符號交錯后，其和等于每一列數字正負符號交錯后，其和等于 0，即，即 。帕斯卡三角形帕斯卡三角形nnnnnncccc012( 1)0 p.118p.122翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 18/227p.121(1) 試求試求 的值。的值。cc

13、ccc3456733333(1) 解法一解法一3456733333ccccc直接求值得直接求值得1410203570 翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 19/227(1) 解法二解法二將將 ， ， 這些數在帕斯卡三角形中標示出來這些數在帕斯卡三角形中標示出來c73c43c33p.121(1) 試求試求 的值。的值。ccccc3456733333如下圖如下圖翰林版翰林版 2-4 二項式定理二項式定理 page 20/227(1) 解法二解法二3456733333ccccc因為因為 ，把，把 換成換成 (相當巧妙！相當巧妙！)cc34341c33c44p.121(1) 試求試求 的值。的值。ccccc3456733333再一路利用帕斯卡定理，得到再一路利用帕斯卡定理，得到4456743333ccccc55674333cccc8470c