1、課程設計的基本思路課程設計的基本思路 本課程設計通過總結與比較各類數值積分方法及列出具體算例，通過余項、代數精度等比較各種方法的異同。在我們解題時，用一些方法只能解決很狹隘的一部分積分，在它的范圍外通常采用各種近似計算的方法。在近似計算過程中，肯定會產生誤差，我們必須想辦法使得產生的誤差盡可能的小。因此，一個好的數值求積公式應該滿足：計算簡單、誤差小、代數精度高并且穩定。為了提高運算速度和準確性，我們要重視誤差分析、收斂性及穩定性的基本理論識，從而使運算速度更快、更準。第1頁/共10頁一、幾種數值積分的算法一、幾種數值積分的算法1 1、Newton-CotesNewton-Cotes求積公式求

2、積公式2 2、復化求積公式、復化求積公式)()(2)(bfafabTdxxfba（1）梯形公式（n=1）（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）)()2(4)(6)(bfbafafabSdxxfba（3）Cotes公式（n=4）)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabCdxxfba11)()(2)(2nkknbfxfafhT（1）復化梯形求積公式（2）復化Simpton求積公式11121)()(4)(2)(6nknkkknbfxfxfafhS（3）復化Cotes求積公式第2頁/共10頁3 3、龍貝格求積公式、龍貝格求積公式1011211041)(7)

3、(14)(12)43()(32)(790nknkiknkkkbfxfxxfxfafhCn4、高斯求積公式高斯求積公式 （1）高斯-勒讓德求積公式 110)()(nkkkxfAdxxf （2）高斯-切比雪夫求積公式1102)(1)(nkkkxfAdxxxf（3）高斯-拉蓋爾求積公式00)()(nkkkxxfAdxxfe，（4）高斯-埃爾米特求積公式nkkkxxfAdxxfe0)()(2mikimTTTmkmkmmkm, 2 , 1,144, 11, 1,第3頁/共10頁二、數值積分方法的誤差比較及算例二、數值積分方法的誤差比較及算例1、Newton-Cotes求積公式的誤差分析),(,)(12)

4、(3baabfRT ),(),(2880)() 4(5bafabRS),(),()4(945)( 2) 6(6bafababRC（1）梯形公式的截斷誤差（2）辛普森公式截斷誤差（3）柯特斯公式截斷誤差 小結：Simpson公式的插值節點只比梯形公式多一個，但其代數精確度卻比梯形公式高2，它們都是最為常用的數值積分公式，尤其是Simpson公式邏輯結構簡單，且精度又比較高. 第4頁/共10頁2 2、復化求積公式的誤差分析、復化求積公式的誤差分析 （1）復化梯形公式的截斷誤差)(12)(2fhabfRTn （2 2）復化辛普森公式的截斷誤差 ),(),()2(180)() 4(4bafhhfRnS

5、（3 3）復化CotesCotes公式的截斷誤差 ),(),()4(945)(2)()6(6bafhabfRnC收斂速度一個比一個快，一個比一個準確. nnnCST、小結 ：1、2 2、在使用函數值個數相等的情況下， 248CST、精度逐漸升高. 第5頁/共10頁3、龍貝格求積公式的誤差分析龍貝格求積公式的誤差分析 龍貝格求積公式是具有8 8階精度的算法，收斂且穩定, ,比 收斂的快. . 余項為：nnnCST、bakmkmTdxxffR,)()()()(!2)22(322).2)(1(22mmmkmmmfabB RombergRomberg積分法高速有效，易于編程，適合于計算機計算. .但它

6、有一個主要的缺點是，每當把區間對分后，就要對被積函數 計算它在)( xf新分點處的值，而這些函數值的個數是成倍的增加的. .第6頁/共10頁 4、高斯求積公式的誤差分析 高斯型求積公式代數精度比牛頓柯特斯代數精度高，當8n 時牛頓-柯特斯求積公式出現不穩定現象而高斯型求積公式總是穩定 的.高斯求積公式的代數精度高達8，是具有最高代數精度的插值型求 積公式.(1)1( )( )( )(1)!nbnafR fxx dxnn2210( )( )()nniif xxxx 0R f 22 n 高斯求積公式可分為帶權求積公式和不帶權求積公式兩大類.由插值余項知插值型求積公式的代數精度，另一方面，若取則有說明插值型求積公式的代數精度不可能達到不可能低于,高斯型求積公式是具有最高階代數精度的求積公式.第7頁/共10頁總結 通過理論分析和比較可以得出以下結論:一般來說, Newton- Cotes方法的代數精度越高,數值積分的效果越好;當積分區間較大時 候