1、第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1 本章內容本章內容 4.1 波動方程波動方程 4.2 電磁場的位函數電磁場的位函數 4.3 電磁能量守恒定理電磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時諧電磁場時諧電磁場第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波24.1 波動方程波動方程 波動方程波動方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性揭示電磁場的波動性 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關系間的相互作用關系 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程波動方程 問題的提出問題的提出0HJtHtH 2220

2、EEt2220HHt 無源區的波動方程無源區的波動方程第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波0HJtHtH 3 推證思路：推證思路：從電磁場基本方程組推導電磁波動方程從電磁場基本方程組推導電磁波動方程 媒質均勻媒質均勻, ,線性線性, ,各向同性。各向同性。為常數,討論前提：討論前提： 脫離激勵源脫離激勵源 ；00HtHtH 0 , 0J2220EEt2220HHt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4 推證推證Ht()EHt()HH 222HtAAA2)()(H()EtHt ()HH 22220HHt0H第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 推證推證Ht()HEt ()EE 222EtAAA2

3、)()(E()HtHt ()EE 20E2220EEt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波64.2 電磁場的位函數電磁場的位函數 討論內容討論內容 位函數的性質位函數的性質 位函數的定義位函數的定義 位函數的規范條件位函數的規范條件 位函數的微分方程位函數的微分方程第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波7引入位函數的目的：使一些問題的分析得到簡化。引入位函數的目的：使一些問題的分析得到簡化。 靜態場的位函數靜態場的位函數時變場的位函數時變場的位函數0ABA AEt E 靜態場位函數滿足的泊松方程靜態場位函數滿足的泊松方程2 2AJ BA 0At222AAJt 222t 時變場位函數滿足的達朗貝爾

4、方程時變場位函數滿足的達朗貝爾方程第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 動態矢量位和標量位的定義動態矢量位和標量位的定義0BBA Bt ()0AtAEt AEt 推證推證()At At AEt 第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波9 位函數的不確定性位函數的不確定性）、（A 滿足下列變換關系的兩組位函數滿足下列變換關系的兩組位函數 和和 能描述同能描述同一個電磁場問題。一個電磁場問題。即即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。不同位也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。不同位函數之間的上述變換稱為規范變換函數之間的上述變換稱為規范變換A 原因：未規定原因：未規定 的散

5、度的散度AAt AAEt 為任意可微函數為任意可微函數A（ 、 ）A（ 、 ）A()AA()()AttAAtAttt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波10除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即 位函數的規范條件位函數的規范條件 造成位函數的不確定性的原因就是沒有規定造成位函數的不確定性的原因就是沒有規定 的散度。利用的散度。利用位函數的不確定性，可通過規定位函數的不確定性，可通過規定 的散度使位函數滿足的方程得的散度使位函數滿足的方程得以簡化。以簡化。AAAA0

6、At0A第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波11 位函數的微分方程位函數的微分方程BDEHDHJtEBJtABAEt ()AAJtt2()AAA 222()AAAJtt 222AAJt 0At222()AAJAtt 22()AJtt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波12同樣同樣D()At 222t ADEEt 、0AtAt tt 第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波13 說明說明 應用洛侖茲條件的特點：應用洛侖茲條件的特點： 位函數滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；位函數滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚；解的物理意義非常清楚； 矢量位只決定

7、于矢量位只決定于J，標量位只決定于，標量位只決定于，這對求解方程特別有利。這對求解方程特別有利。只需解出只需解出A，無需解出，無需解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應 用不同的規范條件，矢量位用不同的規范條件，矢量位A和標量位和標量位的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。222AAJt 222t 0At第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波144.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內容討論內容

8、坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關系電磁能量及守恒關系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波15 進入體積進入體積V的能量體積的能量體積V內增加的能量體積內增加的能量體積V內損耗的能量內損耗的能量電場能量密度電場能量密度：磁場能量密度磁場能量密度：電磁能量密度電磁能量密度：空間區域空間區域V中的電磁能量中的電磁能量： 特點特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動時間改變，從而引起電磁能量流動 電磁能量守恒關系：電磁能量守恒關系： 電磁能量及守恒關系電磁能量及守恒關系ddWtV

9、S12ew E D 12mw H B1122emwwwE DH B11d()d22VVWw VE DVH B第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波16 其中其中： 單位時間內體積單位時間內體積V 中所增加中所增加 的電磁能量的電磁能量 單位時間內電場對體積單位時間內電場對體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導電媒質中，即為體積在導電媒質中，即為體積V內總的損耗功率內總的損耗功率 通過曲面通過曲面S 進入體積進入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關系的定理表征電磁能量守恒關系的定理積分形式：積分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：11()()22tE HE DH

10、BE J d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J d11()dd22VVtE DH B dVVE J () dSE HS第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波17 在線性和各向同性的媒質，當參數都不隨時間變化時，則有在線性和各向同性的媒質，當參數都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由 推證推證DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt 1()1()22D Dtttt 1()1()22BHH HHHH Btttt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波18即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量

11、恒等式：在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應用散上，對上式兩端積分，并應用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式 物理意義物理意義：單位時間內，通過曲面單位時間內，通過曲面S 進入體積進入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。()HHH 11()()22H DH B Jt d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J 第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 定義：定義： ( W/m2 ) 物理意義物理意義：

12、的方向的方向 電磁能量傳輸的方向電磁能量傳輸的方向 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率 描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E SHSS第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波20 例例4.3.1 同軸線的內導體半徑為同軸線的內導體半徑為a 、外導體的內半徑為、外導體的內半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為U ，導體中流過

13、的電，導體中流過的電流為流為I 。同軸線同軸線求：求：（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸的功率；）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸的功率；（2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，計算通過內導體表面進為有限值時，計算通過內導體表面進入每單位長度內導體的功率。入每單位長度內導體的功率。第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波21穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況）dSPSS同軸線介質中功率面密度同軸線介質中功率面密度SEHdeSdz2qSSEdcIHldxzUeEba

14、d介質中介質中 的方向為的方向為Ee第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波（1 1）先求線電荷密度為先求線電荷密度為l的無限長帶電直線的電場的無限長帶電直線的電場建立適當的坐標系建立適當的坐標系電荷分布具有軸對稱性，選柱坐標電荷分布具有軸對稱性，選柱坐標分析場的分布特征分析場的分布特征zeP(,z )電場沿徑向分布，只有電場沿徑向分布，只有E分量，分量，E=e E根據場分布作一閉合面根據場分布作一閉合面高斯面高斯面取高度為取高度為1的閉合圓柱面，即的閉合圓柱面，即S= e S側側+ ezS上底上底 - ezS下底下底 代入高斯定律中計算：代入高斯定律中計算：112dlSESE2lE 即即2leE

15、第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波（1 1）先求線電荷密度為先求線電荷密度為l的無限長帶電直線的電場的無限長帶電直線的電場結合電場強度與電壓的結合電場強度與電壓的U U關系關系zeP(,z )得得2leEUeEbadbald2Uablln2abUln2l代回電場強度表達式：代回電場強度表達式：2leE21eEabUln2abUelnba第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波24He H()ab（2 2）根據安培環路定律求介質中的磁場強度根據安培環路定律求介質中的磁場強度取回路取回路CcIHlddeldIdH20IH22IHe()ab同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢

16、量（理想導體情況）（理想導體情況）第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波25ln()UEeb a ()ln()2UISEHeeb a2IHe()ab（3 3）求內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量求內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量方向為方向為z軸方向，表明：電磁能量在內外導體之間沿軸方向流動，軸方向，表明：電磁能量在內外導體之間沿軸方向流動，即由電源向負載。即由電源向負載。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況）理想導體內理想導體內0J內E22ln()zUIeb a第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2622ln()zUISeb a（3

17、 3）求內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量求內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量S的大小的大小同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況）與同軸線的尺寸與同軸線的尺寸a、b有關有關;與同軸線外加電源參數與同軸線外加電源參數U、I 有關有關;與場點位置參數與場點位置參數 有關有關: 則則SS； 則則S S。即：能量集中于內導體外表面。即：能量集中于內導體外表面。第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波27穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況）2d

18、2d2ln()bzSaUIPS e SUIb a （4 4）求內外導體之間的功率求內外導體之間的功率dSPSSdeSdz222ln()zUISeb a第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波28 （2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，導體內部存在沿電流方為有限值時，導體內部存在沿電流方向的電場向的電場根據邊界條件，根據邊界條件，在內導體在內導體表面表面上電場的切向分量連上電場的切向分量連續續E1t=E2t ，即，即:同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）2zJIEea內aazzEE外內12en12E2E1E1tE2tlch2z

19、Iealn()UEeb a根據內外導體之間的電場強度根據內外導體之間的電場強度ln()aUEeab a外第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波29磁場則仍為磁場則仍為內導體表面外側的坡印廷矢量為內導體表面外側的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）2aaIHe外()aaSEH外外外因此，在內導體表面外側的電場為因此，在內導體表面外側的電場為2ln()zIUeeaab aaE外2Iea=aazEE外外223222ln()zIUIeeaab a第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波30進入每單位長度內導體的進入每單位長度內導體的

20、功率為功率為:由此可見，內導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑由此可見，內導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。向分量，如圖所示。 dSaPSS外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）d2dSa z e()dSaPSS 外e223222ln()zaIUISeeaab a 外212302d2Ia za22Ia2I R第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波31式中式中 是單位長度內導體的電阻。是單位長度內導體的電阻。進入每單位長度內導體進入每單位長度內導體的功率為的功率為結論：結論：電磁能量是由電磁場傳輸的

21、，導體僅起著定向引導電磁能流的電磁能量是由電磁場傳輸的，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。作用。 當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。222IPI Ra21Ra同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波324. 5 時諧電磁場時諧電磁場 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復數表示時諧電磁場的復數表示 復電容率和復磁導率復電容率和復磁導率 時諧場

22、的位函數時諧場的位函數 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念0( , )cos( )A r tAtr0( , )sin( )A r tAtr振幅振幅角頻率角頻率初相位初相位 = 2 f4.5.1 時諧電磁場的復數表示時諧電磁場的復數表示 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦正弦或余弦）變化，）變化，則所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一則所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為定角頻率作時諧變化

23、的電磁場，稱為時諧電磁場時諧電磁場或正弦電磁場。或正弦電磁場。第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 時諧電磁場問題求解的有利因素時諧電磁場問題求解的有利因素( , )( ) ( )F r tF r T t時-空可以分離求解！即： 可以獨立分析物理量的 空間變化和時間變化實現時空分離的方法：實現時空分離的方法： 將場量用將場量用復數形式復數形式來表示來表示第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 時諧場量的數學表示時諧場量的數學表示由復變函數，知：由復變函數，知： ，則：，則： cos()Re()j tte( )Re( )Re ( )jrj tj tmAr eeA r e( )( )( )jrmA

24、rA r e式中：式中： 時諧場量的復數表示時諧場量的復數表示( , )( )cos( )mA r tArtrtjtetjsincos時間因子時間因子空間相位因子空間相位因子復數表示法復數表示法復振幅復振幅 時諧場量的實數表示（瞬時表示）時諧場量的實數表示（瞬時表示）( , )( )cos( )mA r tArtr第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 時諧電磁場場量的復數表示時諧電磁場場量的復數表示( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzEx y z tE

25、x y ztx y zEx y z tEx y ztx y zEx y z tEx y ztx y z 在直角坐標系下，時諧電場瞬時形式為：在直角坐標系下，時諧電場瞬時形式為：xxyyzzEe Ee Ee E, , ,Re, ,Re, , , ,Re, ,Re, , , ,Re, ,Re, ,xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzmEx y z tEx y z eEx y z eEx y z tEx y z eEx y z eEx y z tEx y z eEx y z e, , , , , , ,xyzjxmxmjymymjzmzmEx y zEx y z eEx

26、y zEx y z eEx y zEx y z e其中： 表示為復數形式：表示為復數形式：第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波xxyyzzEe Ee Ee ERe()Re()Re()j tj tj txxmyymzzmeE eeE eeE eRe()j txxmyymzzme Ee Ee EeRej tmE emxxmyymzzmEe Ee Ee E 時諧電磁場場量的復數表示（續）時諧電磁場場量的復數表示（續）式中：式中： 復矢量復矢量xyzjxmxmjymymjzmzmEE eEE eEE e第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波yxzyxzyxzyxzjjjxxmyymzzmjjjxxmyy

27、mzzmjjjxxmyymzzmjjjxxmyymzzmjmDe D ee D ee D eHe Hee Hee H eBe B ee B ee B eJe Jee Jee J ee同理同理 時諧電磁場場量的復數表示（續）時諧電磁場場量的復數表示（續） 復數式只是數學表示方式，不代表真實的場復數式只是數學表示方式，不代表真實的場 有關復數表示的進一步說明有關復數表示的進一步說明真實場是復數式的實部，即瞬時表達式真實場是復數式的實部，即瞬時表達式第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波場量復數表達形式和瞬時（實數）形式相互轉換場量復數表達形式和瞬時（實數）形式相互轉換場量的復數形式：場量的復數形式：

28、jmEE e場量的瞬時形式場量的瞬時形式：cos()mEEt 場量的復數形式轉換為實數形式的方法：場量的復數形式轉換為實數形式的方法：jmEE etje ()jtmE e取實部cos()mEt第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波40 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都是時諧電磁場。的載波等都是時諧電磁場。 任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不 同頻率的時諧場的疊加。同頻率的時諧場的疊加。第

29、4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波41 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式解：思路：解：思路：先將各個分量寫出標準形式，再按照定義寫出復振幅先將各個分量寫出標準形式，再按照定義寫出復振幅（1）所以所以( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()ReeReeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee

30、 jE e(/2)()Reeeeeyxjkzjkzj tj txxmyyme Ee E(/2)()Re eeeyxjkzjkzj txxmyyme Ee E可以略去可以略去第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波42解：因為解：因為 故故 所以所以 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz( , , )H x z t 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa（2）00( , , )()sin()sin()c

31、os()cos()xzaxxH x z te H kkzte Hkztaa第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波43 例例4.5.2 已知電場強度復矢量已知電場強度復矢量解解:其中其中kz和和Exm為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量( )cos()mxxmzEze jEk z()2( , )Recos()eRecos()ej txxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek ztcos()sin()xxmze Ek zt 第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波44以電場旋度方程以電場旋度方程 為例，每個場量寫成復矢量形式

32、得：為例，每個場量寫成復矢量形式得：t Re 將將 、 交換次序，得交換次序，得因為上式對任意因為上式對任意 t 均成立，所以將均成立，所以將 t0 ， t/2兩個時刻分別兩個時刻分別代入式得：代入式得：4.5.2 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程t/2時：時：BEt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt ReRemmEj B Ret與Reej tmj Bt0時：時：22Re(e)ReejjmmEj B第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波454.5.2 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程即即ImImmmEj BmmEj B ImI

33、mmmEj Bt/2時：時：ReRemmEj BReRe ()mmjEjj Bt0時：時：22Re(e)ReejjmmEj B2ecos+ sin22jjj第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波46總結：任意矢量場總結：任意矢量場BEt mmEj B j( , )Re( )etA r tj A rt( )j A r( , )A r ttjtj( , )Re ( )etA r tA r瞬時形式（瞬時形式（每個矢量都是每個矢量都是r r，t t的函數的函數）復數形式復數形式（每個矢量僅是每個矢量僅是r r的函數的函數）第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波47從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要

34、把微分算子 用用 代替，就可以把基本方程代替，就可以把基本方程的的瞬時瞬時形式形式轉換為轉換為復矢量復矢量形式。形式。復矢量的麥克斯韋方程：復矢量的麥克斯韋方程：略去略去“.”和下標和下標mtj jt0tt DHJBEBD0mmmmmmmmHJj DEj BBD0H J j DEj BDB 第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波無源區無源區0(mJ)0m復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程任意區域任意區域0mmmmmmmmHJj DEj BBD00mmmmmmHj DEj BBD第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波HEjE 當介質的電導率為當介質的電導率為不為零的有限值不為零的有限值，此時介

35、質存在，此時介質存在歐姆損耗歐姆損耗。()cjEjEj 式中：式中：cj等效復介等效復介電常數電常數 等效復介電常數等效復介電常數均為省略上標均為省略上標“.”的復矢量的復矢量4.5.4 復介電常數復介電常數表征歐姆表征歐姆損耗損耗HjE湊成了與無損耗區安培環路定律相似的形式：湊成了與無損耗區安培環路定律相似的形式：第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 介質損耗角介質損耗角v 復介電常數（續）復介電常數（續）等效復介電常數等效復介電常數虛部虛部與與實部實部的的比比, ,稱為稱為損耗角正切損耗角正切。對。對導電媒質：導電媒質：tan介質損耗角介質損耗角tan()arc1 弱導電媒質和良絕緣體弱導

36、電媒質和良絕緣體1 普通導電媒質普通導電媒質1 良導體良導體導電媒導電媒質分類質分類cj 導電媒質導電性能的相對性導電媒質導電性能的相對性 導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電媒質具有不同的導電性能。電媒質具有不同的導電性能。第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波例例 海水電導率海水電導率 ，相對介電常數，相對介電常數 。求海水。求海水在在 和和 時的等效復介電常數。時的等效復介電常數。4/S m 解：解：81 r r1fkHzfGHz1當當 時時1fkHzcj46.37 10/jF m 當當 時時1fGHz09481210cjj

37、10107.16 106.37 10/jF m910813634210j第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波524.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 導電媒質導電媒質理想介質理想介質 在時諧時情況下，根據在時諧時情況下，根據 、 ，即可得到即可得到復復矢量的波動方程矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量瞬時矢量復矢量復矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH()cck jt 222t 均為省略上標均為省略上標“.”.”的復矢的復矢量量傳播常數傳播常數: :第4章 電磁場與電磁波電磁場

38、與電磁波534.5.5 時諧場的位函數時諧場的位函數 在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數形式。表示成復數形式。洛侖茲條件洛侖茲條件達朗貝爾方程達朗貝爾方程瞬時矢量瞬時矢量復矢量復矢量t BAAEj BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ 復達朗貝爾方程復達朗貝爾方程均為省略上標均為省略上標“.”.”的復矢的復矢量量第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波544.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 為場量為場量 的復數共軛。的復數共軛。0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT2T時諧條件下的計算式：時諧條件下的計算式：1Re2avSEH式中：式中： 、 為場量的為場量的復數表達式復數表達式；EHHH 定義式（對物理量沒有定義式（對物理量沒有“時諧時諧”要求）要求）第4章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波( )( )( )S tE tH tRe Rej tj tEeHe01( )TavSS t dtT時諧場平均坡印廷矢量的證明時諧場平均坡印廷矢量的證明211Re()Re()22jtEHEHe代回定義式，代回定義式，20111Re(