1、北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系1一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限限1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義引例1 考慮函數(shù)考慮函數(shù)( )1,f xx當(dāng)當(dāng)1x 時，時，2 2為為1x 時時( )f x的極限，記為的極限，記為11lim( )lim(1)2xxf xx引例2考慮函數(shù)考慮函數(shù)21( )1xf xx當(dāng)當(dāng)1x 時，時，只能考慮點只能考慮點1 1的空心鄰域內(nèi)的空心鄰域內(nèi)( )f x的值的值21111lim( )limlim121xxxxf xxx 稱稱函數(shù)函數(shù)的值的值無限趨近于無限趨近于2 2。( )f x第1頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系2)(xf在點0 x的某

2、去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時, 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xx時, 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0定義1 . 定定義義設(shè)函數(shù)第2頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系3 的的幾幾何何解解釋釋 )(limAxfxx 該鄰域內(nèi)所有點 x的縱坐標(biāo) f(x)落在A的 鄰域 內(nèi)，即相應(yīng)的點(x,f(x)落在綠色區(qū)域內(nèi). A的的 鄰域鄰域, .)( Axf恒恒有有, 0 , 0 當(dāng)當(dāng) x0的空心的空心 鄰域鄰域,時時, , |00 xx ( )( );f xAf xA表示任意小000

3、.xxxx表示的過程.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 函數(shù)極限0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 函數(shù)局部有界這表明極限存在 練習(xí) p38 T1,T7第3頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系4例例1. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx常數(shù)在任意變化過程中的極限都是本身。例2. 證明1)12(lim1xx證證:( )f xA 1) 12(x12x欲使,0取,2則當(dāng)10 x時 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx求差求差 求求滿足條件第4頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系5例例3. 證明證明222lim32xxxx 證證:Axf)(22( 3)2xxx

4、 13x 故,0取,當(dāng)02x 時 , 必有22( 3)2xxx 因此222lim32xxxx 2x 函數(shù)在某變化過程是否存在極限與函數(shù)在該點是否有定義無關(guān)，因為函數(shù)極限是考察函數(shù)在某去心鄰域去心鄰域內(nèi)的變化趨勢。練習(xí) p38 5-(1) 第5頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系6例例4. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時,00 xxx保證 .必有ox0 xx()02x第6頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系7

5、32lim8xx E E證證x x：適當(dāng)放大求出合適的,03300: lim.(0)xxxxx證明00330322333000|xxxxxxxxxxxx欲使,0,)( Axf只要30202,xxx00000,2xxxxx考慮 的鄰域不妨限定002xxx且03202min,2xx則當(dāng)00 xx必有330|xx0030230020,2xxxxxxxxx即例例5.證明證明: 證證:第7頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系8例如例如, ,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx

6、記作記作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy2. 單側(cè)極限單側(cè)極限:第8頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系9左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時, 有.)( Axf右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時, 有.)( Axf左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。 0(0)f x0(0)f x第9頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系10定理定理Axfxx)(lim000lim( )lim( )xxxxf xAf x00()()f xf

7、x 即即使使和和注注意意: :都都存存在在，但不相等，0lim( )xxf x也也不不存存在在。0lim( )xxf xA Axfxx)(lim0,010, 當(dāng)010(,)xxx 時, 有.)( Axf,020, 當(dāng)002(,)xxx 時, 有.)( Axf 12min, 則當(dāng)00 xx必有.)( Axf證明：證明：第10頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系11例例6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . xyo解解: 利用定理.因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( f

8、f所以)(lim0 xfx不存在.練習(xí)練習(xí) p38 T411 xy11 xy第11頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系1210limxxe討討論論極極限限解100limxxe 10limxxe 10 xx 當(dāng)當(dāng)時時，10 xx 當(dāng)當(dāng)時時，10limxxe所所以以不不存存在在練習(xí)：設(shè)函數(shù)1,0;( )cos ,0 xexf xax x 問a為何值時，)(lim0 xfx存在。1例例7. 第12頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系13;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .x 如何語言刻畫的過程：. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 問題問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“

9、無限接近”3、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限限00X 0, xX第13頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系14XXAAoxy)(xfy A定義定義2. 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時有定義,若,0X,)(,AxfXx有時當(dāng)則稱常數(shù)時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù).2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXx第14頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系15例例8. 證明證明sinlim0 xxx 證證:si

10、n0 xx sin|xx 取,1X,時當(dāng)Xx sin0 xx 因此sinlim0 xxx 注注:就有故,0欲使sin0,xx 只要,1xsin0.xyyx為為的的水水平平漸漸近近線線1|x 練習(xí) p38 T8第15頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系16x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的水平漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義:例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線1y 又如，oxy

11、x21x211y 第16頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系17命題：命題：Axfx)(limAxfx)(limAxfx)(lim1lim(arctan ) (1)xxx 討討論論例例1lim(arctan ) (1)121lim(arctan ) (1)12xxxxxx ,xearctgx arcctgx若函數(shù)式中含有若函數(shù)式中含有要求要求 時的極限，考慮用極限存在的充要條件時的極限，考慮用極限存在的充要條件x 第17頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系18內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的或X定義及應(yīng)用思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設(shè)函

12、數(shù))(xf且)(lim1xfx存在, 則. a3例3是否一定有1, 121,2xxxxa？第18頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系19三、函數(shù)極限的性質(zhì),)(lim0Axfxx自變量的六種變化過程對應(yīng)六種不同的鄰域。0 xx下下面面僅僅以以為為例例說說明明，|000 xxxx000 xxxxxxxx000Xxx|XxxxxX Nnn算上數(shù)列共有7種變化過程中的極限第19頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系20定理定理2（函數(shù)極限的唯一性）（函數(shù)極限的唯一性）如果如果0lim( )xxf x存在，存在，則這個極限唯一則這個極限唯一.局部性質(zhì)：函數(shù)在某一鄰域（空心鄰域）內(nèi)具局部性質(zhì)：函數(shù)在某一鄰域（空心鄰域

13、）內(nèi)具定理定理3（函數(shù)極限的局部有界性）（函數(shù)極限的局部有界性）,)(lim0Axfxx如果如果則存在常數(shù)則存在常數(shù)M 0和和 0,使得當(dāng)使得當(dāng)00 xx時時, 有有( ).f xM有的性質(zhì).第20頁/共32頁21定理定理4 局部保號性定理局部保號性定理若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當(dāng)xx. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x當(dāng)時, 有.)(AxfA當(dāng) A 0 時, 取正數(shù),2A則在對應(yīng)的鄰域上( )0.2Af x 則存在(A 0),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy ,2A ( )0.2

14、Af x 第21頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系22AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對應(yīng)的鄰域上 若,0)(lim0Axfxx則存在使當(dāng)時, 有.2)(Axf推論推論:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:第22頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系23推論推論. 若在若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx則. 0A)0(A證證: 用反證法.則由定理 4,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf所以假設(shè)不真, .0A思考: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf

15、是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假設(shè) A 0 , 與已知條件矛盾,故時,當(dāng)0)(xf第23頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系24（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）0lim()lim( ).必有nnxxf xf xA如果 f(x)在 上有定義, 則 0()x0lim( )xxf xA的充要條件,nx的數(shù)列是對于 內(nèi)任一收斂于0 x0()x0,nxx且證明證明設(shè)設(shè)0lim( ),xxf xA則則0, 0,當(dāng)當(dāng)00 xx時時, 有有( ).f xA又因又因0lim,nnxx故對上述故對上述0,nNN當(dāng)時，0.nxx有由假設(shè)，由假設(shè)，00(),且nnxxxxnN故當(dāng)時，00nxx從而從而|(

16、)|.nf xA即即lim()nnf xA必要性定理定理5第24頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系25證明證明充分性0lim( )xxf xA假設(shè)不成立, 即當(dāng) 時,函數(shù) f(x)0 xx不以A為極限. 即00,0,存在0(),xx0( )f xA 有當(dāng) 00,xx利用 的任意性, 特別取定1,1,2,nn存在0(),nxx0().nf xA有當(dāng) 00,nxx即找到位于0()x內(nèi)的數(shù)列,nx0lim,nnxx且函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系但0(),nf xA與已知條件相矛盾, 0lim( )xxf xA故必有第25頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系26例如例如, ,1sinlim0 xxx, 11sinl

17、im nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn第26頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系27說明說明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf第27頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系28xx1sinlim0的存在性 .證證: 取兩個趨于 0 的數(shù)列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn練習(xí)：討論：練習(xí)：討論：xxarctanlim的存在性 .例例9. 討論討論第28頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系29小小 結(jié)結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻( (見下表見下表) )第29頁/共32頁北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)系30過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn N