1、第8講立體幾何中的向量方法(二)【高考會這樣考】考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大小【復(fù)習指導(dǎo)】復(fù)習中要掌握空間角的類型及各自的范圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系基礎(chǔ)梳理1空間的角(1)異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點o作直線aa，bb.則把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角(3)二面角的平面角如

2、圖在二面角­l­的棱上任取一點o，以點o為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線oa和ob，則aob叫做二面角的平面角2空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如圖，ab、cd是二面角­l­的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，()如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos c

3、osn1，n2或cosn1，n2三種成角(1)異面直線所成的角的范圍是；(2)直線與平面所成角的范圍是；(3)二面角的范圍是0， 易誤警示利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點雙基自測1如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是()a90° b30° c45° d60°2(人教a版教材習題改編)已知兩平面的法向量分別

4、為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為() a45° b135°c45°或135° d90°3(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()a30° b60° c120° d150°4在如圖所示的正方體a1b1c1d1­abcd中，e是c1d1的中點，則異面直線de與ac夾角的余弦值為()a bc. d.5如圖所示，在三棱柱abc­a1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，ab

5、c90°，點e、f分別是棱ab、bb1的中點，則直線ef和bc1所成的角是_考向一求異面直線所成的角【例1】(2011·上海高考改編)已知abcd­a1b1c1d1是底面邊長為1的正四棱柱，高aa12，求(1)異面直線bd與ab1所成角的余弦值；(2)四面體ab1d1c的體積【訓(xùn)練1】 (2011·全國高考)已知正方體abcd­a1b1c1d1中，e為c1d1的中點，則異面直線ae與bc所成角的余弦值為_考向二利用向量求直線與平面所成的角【例2】如圖所示，已知點p在正方體abcd­abcd的對角線bd上，pda60°.(1)

6、求dp與cc所成角的大小；(2)求dp與平面aadd所成角的大小【訓(xùn)練2】 (2010·遼寧)已知三棱錐p­abc中，pa平面abc，abac，paacab，n為ab上一點，ab4an，m，s分別為pb，bc的中點(1)證明：cmsn；(2)求sn與平面cmn所成角的大小考向三利用向量求二面角【例3】(2011·全國新課標)如圖，四棱錐p­abcd中，底面abcd為平行四邊形，dab60°，ab2ad，pd底面abcd.(1)證明：pabd；(2)若pdad，求二面角a­pb­c的余弦值【訓(xùn)練3】 如圖，在四棱錐p­abcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，apab2，bc2，e，f分別是ad，pc的中點(1)證明：pc平面bef；(2)求平面bef與平面bap夾角的大小閱卷報告12對法向量夾角與二面角大小關(guān)系認識不清導(dǎo)致失誤【問題診斷】 立體幾何是高考的重點和熱點內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量的夾角與二面角相等還是互補是這種解法的難點，也是學生的易錯易誤點【防范措施】 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內(nèi)另