1、a2第一局部第一局部 靜力學靜力學a3第一局部第一局部 靜力學靜力學 引論引論 剛體靜力學剛體靜力學(statics of rigid bodies)研究研究剛剛體體(rigid body)在力系的作用下相對于慣性系靜止在力系的作用下相對于慣性系靜止的力學規律的力學規律。 (1) 力學模型力學模型剛體剛體 在力的作用下不變形的物體稱為剛體。剛體。 在實際生活中，完全不變形的物體并不存在，在實際生活中，完全不變形的物體并不存在，剛體不過是實際物體和構件的抽象和簡化。剛體不過是實際物體和構件的抽象和簡化。 a4吊車梁的變形吊車梁的變形 吊車梁在起吊重物時所產生的最大撓度 一般不超過梁的跨度的1/5

2、00a5 簡化的條件除了要求物體的變形不大簡化的條件除了要求物體的變形不大之外，更重要的是這種變形對我們所研之外，更重要的是這種變形對我們所研究的問題的結果產生的影響要足夠小。究的問題的結果產生的影響要足夠小。 但在研究吊車梁的強度問題時，就不能這樣簡化了。 這種小變形對于兩端支承力的影響是微缺乏道的，因此在計算兩端的支承力時，吊車梁可簡化為剛體。a6 力系力系 作 用 于 同 一 剛 體 的 一 組 力 稱 為 力 系力 系( system of forces) 。使剛體的原有運動狀態不發生改變的力系。F3F2F1F4MqABFAxFAyFB平衡力系平衡力系(force system of

3、equilibrium)a7(3) 根本問題：根本問題： 物體的受力分析；物體的受力分析； 力系的等效替換及簡化；力系的等效替換及簡化； 力系的平衡條件及其應用。力系的平衡條件及其應用。 剛體在平衡力系的作用下并不一定處于靜止剛體在平衡力系的作用下并不一定處于靜止狀態，它也可能處于某種慣性運動狀態。狀態，它也可能處于某種慣性運動狀態。平衡條件平衡條件(equilibrium conditions) 平衡力系所要滿足的數學條件。a81. 工程力學教程工程力學教程 () 范欽珊范欽珊 主編主編 高等教育出版社高等教育出版社九九五五國家級重點教材國家級重點教材2. 理論力學理論力學(第三版第三版)

4、浙江大學理論力學教研室浙江大學理論力學教研室,高等教育高等教育出版社，出版社，1999面向面向21世紀課程教世紀課程教材材 參考書目參考書目a91 靜力學根底靜力學根底1.2.3 力系等效原理力系等效原理 應用于變形體應用于變形體 1.1 力和力矩力和力矩 1.1.1 力的概念力的概念1.1.2 力對點的矩力對點的矩 1.1.3 力對軸的矩力對軸的矩1.2 力系等效原理力系等效原理1.2.1 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩1.2.2 力系等效原理力系等效原理1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩1.4 物體的受力分析物體的受力分析 1.4.1 約束與約束反力約束與約束反力1.4.2 物體的受力分析

5、物體的受力分析 a101 1 靜力學根底靜力學根底1.1 力和力矩力和力矩 1.1.1 力的概念力的概念 力是物體間的相互作用，作用結果使物體的力是物體間的相互作用，作用結果使物體的運動狀態發生改變，或使物體產生變形。運動狀態發生改變，或使物體產生變形。 對剛體而言，力的作用只改變其運動狀態。 力是矢量力是矢量 力的三要素力的三要素(three elements of a force) 兩個共點力的合成又滿足平行四邊形法那么，兩個共點力的合成又滿足平行四邊形法那么，因而力是定位矢量因而力是定位矢量(fixed vector) 。a11FCCABFAF1量度力的大小的單位,在國際單位制中用 牛頓

6、N 千牛頓kN力的作用線力的作用點力矢量的表示: F1、FA力矢量的模: F1、FA1FAF、a12 作用力和反作用力作用力和反作用力 力的另一重要性質是由牛頓第三定律牛頓第三定律(Newtons third law)所描述的作用力和反作用力之間的關系，即: 兩個物體之間的作用力與反作用力總是同時兩個物體之間的作用力與反作用力總是同時存在，且大小相等、方向相反、沿同一直線，存在，且大小相等、方向相反、沿同一直線，并分別作用在兩個不同的物體上。并分別作用在兩個不同的物體上。 F1F2a13 分布力分布力(distributed force) 與集中力與集中力(concentrated force

7、) 分布力分布力 集中力集中力集中作用于物體上一點的力.外表力外表力(surface forces):(surface forces):連續作用于物體的某一面積上的力連續作用于物體的某一面積上的力. .體積力體積力(body forces)(body forces): :連續作用于物體的某一體積內的力.a14a15a16ABCP 實際上要經一個幾何點來傳遞作用力是不可能實際上要經一個幾何點來傳遞作用力是不可能的，集中力只是作用于一個小區域上的分布力，的，集中力只是作用于一個小區域上的分布力，一切真實力都是分布力。一切真實力都是分布力。 集中力只是分布力在一定條件下的理想化模型。集中力只是分布力

8、在一定條件下的理想化模型。能否進行這種簡化主要取決于我們所研究的問題能否進行這種簡化主要取決于我們所研究的問題的性質。的性質。a17 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 力在坐標軸上的投影是代數量，應特別注意力在坐標軸上的投影是代數量，應特別注意它的符號。它的符號。FFxiFyjFzkxyzFFFFijkcoscoscosxyzFFFFFFF iF jF k a18二次投影法二次投影法 (second projection) cossin cossinsin sincosxxyyxyzFFFFFFFFFFxyxzya19力F在各坐標軸上的投影，那么可求得力F的大小和它相對于各軸的方向余弦，即

9、222xyzFFFFcos( , )/cos( , )/cos( , )/xyzFFFFFFF iF jF ka20 力對點的矩力對點的矩 力矩力矩(moment of a force)是用來量度力使物體產生轉動效應的概念。 力對點的矩的概念力對點的矩的概念 作用于剛體的力F對空間任意一點O的力矩力矩定義為() =OMFrF式中O點稱為矩心矩心(center of moment)，r為矩心O引向力F的作用點A的矢徑，即力對點的矩力對點的矩(moment of a force about a point)定義為矩心到該矩心到該力作用點的矢徑與力矢的矢量積。力作用點的矢徑與力矢的矢量積。a21 M

10、O (F)通常被通常被看作為看作為一個定位矢量，習慣一個定位矢量，習慣上總是將它的起點畫在矩心上總是將它的起點畫在矩心O處，但這并不處，但這并不意味著意味著O就是就是MO (F)的作用點。的作用點。MO(F)=rFFrAOhPlane determined by O and Fa22力矩矢的三要素力矩矢的三要素 力矩矢的三要素為大小、方向和矩心。力矩矢的三要素為大小、方向和矩心。 MO (F)的大小即它的模 式中為r和F正方向間的夾角，h為矩心到力作用線的垂直距離，常稱為力臂(moment arm)。MO (F)的方向垂直于r和F所確定的平面，指向由右手定那么確定。( )sinOFrFhM F

11、r F=a23平面問題平面問題 平面問題中，由于矩心與力矢均在同一個特定的平面內，力矩矢總是垂直于該平面，即力矩的方向不變，指向可用正、負號區別，故力矩由矢量變成了代數量代數量，且有OFhr()OMFhF a24 正負號通常規定為正負號通常規定為:+逆時針為正逆時針為正順時針為負順時針為負OFhMO(F) = Fha25 平面問題平面問題 矢量表達式MO(Fxy)=(rxy Fxy) kzrxyFxyxyOkha26 力對點的矩在坐標軸上的投影力對點的矩在坐標軸上的投影 力矩的單位在國際單位制(SI)中為牛頓米(Nm)或千牛頓米(kNm)。xyzFFFFijkxyzrijkFrxyzMO(F)

12、Ojika27()OMFrFxyzxyzFFFijk)()()zyxzyx(yFzFzFxFxFyFijk()()()OxzyOyxzOzyxM= yFzFM= zFxFM= xFyFFFFa281.1.3 力對軸的矩力對軸的矩 力對軸的矩力對軸的矩(moment of a force about an axis)用來量度力對其所作用的剛體繞某固定軸轉動的效應。zF 矩軸矩軸 (axis of moment) Oza29zFFzFxy 力對軸的矩的概念力對軸的矩的概念 空間力對軸之矩歸結為平空間力對軸之矩歸結為平面上的力對點之矩。面上的力對點之矩。hO() =() =xzOxyyMMF hFF

13、 作用于剛體的力F 對 z 軸的矩定義為a30 力對軸的矩是代力對軸的矩是代數量。正負號的規數量。正負號的規定是按右手定那么定是按右手定那么與與z軸的指向一致時軸的指向一致時為正，反之為負。為正，反之為負。M z (F) 0 M z (F) 0 zz 當力的作用線與z軸平行(Fxy = 0)或相交(h=0)時，或概括起來講，當力與軸共面時當力與軸共面時，力對軸的矩等于零力對軸的矩等于零。a31力對軸之矩力對軸之矩 zOhFFzFxyrxyk矢量表達式( )=()=()xzyxxOyyMMFFrFka32 力對點之矩與力對軸之矩的關系力對點之矩與力對軸之矩的關系 zxyr = r+ rzxyF

14、= F+ F力F 對O點之矩MO(F)在 z 軸上的投影為： 首先將力的作用點的矢徑r和力F分解如下:()()OzMFrFka33()()OzMFrFkMO(F)在 z 軸上的投影MOz(F)FrxyzMO(F)Oka34MOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)Ozxyzxyrr + rFF + F()()OzMFrFka35即有 那么有MO(F)在 z 軸上的投影將上式右端展開，并注意到()()()zxy zzxyOMFrrFF+k+0zzrF()0 zxyrFk()0 xyzrFk()()OzMFrFk()xyxyrFka36而另一方面力F 對z軸之矩可表示為 我們得到一個說明力對軸之

15、矩與力對點之矩的關系的重要結論：力對任意軸之力對任意軸之矩等于該力對軸上任一點之力矩矢在該矩等于該力對軸上任一點之力矩矢在該軸上的投影。軸上的投影。因此( )=()=()xzyxxOyyMMFFrFk() =()zOzMMFFa37于是我們有力對坐標軸之矩的解析表達式： 式中x、y、z是力的作用點的坐標，Fx、Fy、Fz分別是F在各坐標軸上的投影。( )( )( )( )( )( )xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFFa38OAxyzF3a例例1.1 長方體的上、下底為正方形，邊長為 ，高為a，求圖中力F 對頂點O之矩。a39解：設沿各坐標軸的解：設沿

16、各坐標軸的基矢量為基矢量為i、j、 k ，那么那么F的作用點的作用點A的的矢徑為矢徑為 OAxyzFr3()a =ri + j力F在坐標軸上的投影為 = 0 xF32=sin=yFF F12=cos=zFF Fa40故132()F+F =jk因此()OMFrF33312200aaFFijk3()a =ri + j332()Fa ijka41例例1.2 園柱的底半徑為r，高為2r，求圖中作用于B點的力F 對x、y、z軸以及OE軸之矩。 OAxyzBEeCDFa42解解：力F的作用點B的坐標為 0, 2x=r, y=z= r而666663,xyzFFFFFF OAxyzBEeCDFa43 于是F

17、對各坐標軸之矩分別為 根據( )( )( )( )( )( )xOxzyyOyxzzOzyxMMyFzFMMzFxFMMxFyFFFFFFFa44由此即有 0, 2x=r, y=z= r666663,xyzFFFFFF63Fr 066Fr66()( 2)OFrMFik()xzyMyFzFF ()yxzMzFxFF ()zyxMxFyFF a45設沿OE軸的單位矢為e，那么有 因此力F 對OE軸之矩為66()( 2)OFrMFik55(2 )ejk()()OEOMFe MF3015F rOAxyzBEeCDFa46 力的概念力的概念 力學模型力學模型剛體剛體剛體靜力學研究的根本問題力是約束矢量力

18、是約束矢量 力系力系的概念的概念 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 引論引論 力對點的矩力對點的矩 力對點的矩的概念力對點的矩的概念 力對點的矩在坐標軸上的投影力對點的矩在坐標軸上的投影 力對軸的矩力對軸的矩 力對軸的矩的概念力對軸的矩的概念 力對點之矩與力對軸之矩的關系力對點之矩與力對軸之矩的關系a47靜力學根底靜力學根底1.2 力系等效原理力系等效原理1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩a481.2 力系等效原理力系等效原理 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩 力系的主矢力系的主矢 稱為該力系的主矢量主矢量(principal vector)。FnF2F1Fi 作用于某剛體上的假設干個力F1

19、,F2,Fn構成空間一般力系(three dimensional force system)，通常表示為F1,F2,Fn。這n個力的矢量和1Rnii=FFa49 力系的主矢在坐標力系的主矢在坐標軸上的投影等于力軸上的投影等于力系中各力在相應軸系中各力在相應軸上投影的代數和上投影的代數和 注意力系的主矢僅涉及力系中各力的大小和方向，而與其作用點無關，故力系的力系的主矢是一個自由矢量主矢是一個自由矢量(free vector)，而不是，而不是一個力。一個力。RRRxixyiyzizFFFFFFa50 力系的主矩力系的主矩 空間一般力系F1,F2,Fn中各力對某點O的矩的矢量和 () =OOiiiM

20、MFrF稱為該力系對于矩心力系對于矩心O的主矩的主矩(principal moment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用點的矢徑。a51主矩主矩MO在以矩心O為原點的任意直角坐標系Oxyz上的投影表達式： 即即力系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等力系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等于該力系中各力對同一軸的矩的代數和。于該力系中各力對同一軸的矩的代數和。()()()()()()OxOxxOyOyiiyOzOziiiziMMMMMMMMMFFFFFFa52 力系的主矩力系的主矩MO是位于矩心是位于矩心O處的處的定位矢量，與力系的主矢不同，主矩定位矢量，與力系的主矢不同，主矩與矩心的位置有關

21、。因此，說到與矩心的位置有關。因此，說到“力力系的主矩時，一定要指明是對哪一系的主矩時，一定要指明是對哪一點的主矩，否那么就沒有意義。點的主矩，否那么就沒有意義。F3F2F1F4ABMA(Fi) MB(Fi)a531.2.2 力系等效原理力系等效原理 在剛體靜力學中，如果兩個不同的力系對同一剛體產生同樣的作用，那么稱此二力系互為等效力系(equivalent force systems)。AqBL2L2ABL2L2P=qLFFa54顯然，等效力系的相互替換并不影響它們對剛等效力系的相互替換并不影響它們對剛體的作用。體的作用。與一個力系等效的力稱為該力系的合力合力(resultant force

22、)，但并非任何一個力系都有合力并非任何一個力系都有合力。因為完全不受力作用的剛體其運動狀態是不會發生改變的，故平衡力系即是與平衡力系即是與零力系零力系(null force-system)等效的力系。等效的力系。a55 力系等效原理力系等效原理 兩個力系等效的充分必要條件是主矢兩個力系等效的充分必要條件是主矢量相等，以及對同一點的主矩相等。量相等，以及對同一點的主矩相等。 力系等效原理力系等效原理(principle of equivalent force systems)實際上只是動量定理和動量矩定理的一實際上只是動量定理和動量矩定理的一個推論。但在講述動力學的這些定理之前，在剛個推論。但在

23、講述動力學的這些定理之前，在剛體靜力學中我們也可以把它看成是一個基于經驗體靜力學中我們也可以把它看成是一個基于經驗事實的根本假設。事實的根本假設。a56 力系等效原理是剛體靜力學理論體系的根底，無論在理論上還是在實際應用中都具有重要意義。 力系等效原理說明，力系對剛體的作用完全取決于它的主矢和主矩，因此主矢和主矩是力系的最重要的根本特征量。a57 力系等效原理的推論力系等效原理的推論 1. 平衡定理平衡定理 力系平衡的充分必要條件是該力系力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢及對于某一點的主矩同時等于零的主矢及對于某一點的主矩同時等于零,即即 i 0F()Oi 0MF2二力平衡定理二力平衡定理

24、剛體在兩個力的作用下處于平剛體在兩個力的作用下處于平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。且作用線重合。a582二力平衡定理二力平衡定理 剛體在兩個力的作用下處于平剛體在兩個力的作用下處于平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反且作用線重合。且作用線重合。F1F2 注意二力平注意二力平衡定理與牛頓衡定理與牛頓第三定律之間第三定律之間的區別。的區別。F1F2a594力的可傳性定理力的可傳性定理 作用于剛體上某點的力可沿其作用線移至剛作用于剛體上某點的力可沿其作用線移至剛體內任一點而不改變該力

25、對剛體的作用。體內任一點而不改變該力對剛體的作用。 于是,作用于剛體剛體的力由定位矢量變成了滑動滑動矢量矢量(sliding vector)。3加減平衡力系定理加減平衡力系定理 在作用于剛體的任一力系上加上或減去任意在作用于剛體的任一力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用。F3F4a60 FABCD思考題思考題根據力的可傳性定理,力F可沿其作用線移至 (1) 點A(2) 點A、B(3) 點A、B、C(4) 點A、B、C、Da615合力矩定理合力矩定理 假設力系有合力，那么合力對假設力系有合力，那么合力對任一點或軸之矩等于力系中各力對同

26、一點任一點或軸之矩等于力系中各力對同一點或軸之矩的矢量和或代數和。或軸之矩的矢量和或代數和。MA(FR) = MA(Fi)Mz(FR) = Mz(Fi)AFRzFnF2F1FiAza62合力矩定理的應用合力矩定理的應用FABCO: , AO=h, OC=r求:水平力F對C點之矩。MC(F)=Fr sin Fh cos a63FF1.3 力偶與力偶矩力偶與力偶矩F F a64FFF F 力偶的定義力偶的定義 兩個大小相等、兩個大小相等、作用線不重合的反作用線不重合的反向平行力組成的力向平行力組成的力系 稱 為 力 偶系 稱 為 力 偶(couple)。a65 力偶中兩個力的作用線所確定的平面稱為

27、 力 偶 的 作 用 面力 偶 的 作 用 面(acting plane of a couple)，二力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂力偶臂(couple arm)。FFd Plane of the couplea66力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩 力偶的主矢 因為力偶F，F中F F,故FR = F+F= 0, 即力偶的主矢恒等于零。 力偶對任意點O的主矩 力偶對任意點之主矩恒等于矢量積 rF,而與矩心的位置無關。 a67M( )()OOOM = MFMFOAOB= rFrF= rFOFFrABrOBrOA Plane of the couple()OAOB= rrFa68力偶矩矢量力偶矩矢

28、量 力偶矩矢量力偶矩矢量(couple-vector)，用來量度力偶對剛體的作用效果，定義為 M = rF力偶矩矢的大小為力偶矩矢的大小為力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指向按右手定那么與力偶的轉向一致。 力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向兩個要素。 sin( ,)FrFdMrFr Fa69平面問題 由于力偶的作用面總是與力系所在的平面重合，力偶矩由矢量變成代數量力偶矩由矢量變成代數量 正負號用來區別轉向，通常規定: 逆時針為正逆時針為正 順時針為負順時針為負+M =Fda70力偶是最簡單的力系之一力偶是最簡單的力系之一 力偶中二力作用線不重合，根據二力平衡定理，它們不可能組成一個平衡力系

29、； 因為力偶的主矢量FR = 0，它也不可能進一步簡化為一個力，否那么FR 0，與力偶的定義相矛盾。 因此，與單個的力類似，力偶也是最簡單的力系之一。a71力偶等效變換的性質力偶等效變換的性質 1.力偶可在其作用面內任意轉動和移動； 2.力偶的作用面可任意平行移動； 3.只要保持力偶矩大小不變，可任意同時 改變 力偶中力的大小和力偶臂的長短。 作用于剛體的力偶等效替換的條件是作用于剛體的力偶等效替換的條件是其力偶矩矢量保持不變其力偶矩矢量保持不變。 a72例例1 長方體由兩個邊長為a的正方體組成，如圖所示，試求力偶(F，F)的力偶矩矢量M。xyzFrFa73xyzFrF解：解： 故333=,

30、=, = 333xyzFFFFFF3()3FFijk a74設由F的作用點至F 的作用點的矢徑為r, 那么有 因此 xyzFrF()arik33()FaMrF=i + ka75例例2 正方體的邊長為正方體的邊長為a，大小均為，大小均為P的的6個力作用個力作用于正方體的棱邊上，如下圖。試求該力系的主矢于正方體的棱邊上，如下圖。試求該力系的主矢及對及對O點的主矩。點的主矩。 xyzF1F5OF6F3F2F4a76解解：注意到原力系由同向平行力系(F1F4)和力偶(F5,F6)組成。力系(F1F4)的主矢為： F1F4的作用點相對于O點的矢徑分別為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4(1)

31、R4PFk1ari2()arij3arj40r a77故 力偶(F5,F6)的主矢為零,力偶矩矢為: 因此原力系的主矢及對O點的主矩為:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F42()Pa ij4411(1)()OiiiOiiMMFrF(2)()PaMjk(1)RR4PFFk(1)(2)(2)OOPaMMMijka78力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩力系等效原理力系等效原理力系等效原理的推論力系等效原理的推論 力偶力偶及及力偶矩矢力偶矩矢力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩力偶是最簡單的力系之一力偶是最簡單的力系之一力偶等效變換的性質力偶等效變換的性質a79靜力學根底靜力學根底1.4 物體的受力

32、分析物體的受力分析(一一)a80 約束與約束反力的概念約束與約束反力的概念 1.4.1 約束與約束反力約束與約束反力1.4 物體的受力分析物體的受力分析自由體自由體(free body)非自由體非自由體(constrained body) 限制物體運動的條件，或者更直觀地說，對物體運動施加限制的周圍物體稱為約束約束(constraint)。a81a82 約束施于被約束物體 的 力 稱 為 約 束 力約 束 力(constraint force)。約束力是一種接觸力。約束力是一種接觸力。a83約束力約束力(constraint force)主動力主動力(applied force) 載荷載荷(l

33、oad)靜力學中力的分類:約束的根本類型剛體靜力學的典型問題a84 約束的根本類型約束的根本類型 柔索柔索 工程中的繩索、鏈條、皮帶等物體可簡化為柔索柔索(flexible cable)。理想化的柔索不可伸長，不計自重，且完全不能抵抗彎曲。MFTFT柔索的約束力是沿繩向的拉力柔索的約束力是沿繩向的拉力。a85a86a87a882. 光滑接觸面光滑接觸面 nnFN 光滑接觸面的約束光滑接觸面的約束力沿接觸處的公法線力沿接觸處的公法線方向，作用于接觸點，方向，作用于接觸點，且為壓力。且為壓力。 假設兩物體的接觸面上摩擦力很小而可忽略不計時，就可簡化為光滑接觸面(smooth surface)。a8

34、9a90光滑接觸面約束光滑接觸面約束FCFBFAFGABCa91a92 用圓柱銷釘將兩個零件連接在一起，并假設接觸面是光滑的，這樣構成的約束稱為光滑圓柱鉸鏈(smooth cylindrical pin)，簡稱鉸鏈。 被連接的構件可繞銷釘軸作相對轉動，但相對移動那么被限制。 3光滑圓柱鉸鏈光滑圓柱鉸鏈 a93a94 光滑圓柱鉸鏈的約束力是一個大小和方向都未知的二維矢量FN 。 在受力分析時，為了方便起見，我們常常用兩個大小未知的正交分力正交分力Fx和和Fy來表示它。FNFyFxa95光滑圓柱鉸鏈在圖中的表示光滑圓柱鉸鏈在圖中的表示AFAyFAxAyFAxFa96a97a98鉸鉸a99鉸鉸a10

35、0a101 當光滑圓柱鉸鏈連接的兩個構件之一與地面或機架固接那么構成固定鉸鏈支座(fixed support of pin joint)。4固定鉸鏈支座固定鉸鏈支座 a102AA 固定鉸鏈支座在圖中的表示固定鉸鏈支座在圖中的表示FAyFAxa103a104a105a106a1075. 光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈 固連于構件的小球嵌入另一構件上的球窩內，假設接觸面的磨擦可以忽略不計，即構成光滑球形鉸鏈(smooth ball and socket joint)，簡稱球鉸。球窩球窩小球小球a108光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈 球窩球窩小球小球FNFxFyFz 與鉸鏈相似，球鉸提供的約束力是一個過球心，大

36、小和方向都未知的三維空間矢量FN ，常用三個大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz來表示它。 a109zyxa110盆骨與股骨之間的球鉸連接盆骨與股骨之間的球鉸連接a111球鉸支座在圖中的表示球鉸支座在圖中的表示AAAFAzFAyFAxa1126. 可動鉸鏈支座可動鉸鏈支座 在鉸鏈支座與支承面之間裝上輥軸，就構成可動鉸可動鉸鏈支座鏈支座或輥軸輥軸鉸鏈支座鉸鏈支座(roller support of pin joint)。a113a114 可動鉸鏈支座的反力FN過鉸鏈中心且垂直于支承面。 FAAAFAFAa115a1167. 鏈桿鏈桿(二力桿二力桿)ABAFBFAB 兩端用光滑鉸鏈與其它構件連接且中

37、間不受力的剛性輕桿自重可忽略不計稱為鏈桿。 由于鏈桿為二力桿，根據二力平衡定理，鏈桿的約束力必然沿其兩端鉸鏈中心的連線。 FAa117a1188固定端固定端 物體的一局部固嵌于另一物體的約束稱為固定端約束(fixed end support)。 固定端約束的特點是既限制物體的移動又限制物體的轉動。 a119工程結構中的固定端約束工程結構中的固定端約束槽鋼懸臂梁槽鋼懸臂梁焊縫焊縫a120 在外載荷的作用下,受固定端約束的物體既不能移動也不能轉動,因此平面固定端約平面固定端約束的約束反力束的約束反力,可用兩個正交分力和一個力可用兩個正交分力和一個力偶矩表示。偶矩表示。 AMAAFAyFAxa121

38、空間固定端約束空間固定端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAya122a123a124 約束的根本類型約束的根本類型 柔索柔索光滑接觸面光滑接觸面光滑圓柱鉸鏈光滑圓柱鉸鏈固定鉸鏈支座固定鉸鏈支座光滑球形鉸鏈光滑球形鉸鏈可動鉸鏈支座可動鉸鏈支座鏈桿鏈桿(二力桿二力桿)固定端固定端 約束與約束反力的概念約束與約束反力的概念 a125靜力學根底靜力學根底1.4 物體的受力分析物體的受力分析(二二)a126 別離體和受力圖別離體和受力圖 被選取作為研究對象，并已解除約束被選取作為研究對象，并已解除約束的物體稱為別離體的物體稱為別離體(isolated body)。 當研究對象包括幾個物體時，解除約當

39、研究對象包括幾個物體時，解除約束是指解除周圍物體對它們的全部約束，束是指解除周圍物體對它們的全部約束，但不包括這些物體相互之間的聯系。但不包括這些物體相互之間的聯系。 1.4.2 物體的受力分析物體的受力分析選取適當的研究對象選取適當的研究對象解除約束解除約束畫受力圖畫受力圖a127 畫有別離體及其所受的全部主動力和約畫有別離體及其所受的全部主動力和約束力的圖稱為受力圖束力的圖稱為受力圖(free-body diagram)。 內力和外力內力和外力 中選取由幾個物體所組成的系統作為研究對象時，系統內部的物體之間的相互作用力稱為內力(internal force)，系統之外的物體對系統內部的物體

40、的作用力稱為外力(external force)。 顯然，內力和外力的區分是相對的，完全取決于研究對象的選擇。 在作受力圖時不必畫出內力。 a128對研究對象進行受力分析看似簡單，但它卻是研究力學問題的關鍵步驟之一。只有準確地掌握了根本概念，才有可能正確地進行受力分析。對此，初學者一定要予以足夠的重視。a129例例1 圖示結構為一提升重物的懸臂梁，試畫出圖示結構為一提升重物的懸臂梁，試畫出1AB梁和梁和2整體的受力圖。整體的受力圖。解：解： 整體的整體的 受力圖受力圖 AB梁的梁的 受力圖受力圖BAFGFTqFAxFAyMAFBxFBya130注意注意: 不要將線荷載不要將線荷載q簡化為一個集

41、中力。簡化為一個集中力。 A為平面固定端約束，為平面固定端約束，B為光滑園柱鉸為光滑園柱鉸鏈，應分別按其約束的特征畫出約束力。鏈，應分別按其約束的特征畫出約束力。 正交分力正交分力FAx、FAy和和FBx、FBy的指的指向，以及力偶矩向，以及力偶矩MA的轉向可以任意假定。的轉向可以任意假定。今后如果某個計算值為負，那么說明它今后如果某個計算值為負，那么說明它的實際方向與假定方向相反。但應注意，的實際方向與假定方向相反。但應注意，這種假定在同一問題中的幾個不同的受這種假定在同一問題中的幾個不同的受力圖中必須是一致的。力圖中必須是一致的。a131畫受力圖的步驟如下：畫受力圖的步驟如下： (1) 根

42、據問題的要求選取研究對根據問題的要求選取研究對象，畫出別離體簡圖。象，畫出別離體簡圖。 (2) 畫出別離體所受的全部主動畫出別離體所受的全部主動力，一般不要對載荷進行靜力等效替力，一般不要對載荷進行靜力等效替換。換。 (3) 在別離體上每一解除約束的在別離體上每一解除約束的地方，根據約束的類型逐一畫出約束地方，根據約束的類型逐一畫出約束力。力。 a132例例2 三鉸拱結構簡圖如下圖，不計拱的自重。試分別三鉸拱結構簡圖如下圖，不計拱的自重。試分別 作出作出1右半拱、右半拱、2左半拱和左半拱和3整體的受力圖。整體的受力圖。 ABCPa133BC解：解： 1右半拱的受右半拱的受力圖。力圖。FCyFC

43、xFByFBx?BCFCFBa134ABCPFAxFAyCF2左半拱的受力圖。左半拱的受力圖。 CF 是是FC 的反作用的反作用力。力。a135ABCPFBFAxFAy3整體的受力圖整體的受力圖1。 鉸鏈鉸鏈 C 處處的內力不要的內力不要畫出。畫出。a136三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理：剛體受不平行三力作用而平：剛體受不平行三力作用而平衡時，此三力的作用線必匯交于一點衡時，此三力的作用線必匯交于一點 . .A三力平衡匯交三力平衡匯交定理是剛體受定理是剛體受不平行三力作不平行三力作用而平衡的必用而平衡的必要條件要條件, ,可用可用于確定未知約于確定未知約束力的方向。束力的方向。F1F3F2a

44、137ABCPFBFA4整體的受力圖整體的受力圖2 三力平衡匯交定理的應用。三力平衡匯交定理的應用。 Ea138注意注意: : 要正確判斷二力桿和二力構件。 作用力和反作用力要配對。 內力不要畫出。 有時也可用三力平衡匯交定理來確定未知約束反力的方向。a139FWABCD例例3 結構如圖示，試畫出結構如圖示，試畫出1AB桿和桿和2整整體的受力圖。體的受力圖。a140解：解：1桿桿AB的受力圖的受力圖 FWABCFWABCFAxFAyFBxFByFAyFBy?a141桿桿AB的受力圖的受力圖 1 1FWABCDFAxFAyFBa142桿桿AB的受力圖的受力圖 2 2FWABCDFBFAa143F

45、WABCD2整體受力圖整體受力圖 1FDFAxFAya144整體受力圖整體受力圖 2 2FWABCDFDFAa145MABCDE例例4 結構如圖示，試畫出結構如圖示，試畫出1AB桿和桿和2整整體的受力圖。體的受力圖。a146MABDMABDFAxFAyFDxFDyFDFA?解：解：1桿桿AB的受力圖的受力圖 a147桿桿AB的受力圖的受力圖 1 1MABDCEFAxFAyFDa148桿桿AB的受力圖的受力圖 2 2MABDFDFA力偶只能與力偶平衡力偶只能與力偶平衡 a1492整體受力圖整體受力圖 1MABCDEFAxFAyFEa150整體受力圖整體受力圖 2 2MABCDEFEFAa151例

46、例5 5 組合梁如下圖，試分別作出梁組合梁如下圖，試分別作出梁ABAB、BCBC和整體的受和整體的受力圖。力圖。 ABCqDFPa152解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAFDFBBCq梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFPFBFC?a153解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAxFAyFDFBBCqFC梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFPFB?a154解：解： 梁梁 AB 的受力圖的受力圖 FAxFAyFDFBxFByBxFByFBCqFC梁梁 BC 的受力圖的受力圖 qABDFPa155整體的受力圖整體的受力圖 FAxFAyFDFCABCqDFPa156物體受力分析

47、課堂練習物體受力分析課堂練習1 試分別作出AC, DEBH, DE,以及BH的受力圖。PABCDEHa157受力圖受力圖APDEHCBPDECHEBABC?a158受力圖受力圖BABCPDEHCBPDECHEBa159物體受力分析課堂練習物體受力分析課堂練習2ABCDEQ 試分別作出AB, CE(加滑 輪), CE,以及整體的受力圖。a160受力圖受力圖ABADDCEQDCE?ABCDEQ?a161受力圖受力圖BDCEQBADDCEABCDEQa162 物體的受力分析物體的受力分析 別離體和受力圖 內力和外力內力和外力 三力平衡匯交定理三力平衡匯交定理 物體的受力分析的物體的受力分析的步驟和本

48、卷須知步驟和本卷須知a163力系的簡化力系的簡化a1642 力系的簡化力系的簡化 尋求一個力系的更簡單的等效力系，稱為力系的簡化(reduction of force systems)。 力系的簡化是靜力學研究的根本問題之一。 本章的主要內容包括: 匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化 空間任意力系的簡化空間任意力系的簡化 平行力系的簡化平行力系的簡化 平行力系中心和重心平行力系中心和重心a1652.1 匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化 匯交力系的簡化匯交力系的簡化 各力作用線匯交于一點的力系稱為匯交力系匯交力系(concurrent force system)。 匯交力系

49、的簡化匯交力系的簡化 幾何法幾何法 匯交力系F1,F2,Fn簡化的結果為一通過匯交點的合力,合力矢等于原力系的主矢:R1nii=FF幾何法即是用多邊形法那么求這個合力矢。a166 力的多邊形法那么力的多邊形法那么 FR =Fi FR =FiFnF1+ F2F1F2a167 匯交力系的簡化匯交力系的簡化 解析法解析法 上述結果稱為合力投影定理合力投影定理, 即合力在任一即合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影的代軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影的代數和。數和。R1nxixi=FFR1nyiyi=FFR1nzizi=FF1Rnii=FFRRR1()nxyzixiyizi=FFFFFFi

50、jkijka168 力偶系的簡化力偶系的簡化 任意力偶系M1,M2,Mn的簡化結果為一合力偶,其合力偶矩等于1nii=MM 全部由力偶組成的力系稱為力偶系力偶系(system of couples) 簡化的方法也有類似的幾何法和解析法。簡化的方法也有類似的幾何法和解析法。a169 作用在剛體上的力作用在剛體上的力FA 可以平行移動到剛可以平行移動到剛體上任一指定點體上任一指定點O，但必須附加一力偶，其，但必須附加一力偶，其力偶矩等于原力力偶矩等于原力FA 對指定點對指定點O之矩之矩MO(FA)。2.2 任意力系的簡化任意力系的簡化2.2.1 力線平移定理力線平移定理 FAAOMFOFA= MO

51、(FA)rOA= rOA FAa170AOFArOAAOFOMFO = FAM = MO(FA) = rOA FA 力線平移定理的證明力線平移定理的證明 注意一下上述定理的逆過程，注意一下上述定理的逆過程，即可發現當一個力和一個力偶即可發現當一個力和一個力偶矩相互垂直時矩相互垂直時, 即即FM時時,它們它們也可以合成為一個力。也可以合成為一個力。 a1712.2.2 任意力系向一點簡化任意力系向一點簡化F1F2F3FnOFiMiFiFiFi = FiMi = MO(Fi) 空間任意力系向空間任意力系向一點簡化得到一個一點簡化得到一個匯交力系和一個力匯交力系和一個力偶系。偶系。a172任意力系任

52、意力系向簡化中心O簡化匯交力系匯交力系力偶系力偶系+RiiFFF合力:作用于簡化中心O+合力偶:原力系對O的主矩()OOiMMFa173AFAAMAFAyFAxAMA 應用應用固定端約束的約束反固定端約束的約束反力力 任意力系任意力系向向A點簡化點簡化FA和和MA平面固定端約束平面固定端約束a174空間固定空間固定端約束端約束FAzFAxFAyMAzMAxMAyAFAMAa1752.2.3 平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果 平面任意力系F1,F2,Fn向一點簡化后得到 由此可得平面任意力系簡化結果的以下四種情況:R()iOOiOMM=FFF力 作用于 點力偶 a176 由此可得平面

53、任意力系簡化結果的以下四種情況:(1) 簡化為一合力，其合力矢FR = F R ，合力作用線通過簡化中心O。這時原力系等價于一個匯交于簡化中心O的匯交力系。 R,00OM F(2) 簡化為一合力偶，其力偶矩M = MO ，且與簡化中心的選擇無關，即原力系等價于一個力偶系。R= ,00OM Fa177OFRdOMOFRR()OOMMF(3) 簡化為一合力，其合力矢FR = FR，但合力作用線不通過簡化中心O。 R,00OMF (4) 原力系為一平衡力系。 R,00OMF a1782.3 平面平行力系的簡化平面平行力系的簡化 各力的作用線相互平行的平面力系稱為平面平行平面平行力系力系。平行力系是工

54、程中最常見的力系之一 。a179 平面平行力系的簡化平面平行力系的簡化 OyxFi向O點簡化后得到: 可進一步簡化為一個合力，其合力矢FR = FR= Fi 合力FR的作用點C稱為平行力系中心平行力系中心(center of parallel forces)。下面來確定它的位置。FRC()OORiiMM=FFF a180 平行力系中心平行力系中心 OyxFiFRC(xC,yC)(xi,yi) 由合力矩定理可得同理可得R()()OiOMMFFRCiiF xFxCiiixFxFCiiiyF yFa181 主矢不等于零的平行力系中各力繞其各自的作主矢不等于零的平行力系中各力繞其各自的作用點同時轉過一

55、個相同的角度時，平行力系中心用點同時轉過一個相同的角度時，平行力系中心的位置不變的位置不變。這個結論與我們的日常經驗是吻合的。平行力系中心C的坐標公式： 公式適用于任何主矢公式適用于任何主矢不等零的平行力系，式不等零的平行力系，式中各力的投影和作用點中各力的投影和作用點的坐標均為代數量，使的坐標均為代數量，使用時應注意正負號。用時應注意正負號。 CiiiCiiiCiiixFxFyF yFzFzFa182 平行平行分布載荷分布載荷 平行分布載荷是指平行分布的外表力或體積平行分布載荷是指平行分布的外表力或體積力，通常是一個連續分布的同向平行力系，在力，通常是一個連續分布的同向平行力系，在工程中極為

56、常見。工程中極為常見。 某些平行分布載荷可以簡化為沿直線分布的平行力，稱為線載荷線載荷。 作用于懸臂梁的載荷分布于狹長的梁頂外表，且受力關于梁的縱向對稱面對稱，故可簡化為梁縱向對稱面內的線載荷。qa183 線載荷的大小以某處單位長度上所受的力來表示，稱為線載荷在該處的集度集度(intensity)。常用q表示，單位為N/m或kN/m。 線載荷是平行力系的特殊情況，可用平行力線載荷是平行力系的特殊情況，可用平行力系的簡化理論來求它的合力。系的簡化理論來求它的合力。qlQl/2矩形均布載荷Q = qla184qlQl/3三角形分布載荷Q = ql/2 重心與形心重心與形心 作用在地球外表附近的物體

57、各質元上的重力可近似看成一平行力系,此平行力系中心就稱為物體的重心(center of gravity)。求物體重心的坐標可直接應用平行力系中心的坐標公式,即a185式中( xi yi zi )是第 i 個質元的坐標,Pi是它的重量。 重心坐標公式 均質物體的重心位置只取決于其體積和形狀, 與物體的幾何中心重合,也稱為形心形心(centroid of a volume)。形心坐標的計算公式為式中 V 是整個物體的體積。CiiiCiiiCiiixPxPyP yPzPzP;VVVcccxdvydvzdvxyzVVVa186例例1 求如下圖的平面圖形的形心。求如下圖的平面圖形的形心。 2aa2aax

58、ay解解：(1) 分割法分割法 將圖形分割成三個局部。各個局部的面積和形心坐標分別為:S1=3a2 x1=3a/2 y1=7a/2S2=2a2 x2=a/2 y2=2aS3=3a2 x3=3a/2 y3=a/2a1872aa2aaxay(2) 負面積法負面積法 將圖形補足成一規那么的矩形。S1=12a2 x1=3a/2 y1=2a 再挖去補充的局部,其面積和形心坐標分別為:5 /42CiiiCiiixS xSayS ySaa188S2=4a2 x2=2a y2=2a兩種方法求出的結果相同。1 122121122125 /42CCS xS xxaSSS yS yyaSS2aa2aaxaya189

59、例例2 如下圖，求作用于懸臂梁如下圖，求作用于懸臂梁AB的線分布荷載對的線分布荷載對A點點 的矩。的矩。 解解： ABLq2q1Q1Q2 2 12122231(+ 2)6ALMQQL qqL a190匯交力系與力偶系的簡化匯交力系與力偶系的簡化 力線平移定理力線平移定理空間任意力系向一點簡化空間任意力系向一點簡化平面任意力系的簡化結果平面任意力系的簡化結果平行力系的簡化平行力系的簡化平行力系中心和重心平行力系中心和重心a191力系的平衡力系的平衡(一一)a1923 力系的平衡力系的平衡3.3 考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題3.2.2 靜定與超靜定問題靜定與超靜定問題3.2.3 物系平

60、衡問題應用舉例物系平衡問題應用舉例3.2 物系平衡物系平衡 靜定與超靜定問題靜定與超靜定問題 3.2.1 物系平衡物系平衡3.1 力系的平衡方程力系的平衡方程3.1.1 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程3.1.3 力系平衡方程的應用力系平衡方程的應用3.1.2 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程a1933.1 力系的平衡方程力系的平衡方程3.1.1 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程3 力系的平衡力系的平衡空間任意力系平衡的充分必要條件 Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx (Fi ) = 0 My (Fi ) = 0 Mz (Fi ) = 0 空間任