1、四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 1給出了給出了利用積分區域的對稱性利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算各種積分的命題計算各種積分的命題并給出了詳細證明并給出了詳細證明四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 2利用積分區間的對稱性利用積分區間的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算計算定積分定積分四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 3命題命題 100, ( ) ( ) 2( ), ( ) aaaf xf x dxf x dxf x當是奇函數當是偶函數證證0000( )()()()=()=xtaaaaf x dxftdtft

2、 dtfx dx換元交換積分變量四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 4若若 f(x)是奇函數是奇函數: f(-x)= -f(x)0000( )( )( )( )( )0aaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 則所以若若 f(x)是偶函數是偶函數: f(-x)= f(x)00000( )( )( )( )( )2( )aaaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 5利用積分區域的對稱性利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算計算二重積

3、分二重積分四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 6( , )df x y dxdy命題命題 2若區域若區域d 關于關于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關于關于 x 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 x 為偶函數為偶函數 012( , )df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關于關于 x 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 x 為偶函數：為偶函數：1( , )|0dx yd xd1d四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 7證證 不妨假定不妨假

4、定d的右半部分的右半部分d1為為x型區域：型區域：1:,( )( )daxbxyx由由d關于關于y軸的對稱性，軸的對稱性，d的左半部分的左半部分d2為：為：2:,()()dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxdxtatbtbtbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 8( ,)( , )f xyf x y 若2112( )( )( , )( , )( , )( , )( , )

5、( , )0bxaxdddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 9( ,)( , )f xyf x y若21121( )( )( , )( , )( , )( , )( , )+( , )=2( , )bxaxddddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 10( , )df x y dx

6、dy命題命題 2若區域若區域d 關于關于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關于關于 y 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 y 為偶函數為偶函數 012( , )df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關于關于 y 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 y 為偶函數：為偶函數：1( , )|0dx yd yd1d四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 11( , )df x y dxdy推論推論1若若 d 關于關于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱且且 f(

7、x, y) 關于關于 x 和和 y 均為偶函數均為偶函數1( , )|0,0dx yd xy14( , )df x y dxdyd1d則則四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 12命題命題 3若若 d1是區域是區域 d 關于直線關于直線 y = x 對稱的區域，則對稱的區域，則1( , )( , )ddfdxdyfdxdyxxyyd1d四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 13證證 不妨假定不妨假定d為為x型區域：型區域：:,( )( )d axbxyx則則d1為為y型區域：型區域：1( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )badx ybaxxy

8、dyfdxdyfddfdyyyyxxxxdfdxdyxxyy 交換積分變量 ,所以1:,( )( )daybyxy四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 14推論推論 1若若 d 關于直線關于直線 y = x 對稱，則對稱，則( , )( , )ddfdyyxdyfdxdxxyd證證 設設 d1 是是d 關于直線關于直線 y=x 對稱的區域，則對稱的區域，則d1=d。用命題。用命題 3 即得。即得。四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 151( , )2( , )ddf x y dxdyf x y dxdy推論推論 2若區域若區域 d 關于直線關于直線 y = x 對稱對

9、稱且且 f(x, y) 關于關于 x 和和 y 對稱：對稱：( , )( , )ffyyxx則則d1( , )|dx yd xy其中1d四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 16證證 設設2( , )|dx yd xy則則d2與與d1關于直線關于直線 y=x 對稱，且對稱，且12ddd由命題由命題 3211( , )( , )( , )dddfdxdyfdxdyfdxdyxyxyyx121( , )=( , )+( , )2( , )ddddf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 17利用

10、積分區域的對稱性利用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算計算三重積分三重積分四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 18( , , )f x y z dv當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數為奇函數當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數為偶函數 012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數：為奇函數：f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數：為偶函數：1( , , )|0 x y zz 命題命題

11、4 若空間區域若空間區域關于關于 xoy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則高等數學學習手冊高等數學學習手冊255頁頁 第一行第一行四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 19證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為xy型區域：型區域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 由由關于關于xoy坐標面的對稱性，坐標面的對稱性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 202( , )( , )( , )( ,

12、)( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx ydztx yx ydx yx ydx yx ydf x y z dvdf x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 21( , ,)( , , )zy zf x yf x若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z

13、 dvf x y z dvf x y z dv 則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 22( , ,)( , , )f x yfzxzy若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )2( , , )x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 23利用積分曲線的對稱性利用積分曲線的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算對計算對弧長的曲線

14、積分弧長的曲線積分四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 24( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線 l 關于關于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關于關于 x 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 x 為偶函數為偶函數 012( , )lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關于關于 x 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 x 為偶函數：為偶函數：1( , )|0lx yl xl1l四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 25證證 設設 l

15、 的右半部分的右半部分 l1 由以下參數方程給出：由以下參數方程給出：1:( ),( ),lxtytatb 由由 l 關于關于 y 軸的對稱性，軸的對稱性，l 的左半部分的左半部分 l2 的參的參數方程為：數方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )lbabaf x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),lxtytatb 四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 26(, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0lballllf

16、x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 27(, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )lballlllf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 28( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線l關于關于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(

17、x,y) 關于關于 y 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 y 為偶函數為偶函數 012( , )lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關于關于 y 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 y 為偶函數：為偶函數：1( , )|0lx yl yl1l四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 29( , , )f x y z ds當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數為奇函數當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數為偶函數 012( , , )f x y z ds( , ,)(

18、, , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數：為奇函數：f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數：為偶函數：1( , , )|0 x y zz 命題命題 6 若空間曲線若空間曲線 關于關于 xoy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 30證證 設設 的上半部分的上半部分 1 由以下參數方程給出：由以下參數方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關于關于xoy面的對稱性，面的對稱性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數方程

19、為：參數方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 31( , ,)( , , )f x yzf x y z 若2112222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z

20、dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 32( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學數學學院 徐小

21、湛april 積分的對稱性 33利用積分曲面的對稱性利用積分曲面的對稱性和被積函數的奇偶性和被積函數的奇偶性計算對計算對面積的曲面積分面積的曲面積分四川大學數學學院 徐小湛april 積分的對稱性 34( , , )f x y z ds當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數為奇函數當當 f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數為偶函數 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關于關于 z 為奇函數：為奇函數：f(x, y, z) 關于關于 z 為偶函數：為偶函數：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關于關于 xoy 面面