1、第2講三角恒等變換與解三角形自主學習導引真題感悟1(2012·大綱全國)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2abc.d.解析利用同角三角函數的基本關系及二倍角公式求解sincos ，(sin cos)2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos 0，2k2k(kz)，4k24k(kz)，2為第三象限角，cos 2.答案a2(2012·浙江)在abc中，內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.已知cos a，sin bcos c.(1)求tan c的值；(2)若a，求abc的面積解析(1)因為0a，cos a，得sin a.又cos csin

2、 bsin(ac)sin acos ccos asin ccos csin c，所以tan c.(2)由tan c，得sin c，cos c.于是sin bcos c，由a及正弦定理，得c.設abc的面積為s，則sacsin b.考題分析新課標高考對本部分的考查，一般多以小題考查三角變換在求值、化簡等方面的應用，而解答題常常有以下三種：三角變換與內部相關知識的綜合性問題、三角變換與向量的交匯性問題、三角變換在實際問題中的應用問題網絡構建高頻考點突破考點一：三角變換及求值【例1】設，sin，求的值審題導引解答本題的關鍵是求出sin 與cos ，觀察所給的條件式會發現求sin 與cos 的方法有兩

3、個，一是利用角的變換，二是解關于sin 與cos 的方程組規范解答解法一由，得，又sin，cos.cos coscoscos sinsin .sin .故原式cos .解法二由sin，得sin cos ，平方得12sin cos ，即2sin cos 0.由于，故.(sin cos )212sin cos ，故sin cos ，聯立，解得sin ，cos .原式cos (12sin )×.【規律總結】sin 、cos 的求值技巧當已知sin，cos時，利用和、差角的三角函數公式展開后都含有sin cos 或sin cos ，這兩個公式中的其中一個平方后即可求出2sin cos ，根據

4、同角三角函數的平方關系，即可求出另外一個，這兩個聯立即可求出sin ，cos 的值或者把sin cos 、sin cos 與sin2cos21聯立，通過解方程組的方法也可以求出sin 、cos 的值易錯提示三角函數求值中要特別注意角的范圍，如根據sin2求sin 的值時，sin ± 中的符號是根據角的范圍確定的，即當的范圍使得sin 0時，取正號，反之取負號注意在運用同角三角函數關系時也有類似問題【變式訓練】1(2012·煙臺一模)若，且cos2sin，則tan a1b.c.d.解析cos2sincos2cos 22cos2sin2，即tan21. 又，tan 0，tan

5、1.2(2012·南京模擬)已知sinsin ，0，則cos _.解析sinsin sin cos sin sin cos sin，sin.又0，cos，cos coscossin.答案考點二：正、余弦定理的應用【例2】(2012·湖南師大附中模擬)在abc中，角a、b、c所對應的邊分別為a、b、c，且(2ac)cos bbcos c.(1)求角b的大小；(2)若cos a，a2，求abc的面積審題導引(1)把條件式中的邊利用正弦定理轉化為角后進行三角恒等變換可求b；(2)利用(1)的結果求b及c，利用公式求面積規范解答(1)因為(2ac)cos bbcos c，由正弦定理

6、，得(2sin asin c)cos bsin bcos c.2sin acos bsin ccos bsin bcos csin(bc)sin a.0a，sin a0，cos b.又0b，b.(2)由正弦定理，得b，由cos a可得a，由b，可得sin c，sabsin c×2××【規律總結】解三角形的一般方法是(1)已知兩角和一邊，如已知a、b和c，由abc求c，由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和c，應先用余弦定理求c，再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用abc求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和a，應先用

7、正弦定理求b，由abc求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解題時可能有多種情況(4)已知三邊a、b、c，可應用余弦定理求a、b、c.【變式訓練】3(2012·北京東城11校聯考)在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，若sin asin c，b30°，b2，則邊c_.解析由正弦定理得ac，由余弦定理可知b2a2c22accos b，即43c2c22c2×，解得c2.答案2考點三：解三角形與實際應用問題【例3】(2012·宿州模擬)已知甲船正在大海上航行當它位于a處時獲悉，在其正東方向相距20海里的b處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即以10海

8、里/小時的速度勻速前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里c處的乙船，乙船當即也決定勻速前往救援，并且與甲船同時到達(供參考使用：取tan 41°)(1)試問乙船航行速度的大小；(2)試問乙船航行的方向(試用方位角表示，譬如北偏東度)審題導引據題意作出示意圖，把實際問題轉化為解三角形，利用正、余弦定理求解規范解答設乙船運動到b處的距離為t海里則t2ac2ab22ab·accos 120°1022022×10×20×700，t10，又設acb，則，則sin 0.65，41°，乙船應朝北偏東71

9、76;的方向沿直線前往b處求援速度為5海里/小時【規律總結】應用解三角形知識解決實際問題需要下列四步(1)分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根據題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；(3)將所求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解；(4)檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，得出正確答案 【變式訓練】4如圖所示，小麗家住在成都市錦江河畔的電梯公寓ad內，她家河對岸新建了一座大廈bc，為了測得大廈的高度，小麗在她家的樓底a處測得大廈頂部b的仰角為60°，

10、爬到樓頂d處測得大廈頂部b的仰角為30°，已知小麗所住的電梯公寓高82米，請你幫助小麗算出大廈高度bc及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離ac.解析設acx米，則bcx米，過點d作debc，易得bex，xx82.x41米bc×41123米名師押題高考【押題1】已知，則sin cos _.解析·，則sin cos .答案押題依據誘導公式、倍角公式等都是高考的熱點，應用這些公式進行三角恒等變換是高考的必考內容本題考點設置恰當、難度適中，體現了對基礎知識和基礎能力的雙重考查，故押此題【押題2】在abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，且a、b、c成等差數列 (1)若b，a3，求c的值；(2)設tsin asin c，求t的最大值解析(1)因為a，b，c成等差數列，所以2bac，因為abc，所以b.因為b，a3，b2a2