1、武漢理工大學信號分析與處理課程設計說明書課程設計任務書學生姓名： 專業班級： 指導教師： 工作單位： 課程設計名稱：信號分析與處理課程設計課程設計題目：數字Butterworth濾波器的設計初始條件：1. Matlab7.1以上版本軟件；2. 專業基礎實踐輔導資料：“Matlab語言基礎及使用入門”、“Matlab及在電子信息課程中的應用”、“線性代數”及“信號處理類”相關書籍等；3. 先修課程：高等數學、線性代數、電路、Matlab應用實踐及信號處理類基礎課程等。要求完成的主要任務：（包括課程設計工作量及其技術要求，以及說明書撰寫等具體要求）1. 實踐內容：根據指導老師給定的7套題目，按規定

2、選擇其中1套獨立完成；2. 本專業基礎實踐統一技術要求：研讀輔導資料對應章節，對選定的設計題目進行理論分析，完成針對具體設計部分的原理分析、建模、必要的推導和可行性分析，畫出程序設計框圖，編寫程序代碼（含注釋），上機調試運行程序，記錄實驗結果（含計算結果和圖表等），并對實驗結果進行分析和總結。具體設計要求包括： 初步了解Matlab、熟悉Matlab界面、進行簡單操作等； Matlab的數值計算：創建矩陣、矩陣運算、多項式運算、線性方程組、數值統計等； 基本繪圖函數：了解plot, plot3, mesh, surf等，要求掌握以上繪圖函數的用法、簡單圖形標注、簡單顏色設定等； 使用文本編輯器

3、編輯m文件，會函數調用等； 能完成簡單電路的Matlab編程分析； 按要求參加專業基礎實踐的實驗演示和答辯等。3. 課程設計說明書按學校“課程設計工作規范”中的“統一書寫格式”撰寫，具體包括： 目錄； 與設計題目相關的理論分析、歸納和總結； 與設計內容相關的原理分析、建模、推導、可行性分析； 程序設計框圖、程序代碼（含注釋）、程序運行結果和圖表、實驗結果分析和總結； 課程設計的心得體會（至少500字）； 參考文獻（不少于5篇）； 其它必要內容等。時間安排：1周指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名： 年 月 日目錄1. MATLAB相關知識 12. 設計22.1題目一22

4、.1.1數字濾波器的工作原理22.1.2 數字濾波器的設計方法概述22.1.3 程序代碼22.1.4 運行結果32.1.5巴特沃斯低通濾波器的低通特性分析42.2 題二52.2.1沖激響應不變法原理 52.2.2 雙線性變換法原理72.2.3 程序理論分析82.2.4 程序代碼82.2.5 運行結果92.2.6沖激響應不變法的頻率混疊失真和優缺點分析112.2.7雙線性變換法存在的非線性頻率失真和優缺點分析122.3 題三122.3.1設計原理分析122.3.2 程序理論分析132.3.3 程序代碼132.3.4 運行結果133.設計分析144. 心得體會145.參考文獻15本科生課

5、程設計成績評定表161. MATLAB相關知識 MATLAB的應用范圍非常廣可以用來進行以下各種工作： （1） 數值分析； （2） 數值和符號計算； （3）工程與科學繪圖； （4）控制系統的設計與仿真； （5）數字圖像處理技術； （6）數字信號處理技術； （7）通訊系統設計與仿真； （8）財務與金融工程。 MATLAB包括擁有數百個內部函數的主包和三十幾種工具包。工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包。功能工具包用來擴充MATLAB的符號計算，可視化建模仿真，文字處理及實時控制等功能。學科工具包是專業性比較強的工具包，控制工具包，信號處理工具包，通信工具包等都屬于此類。 

6、 本次課設要用到的是matlab的信號處理工具箱，它提供了IIR濾波器設計的完全工具函數，用戶只要調用這些工具函數即可一次性完成設計，而不需像上面分步實現。MATLAB提供的函數有：Butter、cheby1、cheby2、ellip等。這些函數即可用于模擬濾波器也適用于數字濾波器。 在使用這些函數設計數字濾波器時，數字頻率采用標準化頻率（歸一化頻率）。matlab的信號處理工具箱，它提供了有關巴特沃斯濾波器的函數buttap、buttord、buttter 。 利用z,p,k=buttap(n);可設計出n階巴特沃斯低通濾波器原型。burrord函數可在給定濾波

7、器性能的情況下，選擇巴特沃斯濾波器的階數n和截止頻率c，從而可利用butter函數設計巴特沃斯濾波器的傳遞函數。  利用n,c=buttord(p,s, Rp,Rs,'s');可得到滿足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數n及截止頻率c，p其中為通帶的截止頻率,s為阻帶的截止頻率，p和 s的單位均為rad/s;Rs為通帶區的最大衰減系數，Rp為阻帶區的最小衰減系數，Rs和Rp的單位都為dB。   利用b ,a=butter(n ,c ,ftype)；可設計截止頻率為的n階低通模擬巴特沃斯濾波器。其中，n為濾波器階數，c為濾波器截止

8、頻率ftype為濾波器類型；high為高通濾波器，截止頻率c ; stop為帶阻濾波器，截止頻率c=1 ,2,；缺省時為低通或帶通濾波器；b,a分別為濾波器傳遞函數分子和分母的系數向量。2. 設計2.1題目一1：低通巴特沃斯模擬濾波器設計。設計一個低通巴特沃斯模擬濾波器：指標如下：通帶截止頻率：=3400HZ, 通帶最大衰減：=3dB 阻帶截至頻率：=4000HZ，阻帶最小衰減：=40dB 2.1.1數字濾波器的工作原理 數字濾波器是具有一定傳輸特性的數字信號處理裝置。它的輸入和輸出均為離散的數字信號，借助數字器件或一定的數值計算方法，對輸入信號進行處理，改變輸入信號的波形或頻譜，達到保留信號

9、中有用成分去除無用成分的目的。如果加上A/D、D/A轉換，則可以用于處理模擬信號。2.1.2 數字濾波器的設計方法概述1） 根據實際需要確定濾波器的技術指標。2） 用一個因果穩定的離散非線性移變系統的系統函數去逼近這些指標。3） 利用有限精度算法來實現這個系統函數。4） 實際的數字濾波器實現技術，包括采用通用的計算機軟件或專用的數字濾波器硬件來實現，或采用通用的數字信號處理器來實現。2.1.3 程序代碼 圖2.1.1 題一程序2.1.4 運行結果圖2.1. 題一程序2.1.5巴特沃斯低通濾波器的低通特性分析 巴特沃斯低通濾波器的特點是具有通帶內最大平坦的幅度特性，而且隨著頻率的升高而單調地下降

10、。它的平方幅度響應為 （2.1.1）其中，n為整數，稱為濾波器的階數，n值越大通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶也越陡 。為低通濾波器的截止頻率。該濾波器具有一些特殊的性質 ： 1）對所有的 n ，都有當時 （2.1.2）2）對所有的 n ，都有當時 ， （2.1.3）即在處有3dB的衰減；3） 是的單調遞減函數 ，即不會出現幅度響應的起伏； 4） 當 時，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器 ； 5） 在處平方幅度響應的各級導數均存在且等于0， 因此在該點上取得最大值， 且具有最大平坦特性。2.2 題二2.模擬低通轉換為數字低通濾波器已知一模擬濾波器的系數函數為 分別用沖激響應不變法和雙線性變換

11、法將轉換成數字濾波器系統函數，并圖示和 的幅度相應曲線。分別取采樣頻率1000Hz和500Hz，分析沖激響應法中存在的頻率混疊失真和雙線性變換法存在的非線性頻率失真等。2.2.1沖激響應不變法原理  沖激響應不變法是使數字濾波器的單位沖激響應序列模仿模擬濾波器的單位沖激響應，將模擬濾波器的單位沖激響應加以等間隔抽樣，使正好等于的抽樣值，即滿足： （2.2.1） 式中：T為抽樣周期。  由于沖激響應不變法要求用模擬系統函數求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應，然后抽樣得式，再取z變換得到。沖激響應不變法最適合于可以用部分分式表示的模擬系統函數。（1）若設模擬濾波器的系統函數只有

12、一階極點，并且分母的階次N大于分母的階次M（一般都滿足這個要求，因為只有這樣才相當于一個穩定的模擬系統）。因此可將展成部分分式 （2.2.2）式中為極點，為待定系數。對求拉普拉斯反變換得 （2.2.3）式中是連續時間的單位階躍函數。2）使用沖激響應不變法求數字濾波器的單位沖激響應,即令，并代入上式得： (2.2.4)3）對求z變換，即得數字濾波器的系統函數 （2.2.5）由于數字濾波器頻率響應還與抽樣間隔T成反比，如果抽樣頻率很高，即T很小，則數字濾波器具有不希望有的高增益，因而希望數字濾波器的頻率響應不隨抽樣頻率而變化，故做以下簡單修正。令： （2.2.6）則有 （2.2.7）此外，當考慮是

13、實函數時，則的極點必成共軛對存在，若為極點，其留數為，則必有亦為極點，且其留數為。對于這樣一對共軛極點，其變換成的關系為 （2.2.8) (2.2.9) 2.2.2 雙線性變換法原理 雙線性變換法是從頻域出發，使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換法。直接使數字濾波器的頻率響應，逼近模擬濾波器的頻率響應,進而求得H(z)。 先將s平面壓縮成s1平面上一個寬度為2/T的水平帶狀區域，然后通過將這個帶狀區域映射到整個z平面，實現s平面到z平面的單值映射。 圖 2.3.2 雙線性變換法的映射關系引入正切變換,將s平面整個軸壓縮變換到s1平面軸上的到段，可以采用以下變換關系： （2

14、.2.10）這樣，變換到，變換到，則上式變換為： （2.2.11）令，解析延拓到整個s平面和s1平面,可得 （2.2.12）再將s1平面通過以下標準標準變換關系映射到z平面：（2.1.2） （2.2.13）從而得到s平面到z平面的單值映射關系為： （2.2.14） （2.2.15）則數字頻率表達式為： （2.2.16）2.2.3 程序理論分析impinvar-用沖激響應不變法使模擬濾波器轉換為數字濾波器。用法：bz,az=impinvar(b,a,fs)函數在保持沖激響應不變的前提下，將模擬濾波器的傳遞函數的分子分母b和a轉換為數字濾波器的傳遞函數的分子分母bz和az。fs為對模擬濾波器的采樣

15、頻率，缺省為1Hz。bilinear-用雙線性變化法使模擬濾波器轉換為數字濾波器f,e=bilinear(b,a,fs) 將模擬濾波器的傳遞函數的分子分母b和a轉換為數字濾波器的傳遞函數的分子分母f和e。fs為對模擬濾波器的采樣頻率。2.2.4 程序代碼 圖2.2.1 題目二程序代碼2.2.5 運行結果 圖2.2.2 題目二運行結果 圖2.2.3題目二運行結果 圖2.2.4題目二運行結果2.2.6沖激響應不變法的頻率混疊失真和優缺點分析數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應間的關系為： （2.2.17） 上式表明，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器的周期延拓，根據奈奎斯特抽樣定理，只有當模擬

16、濾波器的頻率響應是嚴格限帶的，且帶限于折疊頻率以內時，才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內，重現模擬濾波器的頻率響應而不產生混疊失真。但是，任何一個實際的模擬濾波器響應都不是嚴格限帶的，變換后都會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，因此模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上衰減越大、越快，變換后頻率響應混疊失真就越小。優點: (1)h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應，即時域逼近良好 (2)線性相位模擬濾波器轉變為線性相位數字濾波器缺點：(1)對時域的采樣會造成頻域的“混疊效應”，故有可能使所設計數字濾波器的頻率響應與原來模擬濾波器的頻率響應相差很大 (2)不能用來設計高

17、通和帶阻濾波器。只適用于限帶的低通、帶通濾波器2.2.7雙線性變換法存在的非線性頻率失真和優缺點分析 如仿真波形圖可知，在零頻率附近，的頻率變換關系接近線性關系外，當增加時，變換關系就是非線性的了，也就是說，與之間存在嚴重的非線性關系。這就是雙線性變換法存在的非線性頻率失真。優點：(1)避免了頻率響應的混迭失真現象 (2)在特定數字濾波器和特定模擬濾波器處，頻率響應是嚴格相等的，它可以較準確地控制截止頻率的位置。 (3)它是一種簡單的代數關系，設計十分方便。缺點：（1)除了零頻率附近，與之間嚴重非線性，即線性相位模擬濾波器變為非線性相位數字濾波器 (2)要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型，不

18、然會產生畸變 (3)對于分段常數型AF濾波器，經雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的DF.但在各個分段邊緣的臨界頻率點產生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預畸變加以校正。2.3 題三3. 設計一個10階的Butterworth濾波器，通帶為100250Hz，采樣頻率為1000Hz，繪出濾波器的單位脈沖響應。2.3.1設計原理分析由題目可知，要求設計一個10階的帶通的巴特沃斯濾波器，理論上所用的方法可以是先設計出模擬低通濾波器，再轉變成數字帶通濾波器。然而，這里我們可以直接利用butter函數直接設計IIR數字帶通濾波器。 用于設計高通、帶通或帶阻濾波器，并由參數ftype確定濾波器的形式。

19、當ftype（2）=band (默認值) 時，為帶通濾波器，此時n =l ，h，則返回的b，a 所構成的濾波器是階次為2N的帶通濾波器，帶通范圍為：。2.3.2 程序理論分析b,a=butter(n,h);設計截止頻率為h的n階低通模擬巴特沃斯濾波器。y,t=impz(b,a,101);b,a分別為濾波器傳遞函數分子和分母的系數向量，N表示沖激響應輸出的序列個數2.3.3 程序代碼圖 2.3.1 題三程序2.3.4 運行結果 圖2.3.2 運行結果3.設計分析 數字濾波器分為IIR數字濾波器和FIR數字濾波器。IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經常采用

20、的第一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法來進行。這一類方法相對容易一些，這是因為模擬濾波器設計方法已經很成熟，它不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表可供查閱，并且還有一些典型的濾波器類型可供設計者使用。另一類設計方法是直接在頻域或者時域中進行設計，由于要解聯立方程，設計時則需要計算計做輔助設計。而FIR濾波器不能采用先設計模擬濾波器然后在轉換為數字濾波器的方法，經常使用的設計方法窗函數法和頻率取樣法，還有一種比較有效的方法是切比雪夫等波紋逼近法，需要通過計算機輔助設計來完成。 本次課設要設計的是數字Butterworth濾波器，而設計的內容分為三步：先設計一個低通巴特沃斯模擬濾波器，然后將模擬低通轉換為數字低通濾波器，最后完成設計一個10階的Butterworth帶通濾波器。通過這次課程設計就是要我們掌握IIR濾波器第一類設計方法的步驟。 4. 心得體會 通過這次課程設計，我對數字信號處理這一課程有了進一步認識和了解。對于巴特沃斯濾波器的設計原理和方法有了更深刻的理解。在課程設計的過程中，我學到了很多東西，比如設計濾波器的一些基本函數的用法，各種模擬濾波器的特性，設計濾波器的一些基本方法。但更為重要的是，我對于解決一個問題的思路更加清晰，找到了屬于自己的方法。