1、第十章 統(tǒng)計與概率內(nèi)容分析統(tǒng)計與概率的內(nèi)容在新課程中得到了較大重視，成為了和數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、綜合與實踐并列的四部分內(nèi)容，而統(tǒng)計則成為這一部分內(nèi)容的重點。統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計學(xué)就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學(xué)和藝術(shù)” 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象M.東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第147頁。第一節(jié) 統(tǒng)計與概率課程的內(nèi)容主線如前所述，核心概念是理解數(shù)學(xué)課程的基本線索，標準中將數(shù)據(jù)分析觀念作為了核心概念，為理解這部分內(nèi)容的主線提供了重要指導(dǎo)。在標準中，將數(shù)據(jù)分析觀

2、念解釋為：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。”基于這些闡述，可以將統(tǒng)計與概率課程的內(nèi)容主線確定為如下幾個方面。 一、數(shù)據(jù)分析過程使學(xué)生樹立數(shù)據(jù)分析的觀念，最有效地方法是使他們投入到數(shù)據(jù)分析的全過程中去。在此過程中，學(xué)生將不僅僅學(xué)習(xí)一些必要的知識和方法，同時將體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，提高自己運用數(shù)據(jù)分析問題、解決問題的能力。為此，

3、標準在三個階段都提出了相應(yīng)的要求，這也成為了統(tǒng)計內(nèi)容的首要主線。在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計算器）”；在第三階段中提出“經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)”。從這些要求中不難看出：第一，數(shù)據(jù)分析的過程可以概括為：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。第二，學(xué)段的要求逐步深入。從第一學(xué)段到第三學(xué)段，隨著年齡的增長，學(xué)生將逐步經(jīng)歷更加完整的數(shù)據(jù)分析過程；在要求上第一學(xué)段、第二學(xué)段都提出了經(jīng)歷“簡單的”過程，第三學(xué)段則去掉了這個限制。第三，從第二學(xué)段開

4、始使用計算器來處理數(shù)據(jù)，第二學(xué)段可以使用計算器來處理數(shù)據(jù)，第三學(xué)段則要求能使用計算器。下面，我們以標準的例子來進一步體會這條主線的內(nèi)涵及要求。在三個學(xué)段，標準都舉了對全班同學(xué)的身高進行分析的例子，并且鼓勵學(xué)生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，根據(jù)不同學(xué)段的特點對于數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，提取信息，從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程。具體闡述和要求如下。案例1 三個學(xué)段中對于數(shù)據(jù)分析過程的例子第一學(xué)段（標準例19）：對全班同學(xué)的身高進行調(diào)查分析。說明 學(xué)校一般每年都要測量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點，要求可以有所不同。希望學(xué)生把

5、每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。第二學(xué)段（標準例38）： 對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。說明 在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進行初步分析。在這個學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的

6、什么位置。第三學(xué)段（標準例70）： 比較自己班級與別的班級同學(xué)的身高狀況。說明對于兩個班級學(xué)生身高狀況比較，通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差。進一步，可以引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入地進行數(shù)據(jù)分析，可以要求學(xué)生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導(dǎo)學(xué)生討論，通過直方圖是否能得到更多的信息。二、數(shù)據(jù)分析方法掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的方法，無疑是統(tǒng)計課程內(nèi)容的第二條主線。1收集數(shù)據(jù)的方法在收集

7、數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。在第一、第二學(xué)段中，學(xué)生收集的基本都是總體數(shù)據(jù)；而在第三學(xué)段中，學(xué)生將開始學(xué)習(xí)抽樣，體會抽樣的必要性，通過實例了解簡單隨機抽樣。數(shù)據(jù)的來源有兩種，一種是現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，一種是需要自己收集的數(shù)據(jù)。在義務(wù)教育階段兩種來源都應(yīng)該讓學(xué)生有所體驗，特別是自己收集的數(shù)據(jù)。常用的收集數(shù)據(jù)方法包括調(diào)查、試驗、測量、查閱資料等。學(xué)生應(yīng)該對收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗。為此，標準在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法”；在第二學(xué)段提出“會根據(jù)實際問題設(shè)計簡單的調(diào)查表，能選擇適當?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗、測量）收集數(shù)

8、據(jù)”“能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。2整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法當人們收集了一堆數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來比較雜亂，這就需要來整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)進行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運用統(tǒng)計圖表等直觀地表示出來，并加以適當?shù)姆治觯瑸槿藗冏鞒鰶Q策和推斷提供依據(jù)。在第一學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)分類的方法，分類是整理數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的開始。在此基礎(chǔ)上，能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，而不學(xué)習(xí)正式的統(tǒng)計圖表或統(tǒng)計量。這一點與以往不同，也是非常重要的。有研究表明，早期經(jīng)驗的多樣化，有助于兒童建立進一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗和興趣。在此基

9、礎(chǔ)上“通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，體會運用數(shù)據(jù)進行表達與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊涵信息”。在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等常見的統(tǒng)計圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量平均數(shù)。在第三學(xué)段，學(xué)生將了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖。繼續(xù)學(xué)習(xí)刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量中位數(shù)和眾數(shù)，以及刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量極差、方差。并且體會樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差。需要指出的是，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生運用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是

10、單純地名詞、計算方法等的掌握。這里不妨看一下標準中對于案例38的說明：“條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢”，因此需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖。總之，“統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標準是好壞”史寧中.數(shù)學(xué)思想概論數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象M.東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第143頁，而不是“對錯”。三、數(shù)據(jù)的隨機性我們知道，推斷性數(shù)據(jù)分析的目的是要通過數(shù)據(jù)來推測產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景，稱這個背景為總體。我們假定總體是未知的，我們的目的是通過樣本來

11、推斷總體。而在調(diào)查或者實驗之前，我們不可能知道數(shù)據(jù)的具體取值。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機性的由來。在標準中將數(shù)據(jù)隨機作為了數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵之一。數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個標準中的例子（例40）：袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。再舉一個案例（例2

12、2），學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間。不少老師有這樣的一個困惑，概率也是研究隨機現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機性呢？實際上，統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的學(xué)科。“不論怎么說，機遇（或說偶然性)無所不在，機遇伴隨著人的一生(當然隨人的情況而有異)，這是一個無法回避的現(xiàn)實” 陳希孺.機會的數(shù)學(xué)M.北京：清華大學(xué)出版社，廣州：暨南大學(xué)出版社，200

13、0：3。統(tǒng)計與概率正是從不同的角度研究如何刻畫隨機現(xiàn)象，統(tǒng)計側(cè)重于從數(shù)據(jù)來刻畫隨機，概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機這樣說是否準確。鼓勵學(xué)生運用數(shù)據(jù)來體會隨機，更能體會隨機的特點。下面是課程標準修訂組組長史寧中教授的回答史寧中、張丹、趙迪“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議J課程教材教法，2008，（6）。“我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是，然后讓學(xué)生通過反復(fù)擲硬幣去驗證這個結(jié)果（）。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是，這是數(shù)學(xué)（或者稱為概率）。這個是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學(xué)生做

14、了很多次實驗也得不到，反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學(xué)隨機，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機觀念。需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統(tǒng)計的思想來做實驗。統(tǒng)計是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計上就會這樣設(shè)計實驗：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計算出現(xiàn)正面的比例（頻率），然后用頻率來估計一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個可能性接近的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計的思想。對于先給出定義，教師往往比較習(xí)慣，而對于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下摸球的例子。同樣是一個袋子里有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學(xué)生

15、通過摸來驗證出現(xiàn)白球的可能性是、出現(xiàn)紅球的可能性是，這不是統(tǒng)計。統(tǒng)計是這樣的，告訴學(xué)生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們?nèi)ッ揭欢ǔ潭鹊臅r候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球，這個是統(tǒng)計的過程。我并不是反對前一種教法本身，而是說如果這么教，蘊含的隨機思想并不強，學(xué)生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實驗。而后來的這種教法，學(xué)生體會到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學(xué)生既體會了隨機，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊

16、含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動學(xué)生也會很有興趣”。實際上這種“猜謎”絕不是“瞎猜”，在標準案例40的說明中給出了這種推斷背后的科學(xué)依據(jù)，也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數(shù)下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。在第三學(xué)段，學(xué)生開始學(xué)習(xí)抽樣，體會樣本和總體的關(guān)系，這實際上也是幫助學(xué)生體會數(shù)據(jù)的隨機性的重要內(nèi)容。同時，標準還利用案例闡述了在第二學(xué)段、第三學(xué)段的不同要求。在上面提到的摸球游戲中，在第二學(xué)段“通過摸球，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數(shù)據(jù)的隨機性。進一步通過統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量，可以估計袋中是白球多還是紅球多。在不確定的基礎(chǔ)上，體會規(guī)律

17、性”。在第三學(xué)段“在第二學(xué)段的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以估計袋中白球數(shù)量和紅球數(shù)量的比，進一步體會規(guī)律性。教師可以進一步鼓勵學(xué)生思考：給出了袋中兩種顏色球的總數(shù)，如何估計白球和紅球各自的數(shù)量”。另外，在第三學(xué)段，標準還提出了“通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢”，并給出了案例71。案例71刻畫的是變量之間的隨機關(guān)系，即年份與GDP是有關(guān)系的，但這種關(guān)系是不確定的。因為描點呈現(xiàn)線性增長趨勢，可以進一步引導(dǎo)學(xué)生利用直線來表示這種趨勢。教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生嘗試大致畫出這條直線，比如有的學(xué)生會根據(jù)直線兩側(cè)的點要基本相同來描出此直線，并由此預(yù)測未來經(jīng)濟發(fā)展，感悟一些隨機現(xiàn)象的規(guī)律性。對于直線方程如

18、何求得，則不做要求。四、隨機現(xiàn)象及簡單隨機事件發(fā)生的概率在這次課程標準修訂中，學(xué)生在第一學(xué)段中將不再學(xué)習(xí)概率，主要理由是在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計的重要性是大于概率的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念是這部分內(nèi)容的核心。即使對于隨機的學(xué)習(xí)，如前所述，標準中也提出運用數(shù)據(jù)分析來體會隨機性。從第二學(xué)段開始，標準安排了概率的學(xué)習(xí)，并且根據(jù)學(xué)生年齡特點，第二學(xué)段稱為“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”，第三學(xué)段稱為“事件的概率”。在概率學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生了解隨機現(xiàn)象是重要的。在義務(wù)教育階段，所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單隨機事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。在第二學(xué)段，要求學(xué)生“了解簡單的隨機現(xiàn)象的實例，能

19、列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果”，并“能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述”。在第三學(xué)段，要求“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，從而了解并獲得事件的概率”；同時，知道“通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率”。第二節(jié) 具體內(nèi)容分析 “統(tǒng)計與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發(fā)生的概率。實際上，數(shù)據(jù)分析可以分為描述性統(tǒng)計分析和推斷性統(tǒng)計分析。描述性數(shù)據(jù)分析是通過

20、集中趨勢、離散程度、圖形表示等對來刻畫數(shù)據(jù)；而推斷性統(tǒng)計分析是利用樣本的數(shù)據(jù)去推測總體的情況。由此可見，第一、二學(xué)段學(xué)生主要學(xué)習(xí)的是描述性統(tǒng)計分析 雖然在標準第一學(xué)段例22、第二學(xué)段例40中，涉及了一些推斷性數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容，但主要目的是使學(xué)生體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，感悟數(shù)據(jù)的隨機性。所以可以說，第一、二學(xué)段學(xué)生處理的基本上是總體數(shù)據(jù)。，第三學(xué)段開始接觸推斷性統(tǒng)計分析。為了使老師們對于這部分的主要內(nèi)容有全面把握，下面將三個學(xué)段進行整體介紹。考慮再三，還是覺得不分第一、二學(xué)段和第三學(xué)段好。因為，與數(shù)與代數(shù)、空間與圖形不一樣，統(tǒng)計與概率的內(nèi)容比較少，分開學(xué)內(nèi)容都不多。而很多東西都是三個學(xué)段貫穿始終的，

21、對于老師而言也需要整體把握三個學(xué)段內(nèi)容。一、抽樣和簡單隨機抽樣抽樣是第三學(xué)段統(tǒng)計課程的一個重要內(nèi)容。如前所述，推斷性統(tǒng)計分析是利用樣本的數(shù)據(jù)去推測總體的情況，在第三學(xué)段學(xué)生將對此進行初步感受。首先，學(xué)生需要在實際問題中體會抽樣的必要性。進一步，如何抽樣獲取“好”的數(shù)據(jù)呢？所謂“好”的數(shù)據(jù)是指那些能夠更加客觀地反映實際背景的數(shù)據(jù)。為了獲取好的數(shù)據(jù)，我們需要盡可能多地利用對于實際背景已有的了解。如果對于實際背景一無所知，那么，一定要隨意抽取樣本，保證每個個體被抽到的概率相同，這便是“簡單隨機抽樣”。對于簡單隨機抽樣，標準要求通過實例加以了解，并在下面的案例中給出了具體要求。案例2（標準例67）：

22、設(shè)計調(diào)查方法。了解本年級的同學(xué)是否喜歡某電視劇。調(diào)查的結(jié)果適用于學(xué)校的全體同學(xué)嗎？適用于全地區(qū)的電視觀眾嗎？如果不適用，應(yīng)當如何改進調(diào)查方法？說明 對于許多問題，不可能、有時也不必要得到與問題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，只要得到一部分數(shù)據(jù)（樣本）就可以對于總體的情況進行估計。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問題，則估計就會準確一些，否則估計就會差一些。因此，我們希望尋找一個好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問題。在本學(xué)段，主要學(xué)習(xí)簡單隨機抽樣方法，這是收集數(shù)據(jù)中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過隨機的方法得到的。因為同一個年級的學(xué)生差異不大，采用簡單隨機抽樣方法比較合適。可以在上學(xué)

23、時在學(xué)校門口隨機問訊，也可以按學(xué)號隨機問訊。為了分析方便，需要把問題數(shù)字化，如喜歡這部電視劇的記為1，不喜歡的記為0。對于這樣的問題，問訊學(xué)生數(shù)不能少于20人，取4050人比較合適，取更多的學(xué)生當然更好，但需要花費更多的精力。由此可見，一個好的抽樣方法不僅希望“精度高”還希望“花費少”。假設(shè)問訊的學(xué)生數(shù)為n,記錄數(shù)據(jù)的和為m（顯然，m為喜歡這部電視劇的人數(shù)），則調(diào)查結(jié)果說明，學(xué)生中喜歡這部電視劇的比例為。我們依此估計本年級的同學(xué)中喜歡這部電視劇的比例。用這個數(shù)據(jù)估計全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的比例是不合適的，因為學(xué)生、成年人、老年人喜歡的電視劇往往不同。為了對全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇

24、的情況進行估計，可以采用分層抽樣方法，比如依據(jù)年齡分層，需要知道各年齡段人口的比例，按照比例數(shù)分配樣本數(shù)，而在各個層內(nèi)則采取隨機抽樣；或者依據(jù)職業(yè)分層，等等。教師應(yīng)該了解分層抽樣，在本學(xué)段學(xué)生只需學(xué)習(xí)簡單隨機抽樣方法。二、圖形表示統(tǒng)計圖是描述數(shù)據(jù)的重要手段，可以直觀地表示數(shù)據(jù)。在第二學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的是條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖（在第二學(xué)段要求會看，第三學(xué)段要求會畫）；在第三學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的是頻數(shù)直方圖。其中，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同“條”所代表的數(shù)量及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同部分占整體的百分比及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解變化的情況，預(yù)測未來的趨勢。頻數(shù)直方圖和條形統(tǒng)計

25、圖都可以直觀地表示出具體數(shù)量，它們的區(qū)別主要體現(xiàn)在：第一，條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)的多少，其寬度（表示類別）則是固定的；直方圖是用面積表示各組頻數(shù)的多少，矩形的高度表示每一組的頻數(shù)，寬度則表示各組的組距，因此其高度與寬度均有意義。第二，頻數(shù)直方圖表示的是連續(xù)分組數(shù)據(jù)，直方圖中的各矩形通常是連續(xù)排列；而條形統(tǒng)計圖表示的是離散數(shù)據(jù)，各矩形通常是分開排列。第三，條形圖是直觀地顯出具體數(shù)據(jù)，直方圖是表現(xiàn)頻數(shù)的分布情況。看下面的一個例子史寧中.數(shù)學(xué)思想概論數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象M.東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第159頁：案例3 頻數(shù)分布對某一品種的樹苗進行調(diào)查，隨機抽取了100株，測量了

26、樹木的直徑。測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)：最小直徑大于6.5cm，最大直徑小于17.5cm。于是從6.5 出發(fā)，每隔1cm做一個區(qū)間，到17.5正好11個曲線，分別用數(shù)字7，8，17表示，再記錄直徑在每一個區(qū)間的樹木的株數(shù)，得到下列數(shù)據(jù)（第一個數(shù)表示樹的直徑所在的區(qū)間，第二個數(shù)表示區(qū)間中樹木的株數(shù)：（7，2）（8，5）（9，8）（10，10）（11，13）（12，26）（13，12）（14，9）（15，8）（16，4）（17，3）將上面的數(shù)據(jù)制成頻數(shù)直方圖（如圖1），這樣就可以直觀地看出在哪個區(qū)間的樹木比較多，可以分析數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，比如在圖1中的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)“中間多、兩邊少、基本對稱”的趨勢。在圖1中，我們還能

27、比較清晰地判斷出，有50%以上的樹苗的直徑是在10.5cm到12.5cm之間，這是很重要的信息，因為這個信息告訴了數(shù)據(jù)大體的取值范圍。圖1對于統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)，提出幾點需要注意的：第一，不要急于引入正規(guī)統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段標準要求鼓勵學(xué)生用自己的方式來描述數(shù)據(jù)。第二，在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會各種統(tǒng)計圖的特點，能根據(jù)實際問題選擇合適的統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)。第三，鼓勵學(xué)生讀懂媒體中的一些統(tǒng)計圖表。第四，鼓勵學(xué)生從統(tǒng)計圖中獲取盡可能地有用信息。這個問題也是大家普遍困惑的，到底引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面來“讀圖”呢。Curcio (1987 )把學(xué)生對數(shù)據(jù)的“讀取”分為三個水平：（1）數(shù)據(jù)本身的讀取（r

28、eading the data），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀取（reading between the data），包括插入和找到圖表中數(shù)據(jù)的關(guān)系。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對數(shù)據(jù)進行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀取（reading beyond the data），包括通過數(shù)據(jù)來進行推斷預(yù)測推理，并回答具體的問題。在實際教學(xué)中，教師已經(jīng)開始重視鼓勵學(xué)生嘗試由信息來進行預(yù)測。但是，在教學(xué)中還存在了一些誤區(qū)。比如，筆者曾經(jīng)遇到過不止一次這樣的案例：如圖2，教師鼓勵學(xué)生根據(jù)某女生出生到12歲的身高，由此去

29、預(yù)測這個學(xué)生15歲的身高（圖2到圖7中縱軸的身高單位為厘米）。 圖2有的學(xué)生（雖然是很少數(shù)）脫離了數(shù)據(jù)去進行“預(yù)測”：“我覺得她應(yīng)該能長到190厘米，因為我希望她去打籃球”。就是基于數(shù)據(jù)，學(xué)生也有五花八門的答案，有的說：“8歲到10歲長了10厘米，10歲到12歲長了24厘米，照這個趨勢12到14歲要長30多厘米，我估計她到15歲要到2米了”；有的說：“8歲到10歲長了10厘米，10歲到12歲長了24厘米，12歲到14歲又會回到長10厘米，我估計她到15歲快到180厘米”；還有的說：“到12歲就不怎么長了，我估計她到15歲差不多170厘米。”面對五花八門的答案，教師也覺得都有道理，不知如何引導(dǎo)。

30、 這里需要注意兩點。第一，預(yù)測需要基于數(shù)據(jù)。對于脫離數(shù)據(jù)進行“預(yù)測”的學(xué)生，要引導(dǎo)他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個預(yù)測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候為了更合理地預(yù)測，需要我們收集更多的數(shù)據(jù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：幾個學(xué)生的想法都有道理，但是要比較合理地預(yù)測，還需要我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經(jīng)和她差不多情況的人15歲的身高來幫助預(yù)測；或者把她與當?shù)嘏骄砀哌M行對比，看看12歲與平均身高的對比情況，由此預(yù)測15歲與平均身高的對比情況。當然，無論哪種預(yù)測都不能肯定是正確的，但會比單純依靠這個學(xué)生以前的情況進行預(yù)測要合理。進一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學(xué)生實際去做。在這樣的思考下，一

31、位老師做了如下的設(shè)計： 執(zhí)教者 北京大學(xué)附屬實驗小學(xué) 李寧案例4根據(jù)統(tǒng)計圖來進行“三次”預(yù)測第一次，教師呈現(xiàn)小婷（女生）出生到12歲的身高數(shù)據(jù)（如圖2），鼓勵學(xué)生預(yù)測她15歲的身高。和前面敘述的一樣，學(xué)生基于這個數(shù)據(jù)給出了不同答案。教師沒有就此結(jié)束，而是給出了小婷15歲的身高，引起學(xué)生的反思：“實際上，小婷今年已經(jīng)15歲了，她的身高是168厘米”，并得到圖3。圖3在此基礎(chǔ)上再鼓勵學(xué)生預(yù)測小婷18歲的身高。學(xué)生發(fā)現(xiàn)小婷1215歲增長的幅度不大，由此推斷1518歲增長的幅度也會不大。那么是這樣嗎？有的學(xué)生提出可以找一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們18歲時的身高。根據(jù)學(xué)生的想法，教師呈現(xiàn)了如下三

32、個女生的身高（如圖4，圖5，圖6）鼓勵學(xué)生進行第二次預(yù)測。 圖4 圖5 圖6學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然她們的身高具體數(shù)值不同，但1518歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預(yù)測小婷到18歲很可能只比15歲時增長2厘米左右，即她18歲的身高在170厘米左右。還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)小婷的身高值與圖6所表示的女生比較接近，并且比這個女生略矮一些，由此根據(jù)這個女生18歲171厘米預(yù)測小婷170厘米。進一步，有的學(xué)生提出只有這三個女生的數(shù)據(jù)是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數(shù)據(jù)。于是，教師給出了北京城市女生平均身高統(tǒng)計圖（如圖7），鼓勵學(xué)生進行第三次預(yù)測.圖7學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)也有這個趨勢：15到18歲的

33、身高增長的不多，由此預(yù)測小婷的身高是170厘米左右。有的學(xué)生則根據(jù)15歲時小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估計小婷18歲時也要多6厘米，所以是169厘米左右。當然，這些預(yù)測也并不能保證一定正確。以上“三次預(yù)測”的案例是鼓勵學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取合理信息的有益嘗試，在實踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵學(xué)生有效獲取信息的策略，這也構(gòu)成了需要進一步研究的問題。三、集中趨勢和離散程度目前標準要求的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，它們都是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量。有了這些量，不僅可以表述調(diào)查對象的集中趨勢，還可以用來對不同的總體進行比較，比如可以比較同一年級不同地區(qū)學(xué)生的平均身高。對于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的

34、學(xué)習(xí)，不僅僅要學(xué)習(xí)如何計算，而且要設(shè)計合適的情境，使學(xué)生“了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述”。教師們困惑的問題，這三個量之間到底有什么區(qū)別，什么時候該用什么統(tǒng)計量？其實，我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的（如圖8）。 圖8只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對稱）的情況下，才會出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個統(tǒng)計量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴重的話，可以用中位數(shù)。這也就是我們常說的平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響。這里不妨看一下標準中的例子。案例5（標準案例68）：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù) 某個公司有15名工作人員，

35、他們的月工資情況如下表。計算該公司的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并分別解釋結(jié)果的實際意義。職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員人數(shù)1212月工資/元50002000800 說明 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的方法，因為方法不同，得到的結(jié)論也可能不同。很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說，能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些。在這組數(shù)據(jù)中有差異較大的數(shù)據(jù)，這會導(dǎo)致平均數(shù)較大，因此，用中位數(shù)或眾數(shù)要比用平均數(shù)更客觀一些。不難計算出該公司月工資的中位數(shù)和眾數(shù)均為800元。而月工資的平均數(shù)= 加權(quán)平均（可以看成是加權(quán)平均） = 5000×+2000×+800

36、15;= 1240（元）。因此，加權(quán)平均往往就是總體平均，其中的權(quán)是數(shù)據(jù)對應(yīng)的比例。但是，平均數(shù)具有許多優(yōu)點，與中位數(shù)和眾數(shù)相比，平均數(shù)能更多地利用所有數(shù)據(jù)的信息。除此之外，在數(shù)學(xué)上還有一個原因：假設(shè)我們得到了2個數(shù)據(jù)，令為平均數(shù)，利用中學(xué)的知識就可以證明：是與這2個數(shù)據(jù)差的平方和達到最小的實數(shù)，即對任意的實數(shù)有。 具體證明過程參看標準中的案例79。“這說明了進行數(shù)據(jù)分析時經(jīng)常使用平均數(shù)的理由：使誤差平方和達到最小，也就是說利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。而利用中位數(shù)代表數(shù)據(jù)，是使一次損失（誤差絕對值的和）最小”史寧中、張丹、趙迪“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學(xué)建議J課程教材教法，2008

37、，（6）。而我們都知道，二次函數(shù)有著很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，所以人們選擇用平均數(shù)來進行研究，在義務(wù)教育階段更加注重平均數(shù)的教學(xué)是有道理的。因此，標準在第二學(xué)段只安排了平均數(shù)的學(xué)習(xí)，而將中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)放在了第三學(xué)段。只是依賴集中趨勢是不足以表述數(shù)據(jù)特征的，比如分析標準中案例68、案例69中的兩組數(shù)據(jù)，這兩個公司的月平均工資雖然都是1240元，但顯然兩個公司的工資的差異是不一樣的，由此使學(xué)生“體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義”。最簡單的表述離散程度的量是極差，但它沒有考慮中間那些數(shù)據(jù)所提供的信息。在現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中，經(jīng)常使用方差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。有了方差以后，就可以進一步分析兩個公司的工資情況。四、隨機事件

38、及其發(fā)生的概率1隨機現(xiàn)象的特點及概率的古典定義概率是研究隨機現(xiàn)象的科學(xué)。如前所述，在義務(wù)教育階段，所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單隨機事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。在第二學(xué)段，標準首先要求“具體情境中，感受簡單隨機現(xiàn)象的實例這句話好象不太通。不知標準是否修改了。”，感受其在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗，其試驗結(jié)果不確定，以至于在試驗之前無法預(yù)料哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，“能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果”，這里所涉及的現(xiàn)象（類似于案例41）都是比較簡單的，學(xué)生能夠直接列出所有可能發(fā)生的結(jié)果，并且感受到每個結(jié)果發(fā)生的可能性是一樣大的。進一步，能對一些簡單的隨

39、機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流。在第三學(xué)段，所涉及的現(xiàn)象相對比較復(fù)雜，學(xué)生需要通過“列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果”。特別地，學(xué)生將從對可能性的定性描述，到刻畫簡單隨機事件發(fā)生的概率，即定義事件x=k發(fā)生的概率為： 使得x=k發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)P（x=k）= 所有可能結(jié)果數(shù)這個定義被稱為概率的古典定義。看下面的例子：案例6 小明和小紅在做擲硬幣的游戲。任意擲一枚硬幣兩次，如果兩次朝上的面相同，那么小明獲勝；如果兩次朝上的面不同，那么小紅獲勝。這個游戲公平嗎？在計算概率的時候，學(xué)生將運用自己的方法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。如學(xué)生可

40、以分別用正, 反代表硬幣的兩個面，則可能出現(xiàn)的結(jié)果是： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）學(xué)生可以列成表： 正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反） 學(xué)生可以畫出樹狀圖： 擲第一次 擲第二次 所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 正 （正，正） 正 反 （正，反） 開始 正 （反，正） 反 反 （反，反）每種結(jié)果的概率都相等，都是1/4，所以兩次朝上面相同和不同的概率都是1/2。學(xué)生將得到這個游戲?qū)﹄p方是公平的，由此體會概率的意義和作用。這里需要強調(diào)的是，義務(wù)教育階段概率課程更重要的目標是體會概率的意義和作用，而不僅僅是計算一些事件發(fā)生的概率。因此，不能將這部分內(nèi)容處理成單純計算的內(nèi)容，而應(yīng)

41、關(guān)注在實際問題中學(xué)生對概率意義的理解。至于概率的古典定義學(xué)生在具體實例中了解即可，不用一般地給出。2頻率估計概率在第三學(xué)段中，標準還提出了“知道通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率”的要求。實際上，隨機現(xiàn)象表面看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個結(jié)果事先無法預(yù)料，但當我們大量重復(fù)實驗時，實驗的每一個結(jié)果都會呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性。學(xué)生將在具體的實驗活動中，對頻率與概率之間的這種關(guān)系進行體會，知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值。為此，可以設(shè)計下面的活動：案例7（1）每人擲一枚均勻的硬幣10次，分別記錄下正面朝上和反面朝上的次數(shù)； （2）將全班數(shù)據(jù)逐次進行匯總，并完成圖9（用線連接各點）：圖9

42、 硬幣正面朝上的頻率統(tǒng)計圖（3）在圖9中，用彩色筆畫出表示頻率為1/2的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？ （4）表1是歷史上數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的實驗數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)支持你的發(fā)現(xiàn)嗎？表1 歷史上數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的實驗數(shù)據(jù)實驗者投擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)k正面出現(xiàn)的頻率k/n蒲豐 4 040 2 0480.506 9德 · 摩根 4 092 2 0480.500 5費勒10 000 4 9790.497 9皮爾遜12 000 6 0190.501 6皮爾遜24 00012 0120.500 5羅曼諾夫斯基80 64039 6990.492 3條件允許的話，還可以在計算器上利用隨機數(shù)或計算機上模擬擲硬幣的

43、實驗，以提供大量的實驗數(shù)據(jù)，更好地使學(xué)生體會頻率與概率的關(guān)系。但需要指出的是，利用計算器或計算機模擬概率實驗，應(yīng)建立在學(xué)生親身實踐這些實驗并獲得比較豐富的直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上。進一步，可以鼓勵學(xué)生利用頻率與概率的關(guān)系解釋生活中的一些問題。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生討論“明天的降水概率為80%”的涵義，學(xué)生通過討論將知道明天下雨的可能性比較大，雖然有可能明天不下雨，但帶傘應(yīng)是非常明智的作法。還可以根據(jù)情況向?qū)W生介紹，明天降水概率為80%意味著：在100次類似于明天的天氣條件（如氣溫、濕度、氣壓）下，歷史記錄告訴我們，大約有80天會下雨。至于頻率穩(wěn)定在概率的具體數(shù)學(xué)涵義，不宜作為義務(wù)教育階段學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在

44、了解了頻率與概率的關(guān)系后，學(xué)生就知道了大量重復(fù)實驗時頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計值，并可以利用這種方法來估計一些事件發(fā)生的概率。看下面的一個例子：案例8小明用瓶蓋設(shè)計了一個游戲：任意擲出一個瓶蓋，如果蓋面著地則甲勝；如果蓋口著地則乙勝。你認為這個游戲?qū)住⒁译p方公平嗎？做一做這個游戲。這個問題需要全班合作盡可能多地獲取實驗數(shù)據(jù)，并分別計算蓋面著地和蓋口著地的頻率，以此確定這個游戲是否公平。學(xué)生在實驗的過程中，將進一步體會隨機現(xiàn)象的特點（某次實驗結(jié)果的不確定性和大量實驗結(jié)果的規(guī)律性）。第三節(jié) 需要處理好的幾個問題統(tǒng)計與概率的研究對象是數(shù)據(jù)和隨機現(xiàn)象，這與數(shù)與代數(shù)是不同的。因此，教學(xué)中就應(yīng)該注重

45、這部分內(nèi)容獨特的思想方法和教育價值。一、把握核心概念進行教學(xué)如前所述，數(shù)據(jù)分析觀念是統(tǒng)計與概率內(nèi)容的核心概念。而由于這部分內(nèi)容與實際生活有著密切的聯(lián)系，因此發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識也是重要的目標。因此，教學(xué)應(yīng)緊緊圍繞數(shù)據(jù)分析觀念、應(yīng)用意識展開。1發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念在標準中，數(shù)據(jù)分析觀念包含著三層意思：第一，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；第二，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；第三，通過數(shù)據(jù)分析，感受數(shù)據(jù)的隨機性。關(guān)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，在第一節(jié)已經(jīng)詳細敘述，并且還將在下面的第二、第三、第四點涉及，這里就不贅述了。2發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計貼近學(xué)生生活的

46、情境，使他們經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程，逐步發(fā)展應(yīng)用意識。在教師新課程實踐中，已經(jīng)積累了在統(tǒng)計教學(xué)中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的教學(xué)策略，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。（1）設(shè)計問題情境使學(xué)生體會需要收集數(shù)據(jù)例如，可以設(shè)計學(xué)生所熟悉的“組織體育比賽”等活動。為了更好地組織比賽，需要調(diào)查全班同學(xué)最喜歡的體育活動，由此鼓勵學(xué)生收集數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出決定：“你認為你們班最好組織什么比賽”，以體會統(tǒng)計的必要性。在這里需要注意的是， “組織什么比賽好呢”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生就“好”開展討論，以確定“好”的標準，如組織的比賽是使盡可能多的學(xué)生喜歡，那么我們就需要“去問同學(xué)最喜歡什么

47、活動。”總之，教師需要自己善于收集和積累生活中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)學(xué)生的特點加以有效改造，設(shè)計成學(xué)生可以學(xué)習(xí)的情境。來看下面的一個例子。案例9折線統(tǒng)計圖的應(yīng)用 執(zhí)教者：北京市西城區(qū)阜成門外第一小學(xué) 劉國朝片段1：上課伊始，教師請同學(xué)們欣賞一首詩:春風吹細柳，夏日荷花紅。秋季楓葉美，冬雪壓青松。請同學(xué)們說一說這首詩描寫的是什么情景？描寫四季不同的情景還可以用什么形式？學(xué)生們談到可以是音樂、美術(shù)。教師又請同學(xué)們欣賞了春夏秋冬的四季的景色，如下圖。導(dǎo)入：數(shù)學(xué)知識是怎樣表現(xiàn)四季和溫度的不同的變化的呢？然后鼓勵學(xué)生思考如何運用數(shù)學(xué)知識表現(xiàn)四季和溫度的不同變化。由此引入到可以用每月平均氣溫來進行刻畫，以體會數(shù)據(jù)

48、的作用以及數(shù)學(xué)刻畫問題和其他學(xué)科的不同。片段2：在學(xué)生對折線統(tǒng)計圖進行了初步練習(xí)和應(yīng)用后，提供給北京和悉尼月平均氣溫的折線圖，如圖10。圖10鼓勵學(xué)生能從上圖中獲取兩座城市每月的平均氣溫，以及氣溫的變化情況。進一步，教師鼓勵學(xué)生思考：“悉尼為什么在2000年9月15日10月1日召開夏季奧運會？北京將在2008年召開夏季奧運會，請你為召開的夏季奧運會定一個時間，并說出理由。”在討論中學(xué)生又一次感受到數(shù)據(jù)是人們做出決策的重要依據(jù)。（2）分析數(shù)據(jù)能幫助人們做什么還可以在數(shù)據(jù)整理完畢以后，有一個反思的過程，討論這些數(shù)據(jù)能夠幫助我們解決什么問題？下面提供一個案例。案例10老師組織大家調(diào)查班級同學(xué)的身高情

49、況，把數(shù)據(jù)調(diào)查出來以后，進行了分析。最后老師鼓勵學(xué)生思考：看到這些身高的數(shù)據(jù)，它們能幫助我們解決什么問題。生1：我可以了解到我們班同學(xué)的身高情況。我可以知道我自己的身高在班內(nèi)處于什么情況。生2：我們班有8歲的有9歲的，我今年8歲，看到9歲同學(xué)的身高就可以先預(yù)測一下我到9歲時大概多高。生3：學(xué)校可以根據(jù)我們班的身高情況確定我們課桌椅的高度。在這個案例中，數(shù)據(jù)收集完畢以后教師組織了一個討論，除了根據(jù)身高數(shù)據(jù)分析誰高誰矮以外，這些數(shù)據(jù)能幫助人們解決什么問題。所以，有的學(xué)生想到能幫助自己預(yù)測身高，還有的同學(xué)想到桌椅高度與身高的數(shù)據(jù)有關(guān)系。盡管孩子的想法不一定完全符合實際，但可貴的是在此過程中他們再一次

50、認識到了數(shù)據(jù)的作用。（3）收集和積累統(tǒng)計應(yīng)用的例子無論是教材中的例子也好，還是在生活中遇到的例子也好，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生積累起來并適時展示交流，學(xué)生就能體會到統(tǒng)計在方方面面的應(yīng)用。比如，2008年北京奧運會結(jié)束了，奧運會里有哪些運用統(tǒng)計的例子，教師可以鼓勵學(xué)生以此為情境收集數(shù)據(jù)。又如，現(xiàn)在商場很多地方都會設(shè)計一些摸獎游戲，有心的教師可以把它們做一些適當?shù)母膭樱M到我們的課堂教學(xué)中，這不僅僅為統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)提供了現(xiàn)實的素材，還可以引導(dǎo)學(xué)生對生活中的一些現(xiàn)象樹立正確的認識。還有一點是非常重要的，就是適當?shù)淖鲆恍┱{(diào)研，了解學(xué)生感興趣的素材。（4）開展一些實踐活動我們必須要認識到應(yīng)用意識的培養(yǎng)，絕不

51、能僅僅靠課堂教學(xué)，而且課堂教學(xué)由于時間和空間的限制，往往很難完整地展示統(tǒng)計調(diào)查全過程，所以在教學(xué)中可以適當?shù)脑O(shè)計一些實踐活動，將課內(nèi)外結(jié)合起來。標準中在綜合實踐中列舉的一些例子，如案例22、案例78，在教學(xué)中都可以采用。二、切忌將統(tǒng)計的學(xué)習(xí)處理成單純數(shù)字計算和繪圖技能 如前所述，統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計教學(xué)的重要目標是鼓勵學(xué)生從數(shù)據(jù)中提取盡可能多的有效信息，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息。為了更好地提取信息，學(xué)生需要學(xué)習(xí)一些整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法。對于這些的學(xué)習(xí)，應(yīng)注重對其的理解及在實際問題中的應(yīng)用，而不知識單純地計算或繪圖。例如，標準提出“體會平均數(shù)的作用”、“理解平均數(shù)的意義，了解它們是數(shù)據(jù)集

52、中趨勢的描述”、 “體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義”、“了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息”等。但是在實際教學(xué)中，確實存在著注重計算、繪圖而忽視運用方法提取信息、體會方法價值的。以平均數(shù)教學(xué)比例，有人做過調(diào)查，學(xué)生學(xué)習(xí)了平均數(shù)會進行計算，但當遇到真正的數(shù)據(jù)需要分析時，他們卻很少想到用平均數(shù)。所以說，平均數(shù)教學(xué)關(guān)鍵之一是發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念，使他們想到用平均數(shù)，愿意用平均數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)。我們來看下面的一個案例，學(xué)生在學(xué)習(xí)了平均數(shù)以后，師生共同討論了三條信息，來體會平均數(shù)的意義和價值執(zhí)教者 北京大學(xué)附屬實驗小學(xué) 王杰。案例11體會平均數(shù)的意義1利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)

53、的意義。師：我這也有條信息，我們一起看看。（1）出示：節(jié)約用水圖。師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學(xué)生回答評價學(xué)生的節(jié)能意識）那我們來看看我們國家的淡水情況。（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。師：找一名同學(xué)讀一讀。看到這條信息你有什么感覺？（學(xué)生可能產(chǎn)生疑問：水并不少，世界100多個國家，我們排第四名。）（3）我們再來看看下面這條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。師：請大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這里想讓學(xué)生通過名次下降或貧乏再次提起對平均數(shù)的理解。“貧乏”

54、這個詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來形容我們國家了呢？）總結(jié)：言之有理，看來同學(xué)們對平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對于我們國家來說，就更應(yīng)該去節(jié)約用水了。2.出示：兒童乘車免票線“長個”了的標題。師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？沒錯，就是這條線，我們來看看（圖略）。經(jīng)過市發(fā)改委與相關(guān)部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。師：為什么要提高？（學(xué)生自然會想到：孩子們都長高了。）師：我們怎么去確定這個標準的呢？ （學(xué)生可能會回答：我們可以調(diào)查一下。）師：調(diào)查誰？如果數(shù)據(jù)來了，有高的、有矮的，如何處理？（這里要明確

55、調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學(xué)生結(jié)合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查完了可以計算平均數(shù)。）師：總結(jié)：我們同學(xué)真了不起，既能準確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度。看來，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。3. 那你們能利用平均數(shù)幫我解決判斷一件事情嗎？出示據(jù)統(tǒng)計，周一至周五晚高峰時，平均每小時需要通過1號橋的車輛為1756輛，需要通過2號橋的車輛965輛（兩個橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多你們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？（學(xué)生建議教師走2號橋，但偶爾也不一定快）總結(jié)：同學(xué)們理解得很好，平均數(shù)可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。理解平均數(shù)有三個角度：算法理解、概念理解、統(tǒng)計理解。對于統(tǒng)計教學(xué)，概念理解和統(tǒng)計理解是非常重要的。在上面的案例中，第一個信息，首先提出我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學(xué)生思考，然后出示我國的淡水資源情況，使學(xué)生體會我國的淡水總量很多，世界排第四位，最