1、羅必達法則第二節第二節 洛必達法則洛必達法則一、一、 洛必達法則洛必達法則三三、小結小結型型未未定定式式解解法法二二、00100 ,羅必達法則一、一、 型及型及 型未定式解法型未定式解法: 洛比達法則洛比達法則0 00 0 定理定理(或為無窮大或為無窮大);設設(1) 當當 時時, 函數函數 及及 都趨于零都趨于零;xa( )f x( )F x(2) 在在 點的某去心鄰域內點的某去心鄰域內, 及及 都存在都存在a( )fx ( )Fx (3) 存在存在( )lim( )xafxFx ( )0;Fx 且且那么那么( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxF xFx -此法則稱為此法

2、則稱為洛必達法則洛必達法則. .羅必達法則注注:1)此法則只適用于不定式此法則只適用于不定式;2)公式右端是分子、分母分別求導；公式右端是分子、分母分別求導；3)這只是一個充分條件這只是一個充分條件.該法則仍然成立該法則仍然成立.4)( )( )limlim.( )( )xxf xfxF xFx 當當 時的未定式時的未定式 ,xa x 也有相應的法則也有相應的法則.5), ax, ax,xx,x羅必達法則可以繼續使用洛比達法則可以繼續使用洛比達法則,如果如果 仍為仍為 型型,( )( )fxFx 00且且 滿足定理的滿足定理的條件條件,( ),( )fx Fx即即( )lim( )xaf xF

3、 x( )lim( )xafxFx . ( )lim( ) xafxFx什么時候用什么時候用:0,0 ( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxF xFx 怎么用怎么用:6)羅必達法則解解例例1 求求xxxxsinlim3011 ()0 00 0解解12333221 xxxxlim原原式式266lim1 xxx.23 例例2 2.lim1232331 xxxxxx求求()0 00 0例例3 求求30 xxxxsinlim ()0 00 0解解203cos1limxxx xxx6sinlim0 61 原式原式原式原式16 230112 13 (1)limcosxxxx 羅必達法則解

4、解221limxxx . 1 解解0cossinlimcossinxaaxbxbbxax . 1 ()0 00 0() axabxbbaxcoscoslim0 2211lim1xxx axbxbaxsinsinlim0 原式原式原式原式例例5 5arctan2lim.1xxx 求求例例6 60lnsinlim,(0,0).lnsinxaxabbx 求求羅必達法則解解222seclim3sec 3xxx xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 () 原式原式例例7 7

5、2tanlim.tan3xxx 求求羅必達法則注意：洛必達法則是求未定式的一種有注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法效方法, ,解解例例8 8.sintanlimxxxxx20 求求30 xxxx tanlim原原式式xxxx6220tanseclim 22031xxx seclimxxxtanlim031 .31 但與其它求極限方法結合使用但與其它求極限方法結合使用, , 效果更好效果更好. .羅必達法則30arctanlim_.ln(12)xxxx 例例9 (000203) 解解2202111lim612xxxx 320(12)lim6(1)xxx 16 (方法方法2)原式原式=302

6、arctanlimxxxx 2206111limxxx 22206)1(limxxxx 16 (方法方法1)原式原式羅必達法則000,0 ,1 , 二二、型型未未定定式式解解法法關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型可解決的類型. .例例1111解解.limxxex2 求求()0 0 xexx2 lim原原式式2limxxe . 1. 0 型型步驟步驟: :10, 100.0 或或羅必達法則例例12 求求)(lnlim00 xxx解解lnlimxxx 0lim()xx00注注:若將極限化成若將極限化成0lim,1lnxxx 則問題會復雜化則問題會

7、復雜化.limxxx 101原式原式羅必達法則解解例例1313).sin(limxxx110 求求() 00.0 0 0sinlimsinxxxxx 20sinlimxxxx 2. 型型步驟步驟: :原式原式01coslim2xxx 0 1100羅必達法則步驟步驟: :0.1 0 ln10 ln 恒等變形恒等變形000 ln0 003. 0 ,1 , 型型解解0( 0 )xxxelnlim 0原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 0lnlim1xxxe 例例14140lim.xxx 求求羅必達法則解解(1 ) 1ln11limxxxe 1lnlim1xxxe 11

8、lim1xxe .1 e解解0() )ln(cotln1lim0 xxx xxxxsincoslim0 原式原式例例16161ln0lim(cot ).xxx 求求例例1515111lim.xxx 求求1.e 原式原式1ln(cot)ln,xxe 2011cotsinlim1xxxx 取對數得取對數得1ln(cot )xx羅必達法則解解1sinlim1xx ).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效洛必達法則失效.1lim(1cos )xxx. 1 注意：洛必達法則的使用條件注意：洛必達法則的使用條件例例1717coslim.xxxx 求求原式原式原式原式羅必達法則 201s

9、inlimsinxxxx 原原式式0112sincoslimcos xxxxx不存在注注意意：當：當 不存在不存在, , 也不為無窮大也不為無窮大, , 不不能利用能利用洛必達洛必達法則求極限法則求極限. . ()lim() xafxgx201sinlimsinxxxx201sinlim xxxx201sin. limsinxxxx例例解解2201112 sincoslimcos xxxxx xx01limsin0 xxx羅必達法則洛必達法則洛必達法則型型0010 ,型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取對數取對數令令gfy 三、小結作業作業: 4.2羅必達法則思考題

10、思考題設設)()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明. . 羅必達法則不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在思考題解答思考題解答羅必達法則一、一、 填空題：填空題： 1 1、 洛必達法則除了可用于求 “洛必達法則除了可用于求 “00” ， 及 “” ， 及 “ ”兩種類型的未定式的極限外，也可通過兩種類

11、型的未定式的極限外，也可通過變換解決變換解決_，_ ， _ ，_，_，等型，等型的未定式的求極限的問題的未定式的求極限的問題. . 2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_. 3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_. 練練 習習 題題羅必達法則二二、 用用洛洛必必達達法法則則求求下下列列極極限限： 1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ； 3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx； 5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ； 7 7、xxx)arctan2(lim . . 羅必達法則三三、 討討論論函函數數 0,0,)1()(