1、一、數學理論復習數學理論復習1、線性方程組a xa xa xba xa xa xba xaxaxbnnnnmmmnnm11 11221121 1222221 122記為記為 a x = b 其中a =(aij)mn x = (x1, ,xn), b = (b1, , bm)若秩(a) 秩(a,b)，則無解；若秩(a) = 秩(a,b) = n, 存在唯一解；若秩(a) = 秩(a,b) n, 存在無窮多解； 通解是齊次線性方程組 ax=0 的基礎解系與 ax=b 的一個特解之和。對于線性方程組 ax = b：ax = 0 稱為齊次的線性方程組高斯消元法對于線性方程組 ax = b （a | b

2、） 行變換（u| v ）其中u是行簡化階梯形矩陣(1) 階梯形矩陣(2) 每行首個非零元素為1,并且該1所在列其 它元素都為0 2、逆矩陣方陣a稱為可逆的，如果存在方陣b，使a b = b a = e，記 b = a-1方陣a可逆的充分必要條件:a0求逆矩陣方法： a-1 =a*/|a| 這里a*為a的伴隨矩陣 （a e） 行變換（e a-1）3、特征值與特征向量對于方陣a，若存在數和非零向量x 使 a x = x，則稱為a的一個特征值，x 為a 的一個對應于特征值的特征向量。特征值計算歸結為:特征多項式|a - e|=0的求根。對應于特征值的特征向量是齊次線性方程組 (a - e) x =

3、0的所有非零解二、使用二、使用matlab det 方陣的行列式 diag 對角陣inv 方陣的逆 cond 方陣的條件數trace 方陣的跡 orth 正交規范化rank 矩陣的秩 null 求基礎解系rref 矩陣的行最簡形eig 特征值與特征向量jordan 約當標準形分解norm 矩陣或向量范數1、特殊矩陣生成zeros(m,n) 生成m行n列的零矩陣;ones(m,n) 生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n) 生成n階單位矩陣;當a是矩陣,diag(a)返回a的對角線元素構成的向量;當x是向量,diag(x)返回由x的元素構成的對角矩陣；rand(m,n) 生成m行n列0,1上均

4、勻分布隨機數矩陣；linspace(x1,x2,n) 生成x1與x2間的n維等距行向量,即將x1,x2 n-1等分。2、行列式和逆矩陣det(a) 返回方陣a的行列式;inv(a) 返回a的逆矩陣。3、矩陣除法左除法 ab 求解矩陣方程ax=b右除法 b/a 求解矩陣方程xa=b(1) 當a為方陣，ab與inv(a)*b基本一致： (2) 當a不是方陣，除法將自動檢測。 若方程組無解,除法給出最小二乘意義上的近似解，即使向量axb的長度達到最小； 若方程組有無窮多解，除法將給出一個具有最多零元素的特解； 若為唯一解，除法將給出解。4、特征值和特征向量d=eig(a) 返回方陣a的特征值構成的列

5、向量；v,d=eig(a) 返回方陣a的特征值構成的對角陣d和每個特征值對應的特征向量按列構成的矩陣v。其中每個特征向量都是模等于1的向量，并且屬于同一特征值的線性無關特征向量已正交化。例1 解下列方程組42312yxyx42312zyxzyxa=1 2;3 -2; b=1;4;x=ab 求得唯一解a=1 2 1;3 -2 1; b=1;4;x=ab 求得一特解242312yxyxyx24212yxyx a=1 2;3 -2;1 -1; b=1;4;2;x=a b 求得一最小二乘近似解a=1 2;-2 -4; b=1;-2;x=ab 不能直接求解a=1 2;-2 -4;0 0; b=1;-2;

6、0;x=ab仍可求一近似特解增加方程 0 x+0y=0例2 線性方程組的通解12211432143214321xxxxxxxxxxxx解 在無窮多解情況下可用三種方法求通解， 用rref化為行最簡形以后求解；用除法求出一個特解，再用null求得一個齊次組的基礎解系；用符號工具箱中的solve求解。a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; r=rank(a),rank(a,b); x0=ab,xx=null(a); % x0為一特解,xx為對應齊次組的基礎解系運行后得:r=(2,2) 說明系數矩陣秩和增廣矩陣秩相等,自由未知量為4-2=2個0010 x0

7、=-0.7071 0-0.7071 0-0.0000 0.7071-0.0000 0.7071xx=方法一方法一:方程組的解=特解+對應齊次組的通解7071.07071.0000 0 0.7071-0.7071-010021ccx其中c1和c2為任意實數結果為結果為:t=1 -1 0 0 00 0 1 -1 10 0 0 0 0a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; r=rank(a),rank(a,b); t=rref(a,b); % 此時得出一個行簡化階梯形矩陣 解法二:運行后得:從而知原方程組等價于從而知原方程組等價于104321xxxx虛線為

8、等號虛線為等號1100,001110,0142得兩基礎無關解分別取值為令自由未知量，xx0100,0042得一特解取值為令自由未知量xx110000110100214321ccxxxx結果為結果為:其中c1和c2為任意實數104321xxxx對004321xxxx對導出組例3 判定下列線性方程組是否有解?若有解,求出其解4325322) 1 (321321321xxxxxxxxx8325322)3(321321321xxxxxxxxx032325322)2(321321321xxxxxxxxx(1) a=2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1; b=5;3;4 ; r1=rank(a);

9、r2=rank(a,b)r1 r2無解唯一解(2) a=2 -2 3;-1 1 -2;2 -3 1; b=5;3;0; r1=rank(a); r2=rank(a,b) r1 = r2=3x=ab 或x=inv(a)*b (3) a=2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1 ; b=5;3;8; r1=rank(a); r2=rank(a,b)r1 = r2=23x0=ab x=null(a1) %運行后得基礎解x=(0.7071, 0.7071,0) 無窮解經運行發現無法解出經運行發現無法解出x0因此給原方程組加因此給原方程組加一個方程一個方程0 x1+0 x2+0 x3=0a1=2 -2

10、 3;-1 1 -2;1 -1 1;0 0 0 ;b1=5;3;8;0;x1=a1b1; %經運行后可得出一個特解x1=(0,-19,-11)結果為結果為:07071. 07071. 011190321cxxx其中c為任意實數三、國民經濟投入產出分析三、國民經濟投入產出分析 設有n個經濟部門，xi為部門i的總產出，cij為部門j單位產品對部門i產品的消耗，di為外部對部門i的需求，fj為部門j新創造的價值。那么各經濟部門總產出應滿足下列關系式：消耗平衡方程組xxcfjjijinj1j=1,2,n令 c =（cij），x = (x1, , xn) ,d = (d1, , dn)，f= (f1,

11、, fn)則 x=cx+d令 a = ec，e為單位矩陣，則 ax = dc稱為直接消耗矩陣，a稱為列昂杰夫（leontief）矩陣。分配平衡方程組xc xdiijjnji1i =1,2,ny = 1,1,1 by表示各部門的總投入，稱為投入向量。新創造價值向量 f=x y b=cb表示各部門間的投入產出關系，稱為投入產出矩陣。xxxn12四、實驗例題 例4 某地有三個產業，一個煤礦，一個發電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費; 生產一元錢的電力，發電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費; 創收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.5

12、5元的煤費和0.10元的電費，在某一周內煤礦接到外地金額50000元定貨，發電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。解：這是一個投入產出分析問題。設x1為本周內煤礦總產值，x2為電廠總產值, x3為鐵路總產值, 則xxxxxxxxxxxx11232123312300 65055500000 250 05010250000 250 0500(.)( .)( .) 問三個企業間一周內總產值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業間相互支付多少金額？三個企業各創造多少新價值?直接消耗矩陣c= 02500050000外界需求向量 d =產出向量x = xxx123006505502500

13、50100250050.則原方程為則原方程為 (e-c)x=d 投入產出矩陣為 b=c*diag(x)總投入向量 y= ones(1,3)*b 新創造價值向量 f=x-ymatlab程序:c=0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0;d=50000;25000;0;a=eye(3)-c;x=ad; %總產出矩陣向量b=c*diag(x); %投入產出矩陣y=ones(1,3)*b; %總投入向量f=x-y %新創造價值向量 消耗部門外界需求煤礦電廠鐵路生產部門煤礦0365061558250000電廠255222808283325000鐵路25522280800

14、新創造的價值 51044140419915總產出1020885616328330投入產出分析表例4 （隱性病遺傳）染色體遺傳中，后代是從父母體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因a和a控制，那么就有三種基因型，父 母概率aa-aa aa-aaaa-aaaa-aaaa-aaaa-aaaa11/201/400aa01/211/21/20后代aa0001/41/21上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因對的概率。設金魚某種遺傳病染色體的正常基因為a，不正常基因為a, 那么aa，aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設初始分布為90%正常

15、金魚，10%的隱性患者，無顯性患者。考慮下列兩種配種方案對后代該遺傳病基因型分布的影響方案一：同類基因結合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結合繁殖解 設初始分布x(1)=(0.9 0.1 0),第n代分布為x(n)=)(3)(2)(1nnnxxxa =b=14/1002/1004/1100002/1002/11則 x(n) = an-1x(1) x(n) = bn-1x(1) 分別是 兩種情況下第n代的基因型分布aaaaaamatlab程序:方案一:a=1 1/4 0;0 1/2 0;0 1/4 1;x=0.9 0.1 0;for i=2:20 x=a*x;end

16、x20=x方案二:clear;b=1 1/2 0;0 1/2 0;0 0 0;y=0.9 0.1 0;for i=2:20 y=b*y;endy20=y運行程序后得結果x20=(0.9500,0.0000,0.0500)y20=(1.0000,0.0000,0.0000)可見按方案：很多代以后將出現5%的穩定顯性患者按方案：很多代以后顯性患者將趨于消失方案體現了雜交的優勢補充內容 解的誤差分析解的誤差分析u 解的誤差分析解的誤差分析對于實際問題導出的方程組對于實際問題導出的方程組 ax =b ,系數矩陣系數矩陣a與向與向量量b往往帶有誤差（擾動），下面討論往往帶有誤差（擾動），下面討論a或或b

17、的微小的微小變化對解變化對解x的影響。的影響。 21,22,01. 1111xxxba解線性方程解線性方程ax =b 201.122121xxxx即求解線性方程組即求解線性方程組例例:可得出解為可得出解為, 0, 221 xx若方程右端變為若方程右端變為 01. 22b, 則方程的解變為則方程的解變為1, 121 xx 可見可見x對對b的的擾動敏感擾動敏感從圖可以看出，原從圖可以看出，原方程組對應的兩條方程組對應的兩條直線（紅與黑）交直線（紅與黑）交于（于（2，0）點，但）點，但由于兩直線幾近平由于兩直線幾近平行，所以當第二個行，所以當第二個方程有微小變化方程有微小變化（從（從2到到2.01）時，）時，交點變（交點變（1，1），），變化很大。變化很大。對對ax = b = b ，如果解，如果解x 對對b 或或a 的的擾動敏感，就稱擾動敏感，就稱方程組是病態的方程組是病態的，也稱也稱系數矩陣系數矩陣a 是病態的是病態的。為了定量地估計為了定量地估計x對對b或或a的擾動敏感的程度的擾動敏感的程度,需要度量需要度量向量或矩陣向量或矩陣“大小大小”的數量指標。的數量指標。向量范數向量范數或或矩陣范數矩陣范數正是這樣的指標，它們分別用正是這樣的