1、1999年考研數學二真題及答案一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。把答案填在題中橫線上。)(1) 曲線，在點處的法線方程為 (2) 設函數由方程確定，則 (3) (4) 函數在區間上的平均值為 (5) 微分方程的通解為 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在提后的括號內。)(1) 設，其中是有界函數，則在處 ( )(A) 極限不存在.(B) 極限存在，但不連續.(C) 連續，但不可導.(D) 可導.(2) 設，則當時是的 ( ) (A)高階無窮小 (B)低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小 (D)等

2、價無窮小(3) 設是連續函數，是的原函數，則 ( )(A) 當是奇函數時，必是偶函數.(B) 當是偶函數時，必是奇函數.(C) 當是周期函數時，必是周期函數.(D) 當是單調增函數時，必是單調增函數.(4) “對任意給定的，總存在正整數，當時，恒有”是數列收斂于的 ( )(A)充分條件但非必要條件. (B)必要條件但非充分條件.(C)充分必要條件. (D)既非充分條件又非必要條件.(5)記行列式為，則方程的根的個數為( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.三、(本題滿分5分)求 .四、(本題滿分6分)計算 .五、(本題滿分7分)求初值問題 的解.六、(本題滿分7分)為清除井

3、底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見圖，已知井深30m,抓斗自重, 纜繩每米重 ，抓斗抓起的污泥重，提升速度為,在提升過程中，污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉，現將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？(說明：其中分別表示米，牛頓，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)七、(本題滿分8分)已知函數，求(1)函數的增減區間及極值；(2)函數圖形的凹凸區間及拐點(3)函數圖形的漸近線.八、(本題滿分8分)設函數在閉區間上具有三階連續導數，且，證明：在開區間內至少存在一點，使.九、(本題滿分9分)設函數二階可導，且，.過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的

4、垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設恒為1，求此曲線的方程.十、(本題滿分6分)設是區間上單調減少且非負的連續函數，證明數列的極限存在.十一、(本題滿分8分)設矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣.十二、(本題滿分5分)設向量組，(1)為何值時，該向量組線性無關？并在此時將向量用線性表出；(2)為何值時，該向量組線性相關？并此時求出它的秩和一個極大線性無關組.答案一、填空題(1)【答案】(2)【答案】1(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】其中為任意常數.二、選擇題(1)【答案】( D )(2)【答案】( C )(3)【答案】( A )(

5、4)【答案】( C )(5)【答案】(B)三、進行等價變化，然后應用洛必達法則，【方法1】【方法2】四、采用分部積分法五、將原方程化簡 令，則，代入上式，得 ，化簡并移項，得 ，由積分公式得 ，其中是常數， 因為所以，去掉根號，得 ，即，把代入并化簡，得 六、建立坐標軸如圖所示，解法1：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功，其中是克服抓斗自重所作的功；是克服纜繩重力作的功；為提出污泥所作的功. 由題意知將抓斗由處提升到處，克服纜繩重力所作的功為= 纜繩每米重纜繩長提升高度從而 在時間間隔內提升污泥需做功為將污泥從井底提升至井口共需時間所以 因此，共需做功 解法2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記

6、為，當抓斗運動到處時，作用力包括抓斗的自重, 纜繩的重力， 污泥的重力即 于是 七、函數的定義域為，對函數求導，得，令得駐點；令得. 因此，需以為分界點來討論，列表討論如下：凸，增拐點凹，增凹，減極小值凹，增由此可知，(1)函數的單調增區間為，單調減區間為，極小值為.(2)函數圖形在區間內是向上凸的，在區間內是向上凹的，拐點為點.(3)由，可知是函數圖形的鉛直漸近線. 又因為 故是函數的斜漸近線.八、(本題滿分8分)設函數在閉區間上具有三階連續導數，且，證明：在開區間內至少存在一點，使.解法1：由麥克勞林公式得，其中介于與之間，分別令并結合已知條件得 兩式相減，得 由的連續性，知在區間上有最大

7、值和最小值，設它們分別為和，則有 再由連續函數的介值定理知，至少存在一點，使 解法2：構造函數，使得時有三個點，有兩個點，從而使用羅爾定理證明必然存在.設具有三階連續導數令 ，將代入得代入得 由羅爾定理可知，存在，使又因為，再由羅爾定理可知，存在，使得再由羅爾定理知，存在，使 即 .九、如圖，曲線上點處的切線方程為所以切線與軸的交點為由于 因此于是 又 根據題設 得兩邊對求導并化簡得這是可降階的二階常微分方程，令 則，上述方程化為分離變量得，解得，即從而有 ，根據可得故所求曲線得方程為 .十、利用單調有界必有極限的準則來證明.先將形式化簡，因為 所以 又因為單調減少且非負，所以有 ，故；又因為

8、 所以單調減少，因為單調有界必有極限，所以存在.十一、題設條件 上式兩端左乘，得 因為，所以 根據可逆矩陣的定義：對于矩陣，如果存在矩陣，使得，則稱為可逆矩陣，并稱是的逆矩陣，故均是可逆矩陣，且又 因為常數與矩陣相乘，的每個元素都要乘以，故，所以(對應元素相減)()用初等行變換求逆，當用初等行變換將矩陣化為單位矩陣時，經過相同的初等行變換，單位矩陣化成了，即故 十二、【概念】向量組線性無關以為列向量組成的線性齊次方程組只有零解向量能否由向量組線性表出以為列向量組成的線性非齊次方程組是否有解作方程組，并對增廣矩陣作初等行變換，(1) 當時，方程組有唯一解的充要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且等于未知量的個數，故線性無關，且方程組有唯一解，其同解方程組為，解得代入中，即可由線性表出，且表出式為(2) 向