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文檔簡介

1、.題型五立體幾何中的空間角問題1.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為CD的中點(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值2(2011·湖南)如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是AB的中點，D為AC的中點(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值答案 1(1)證明設ADDE2AB2a，以A為原點，AC為x軸，AB為z軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a

2、，a,2a)因為F為CD的中點，所以F.，(a，a，a)，(2a,0，a)因為()，AF平面BCE，所以AF平面BCE.(2)證明因為，(a，a,0)，(0,0，2a)，故·0，·0，所以，.所以平面CDE.又AF平面BCE，所以平面BCE平面CDE.(3)解設平面BCE的法向量為n(x，y，z)由n·0，n·0，可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，設BF和平面BCE所成的角為，則sin .所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.2方法一(1)證明如圖，連接OC，因為OAOC，D是AC的中點，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.

3、因為OD，PO是平面POD內的兩條相交直線，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)解在平面POD中，過O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在平面PAO中，過O作OGPA于G，連結HG，則有PA平面OGH，從而PAHG，故OGH為二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOA·sin 45°.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.所以cosOGH.故二面角BPAC的余弦值為.方法二(1)證明如圖，以O為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為

4、x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.設n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個法向量，則由n1·0，n·0，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)設n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個法向量，則由n2·0，n2·0，得所以x2z2，y2z2.取z21，得n2(，1)因為n1·n2(1,1,0)·(，1)0，所以n1n2.從而平面POD平面PAC.(2)解因為y軸平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一個法向

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