1、專題七專題七 二次函數綜合題二次函數綜合題類型三特殊四邊形的存在性問題類型三特殊四邊形的存在性問題(遵義2014.27(3)；銅仁2018.25(2)【方法指導】【方法指導】平行四邊形的判定已知已知問題問題找點找點求點坐標求點坐標已知三個已知三個點點已知平面上不共線三個點A、B、C，求一點P，使得A、B、C、P四個點組成平行四邊形連接AB、AC、BC，分別過點A、B、C作對邊的平行線，三條平行線的交點即為所有點P分別求出直線P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交點即為P點；可由點的平移來求坐標已知兩已知兩個點個點已知平面上兩個點A、B，求兩點P、Q，使得A、B、P、Q四個點組成平行四邊

2、形(題目中P、Q的位置有具體限制)分兩種情況討論：若AB為平行四邊形的邊，將AB上下左右平移，確定P、Q的位置；若AB為平行四邊形的對角線，取AB中點，旋轉經過中點的直線確定P、Q的位置通過點的平移，構造全等三角形來求坐標；由中點坐標公式可推出：坐標系中 ABCD的四個點A、B、C、D的坐標滿足xAxCxBxD；yAyCyByD矩形、菱形的判定方法參照中平行四邊形的判定典例精講典例精講例例已知拋物線yax2bxc經過點A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(1)求拋物線的解析式、頂點坐標和對稱軸；例題圖【思維教練】要求拋物線的解析式，需將A，B，C三點坐標代入yax2bxc中，解方程組即

3、可；把拋物線一般式化成頂點式，可得拋物線的頂點坐標和對稱軸解：解：將點A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點代入yax2bxc中，得，解得，拋物線的解析式為yx24x3.把yx24x3化成頂點式為y(x2)21，拋物線的頂點坐標為(2，1)，對稱軸是直線x2；09303abcabcc143abc (2)過點C作CD平行于x軸，交拋物線對稱軸于點D，試判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由；例題圖【思維教練】要判斷四邊形ABDC的形狀，觀察發現：四邊形ABDC為平行四邊形，結合已知條件有CDAB，再設法證明ABCD即可解：解：四邊形ABDC是平行四邊形理由如下：D點在拋物線的對稱軸上，CDx

4、軸，D點的橫坐標為2，即CD2，A(1，0)，B(3，0)，AB2，ABCD，又CDAB，四邊形ABDC是平行四邊形；(3)如果點G是直線BC上一點，點H是拋物線上一點，是否存在這樣的點G和H，使得以G，H，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點H的坐標；例題圖【思維教練】先假設存在滿足條件的點G和H，由于OC的長度和位置確定，所以點G、H的縱坐標之差的絕對值與OC相等，據此可求出點H的坐標解：解：存在，如解圖，設直線BC的解析式為ykxb(k0)，將點B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，直線BC的解析式為yx3.點G在直線BC上，點H在拋物線上，且以點G，H，O，C構成

5、的四邊形是以OC為邊的平行四邊形，GHx軸，GHOC，設G點坐標為(n，n3)，H點坐標為(n，n24n3)，例題解圖300kbb13kb GHOC3，GH|n24n3(n3)|n23n|3，當n23n3時，解得n；當n23n3時，方程無解；當n時，n24n3；當n時，n24n3.綜上所述，存在這樣的點G和H，使得以G，H，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形，點H的坐標為(，)或(，)；321232129212321292123212921232129212例題解圖(4)如果點M在直線BC上，點N在拋物線上，是否存在這樣的點M和N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出

6、點N的坐標；例題圖【思維教練】先假設存在滿足條件的點M、N，因為AB長度和位置確定，故需分AB作邊還是對角線兩種情況進行討論：當AB為邊時，則MNAB，且MNAB，據此可求出點N的坐標；當AB為對角線時，則MN與AB互相平分，從而確定點N的坐標解：解：存在點M，N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形當AB為平行四邊形的邊時，需考慮點M和N的位置關系(即點M在點N的左邊還是右邊)，如解圖，()當點M在點N的左邊時，設點N的坐標為(m，m24m3)，則點M的坐標為(m2，m5)，四邊形ABNM是平行四邊形，m24m3m5，解得m，當m時，m24m3；當m時，m24m3.點N的坐標為(，

7、)或(，)；例題解圖317231727172317271723172717231727172()當點M在點N的右邊時，設點N的坐標為(m，m24m3)，則點M的坐標為(m2，m1)，四邊形ABMN是平行四邊形，m24m3m1，解得m1或2，當m1時，點N與點A重合，故舍去；當m2時，m24m31，點N的坐標為(2，1)；當AB為平行四邊形的對角線時，則MN與AB互相平分，如解圖，AB與MN相交于點J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ，設M(m，m3)，N(n，n24n3)，則有2，m3n24n30，整理，得n23n20，解得n11(舍去)，n22，N點坐標為(2，1)綜上所述，點N的坐標

8、為(，)，(，)，(2，1)；例題解圖2mn3172717231727172(5)設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為K，點P是拋物線對稱軸上一點，點Q為y軸上一點，是否存在這樣的點P和Q，使得四邊形CKPQ是菱形？如果存在，請求出點P的坐標；例題圖【思維教練】先假設存在滿足條件的點P，由于四邊形CKPQ四個頂點順序已確定，則CK為菱形的邊，故利用KPCK上下平移直線BC，與拋物線對稱軸的交點即為所求點P.解：解：存在理由如下：K點的坐標為(2，1)，CK，假如存在這樣的點P，使得四邊形CKPQ為菱形，則KPCK2，如解圖，當點P在點K的下方時，點P1的坐標為(2，12)，當點P在點K的上方時，

9、點P2的坐標為(2，12)點P的坐標為(2，12)或(2，12)；例題解圖2223 12 222222(6)若點R是拋物線對稱軸上一點，點S是平面直角坐標系內任一點，是否存在滿足條件的點R、S，使得四邊形BCRS為矩形？若存在，求出點R、S的坐標例題圖【思維教練】先假設存在滿足條件的點R、S，要使四邊形BCRS為矩形，則點R在直線BC上方，且BCR90，可通過尋找相似三角形利用相似求出點R，再根據矩形性質求出點S.解：解：存在，如解圖，要使四邊形BCRS為矩形，拋物線對稱軸交x軸于點T，則BCR90，CRKTBK，由(5)知，K(2，1)，CK2，T(2，0)，TK1，BK，RK4，R(2，5

10、)，CBRS，CBRS，根據點平移及矩形性質可得S(5，2)故存在滿足條件的點R、S，使得四邊形BCRS為矩形，且點R、S的坐標分別為R(2，5)，S(5，2)例題解圖CKRKTKBK22232122 221CKBKTK針對演練針對演練1.如圖，對稱軸為直線x的拋物線經過點A(6，0)和B(0，4)(1)求拋物線解析式及頂點坐標；(2)設點E(x，y)是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式；(3)當(2)中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形第1題圖72解：解：(1)設拋物

11、線的解析式為yax2bxc，將對稱軸和A、B兩點的坐標代入拋物線解析式，得，解得，拋物線的解析式為y x2 x4，配方，得y(x)2，頂點坐標為(，)；(2)設E點坐標為(x，x2x4)，S2OAyE6( x2x4)，即S4x228x24；72236604baabcc 231434abc 14323237225672256231431223143(3)平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形，理由如下：當平行四邊形OEAF的面積為24時，即4x228x2424，化簡，得x27x120，解得x3或4，當x3時，EOEA，則平行四邊形OEAF為菱形；當x4時，EOEA，則平行

12、四邊形OEAF不為菱形平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形2.(2017陜西)在同一直角坐標系中，拋物線C1：yax22x3與拋物線C2：yx2mxn關于y軸對稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(1)求拋物線C1、C2的函數表達式；(2)求A、B兩點的坐標；(3)在拋物線C1上是否存在一點P，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以AB為邊，且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由第2題圖解：解：(1)C1與C2關于y軸對稱，C1與C2交點一定在y軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，a1，n3，

13、C1的對稱軸為x1，C2的對稱軸為x1，m2，C1：yx22x3，C2：yx22x3；(2)令C2中y0，則x22x30，解得x13，x21，點A在點B左側，A(3，0)，B(1，0)；(3)存在如解圖，設P(a，b)，第2題解圖四邊形ABPQ是平行四邊形，PQAB4，Q(a4，b)或(a4，b)當Q(a4，b)時，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)；當Q(a4，b)時，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3)綜上所述,所求點的坐標為P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2

14、，3)，Q2(2，3)類型四相似三角形的存在性問題類型四相似三角形的存在性問題(銅仁2018.25(3)【方法指導】【方法指導】ABC與DEF相似，在沒指明對應點的情況下，理論上應分六種情況討論，但實際問題中通常不超過四種，常見有如下兩種類型，每類分兩種情況討論就可以了兩個三角形均為直角三角形兩個三角形有一個公共角若ABC與DEF相似，BE90，則ABCDEF或ABCFED若ABC與AEF相似，則ABCAEF或ABCAFE另外，如果不滿足以上兩種情況，但可以確定已知三角形的形狀(特征)時，先確定動態三角形中固定的因素，看是否與已知三角形中有相等的角，若存在，根據分類討論列比例關系式求解；已知條

15、件中有一條對應邊，只需要討論另外兩條邊的對應關系，列比例關系式求解；若可得相似三角形的某個對應角的度數時，分類討論另外兩個角的對應情況，列比例關系式求解典例精講典例精講例例如圖，拋物線圖象交x軸于A、B兩點，且點A位于x軸的正半軸，點B位于x軸的負半軸，且OA，OB3.拋物線交y軸于點C(0，3)(1)求拋物線的解析式；例題圖【思維教練】要求拋物線的解析式，已知OA，OB的長度，可知點A、B的坐標，再結合點C的坐標，利用待定系數法即可確定拋物線的解析式33 解：解：OA，點A在x軸的正半軸，A(，0)，OB3，點B在x軸的負半軸，B(3，0)，設拋物線的解析式為：yax2bxc，將點A(，0)

16、，B(3，0)，C(0，3)代入，得，解得，即此拋物線的解析式為yx2x3；333333330273 303abcabcc132 333abc 132 33(2)連接AC、BC，則在坐標軸上是否存在一點D，使得ABCACD(點D不與點B重合)，若存在，請求出點D坐標；例題圖【思維教練】要在坐標軸上找一點D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三點坐標，可判斷出ABC為直角三角形，則可知ACD必是直角三角形且點D對應直角頂點，根據相似三角形對應邊成比例可求得點D的坐標解：解：存在，如解圖，tanOCA，OCA30，tanBCO，BCO60，ACB90，ABC為直角三角形，ABCACD，且點D在

17、坐標軸上，由題易知，AB4，AC2，BC6，即，CD3，C(0，3)，D(0，0)；例題解圖33OAOC3 333OBOC3ABBCACCD4 3623CD3(3)設拋物線的對稱軸分別交拋物線，x軸于點E，F，在x軸上是否存在一點G(不與點F重合)，使得AEF與AEG相似，若存在，請求出點G坐標；【思維教練】要使AEF與AEG相似，因為AEF為直角三角形，需考慮AEG中哪個角為直角的情況：當點G在x軸上時，分AEFAGE和AEFAEG兩種情況例題圖解：解：存在，AEF是直角三角形，且AEF與AEG相似，AEG也是直角三角形，點G在x軸上，分兩種情況討論：當AGEAEF時，由(1)知A(，0)，

18、E(，4)，EF4，AF2，根據勾股定理，得AE2，AE2AGAF，解得AG，OGAGOA，即G(，0)；當AEFAEG時，點F與點G重合，綜上所述，G點坐標為(，0)；337AGAEAEAF14 3311 3311 3311 333(4)直線AC與拋物線的對稱軸交于M點，在y軸上是否存在一點N，使得AOC與MNC相似，若存在，請求出點N坐標；例題圖【思維教練】要使AOC與MNC相似，因為ACOMCN，則需考慮AOC90這個直角與哪個角對應，從而分以下兩種情況討論：AOCMNC，AOCNMC，根據對應邊成比例計算出點N的坐標解：解：存在，設直線AC的解析式為ykxb，將A(，0)，C(0，3)

19、代入，直線AC的解析式為yx3，易知AC2，又拋物線對稱軸為x，將x代入yx3中，得y6，M(，6)，又C(0，3)，MC.分以下兩種情況討論：33333332230632 3()如解圖，過點M作MNy軸于點N，此時AOCMNC，則此時，點N與點M縱坐標相等，N(0，6)；例題解圖()如解圖，過點M作MNAC于點M，此時AOCNMC，即，NC4，則ONOCNC7，N(0，7)綜上所述：滿足要求的點N的坐標為(0，6)或(0，7)；例題解圖OCACMCNC32 32 3NC(5)在拋物線上是否存在點P，使AOC與ACP相似若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由例題圖【思維教練】要使AOC與

20、ACP相似，因為AOC是直角三角形，而ACP中三個內角均可能為直角，故需分三種情況討論，在每種情況之下，求出對應點，再看求出的點是否滿足三角形相似的條件解：解：存在，AOC是直角三角形，AOC與ACP相似，ACP也是直角三角形，分以下三種情況討論：()如解圖，當點P與點B重合，即ACP90時，AOCACB，CAOBAC，AOCACB，此時，點P的坐標為(3，0)；例題解圖3()如解圖，當CAP90時，AC2AP2CP2，設點P坐標為(x，x2x3)，A(，0)，C(0，3)，AC2()23212，AP2(x)2(x2x3)2，CP2x2(3x2x3)2，即12(x)2(x2x3)2x2(3x2

21、x3)2，解得x或4.當x時y0，點P與點A重合，故舍去，P(4，5)；例題解圖132 33333132 33132 333132 33132 333333AP.，2，.AOC與ACP不相似，P(4，5)(舍去)；()如解圖，當CPA90時，以AC為直徑作圓，此圓過點O、A、C，不與拋物線有其他交點，則不存在符合要求的點P.綜上所述：滿足條件的點P的坐標為(3，0)例題解圖224 335010 103APOC2 33ACAO1010 333APOA2 33ACCOAPACOCAOAPACOAOC33針對演練針對演練1. (2018烏魯木齊)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y x2bxc經過點A

22、(2，0)，B(8，0)(1)求拋物線的解析式；(2)點C是拋物線與y軸的交點，連接BC，設點P是拋物線上在第一象限內的點，PDBC，垂足為點D.是否存在點P，使線段PD的長度最大，若存在，請求出點P的坐標；當PDC與COA相似時，求點P的坐標第1題圖41解：(1)將A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得，拋物線解析式為：y x2 x4；141431 20,216804bcbbcc 解得32第1題解圖(2)由(1)知C(0，4)，又B(8，0)，易知直線BC的解析式為y x4，12存在如解圖，過點P作PGx軸于點G，PG交CB于點E，PEDGEB，DPEGBE，COB90，OCBPED

23、，在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，當線段PE最長時，PD的長度最大設P(t， t2 t4)，點E在直線BC上，且點E，G的橫坐標與點P的橫坐標相等，E(t， t4)，G(t，0)，即PG t2 t4，EG t4，PEPGEG t22t (t4)24(0t0，將ACD拆分成同底，且以點A、C為頂點的兩個三角形求解例題圖解：解：依題意可設D(x，x2x2)(4x0)，如解圖，連接AC，過點D作DFx軸交AC于點F，設直線AC的解析式為ykxb(k0)，將點A(4，0)，C(0，2)代入，得，解得，直線AC的解析式為yx2，F(x，x2)，1412402kbb

24、122kb1212SADCSADFSCDF(xDxA)(yDyF)(xCxD)(yDyF)(xCxA)(yDyF)4(x2x2x2)x22x(x2)22，0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3，由勾股定理得EQ4，解得或(舍去)，點Q(，)，同理可得點P(，)，例題解圖222253MEMQ222213154mnmn117595mn 2217595mn 759517595設直線l1和直線l2的解析式分別為y1k1xb1，y2k2xb2，則，解得；，解得.直線l1、l2的解析式分別是y1x，y2x.直線l的解析式是yx或yx.1111179555kbkb 1143193kb 222279555kbk

25、b 2243113kb 43193431134319343113針對演練針對演練1. 如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于A(3，0)、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE.(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)求證：直線DE是ACD的外接圓的切線第1題圖12(1)解：解：拋物線的解析式為yax2bx3，對稱軸為直線x1，x1，即b2a，點A(3，0)在拋物線上，9a3b30，聯立得，解得，拋物線的解析式為yx22x3.當x1時，y1234，頂點D的坐標為(1，4)；2ba29330baab 12ab (2)證明：點C是拋物線yx22x3與y軸的交點，點C的坐標