1、高考大題規范解答系列(六)概率與統計考點一離散型隨機變量的分布列與期望例1 (2021山西聯考)已知甲盒中有三個白球和三個紅球，乙盒中僅裝有三個白球，球除顏色外完全相同現從甲盒中任取三個球放入乙盒中(1)求乙盒中紅球個數x的分布列與期望；(2)求從乙盒中任取一球是紅球的概率【標準答案】規范答題步步得分(1)由題意知x的可能取值為0,1,2,3.p(x0)，p(x1)，2分p(x2)，p(x3)，4分所以x的分布列為x0123p5分所以e(x)0123.6分(2)當乙盒中紅球個數為0時，p10，7分當乙盒中紅球個數為1時，p2，8分當乙盒中紅球個數為2，p3，9分當乙盒中紅球個數為3時，p4，1

2、0分所以從乙盒中任取一球是紅球的概率為p1p2p3p4.12分【評分細則】(1)第一問中，正確算出p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分(2)第二問中，分類討論，每種情況各占1分(3)其他方法按步驟酌情給分例2 (2019課標，21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效為了方便描述

3、問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為x.(1)求x的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i0,1，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假設0.5，0.8.證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數列；求p4，并根據p4的

4、值解釋這種試驗方案的合理性【標準答案】規范答題步步得分(1)x的所有可能取值為1,0,1.p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)，p(x1)(1)所以x的分布列為x101p(1)(1)(1)(1)4分(2)由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.5分因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1).6分又因為p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比為4，首項為p1的等比數列.7分由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)

5、(p2p1)(p1p0)p1.10分p4表示最終認為甲藥更有效的概率由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p40.003 9，11分此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.12分【評分細則】每個式子1分，表格1分；給出x的可能取值給1分；得出a、b、c的值(有正確的)得1分；得到pi1pi4(pipi1)得1分；給出結論得1分；得出p8，p4，p1的表達式各得1分；說明p4非常小得1分；說明實驗方案合理得1分【名師點評】1核心素養：本題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、方差的應用、二項分布、決策問題等，考查數據處理能力、運算

6、求解能力，考查或然與必然思想，考查的核心素養的邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析2解題技巧：破解此類題的關鍵：一是認真讀題，讀懂題意；二是會利用導數求最值；三是會利用公式求服從特殊分布的離散型隨機變量的期望值；四是會利用期望值，解決決策型問題變式訓練1(2021湖南五市十校教研教改共同體聯考)某學校為了了解學生對新冠病毒的傳播和預防知識的掌握情況，學校決定組織一次有關新冠病毒預防知識競答競答分為必答題(共5題)和選答題(共2題)兩部分每位同學答題相互獨立，且每道題答對與否互不影響已知甲同學答對每道必答題的概率為，答對每道選答題的概率為.(1)求甲恰好答對4道必答題的概率；(2)在選答階段，

7、若選擇回答且答對獎勵5分，答錯扣2分，選擇放棄回答得0分已知甲同學對于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為，試求甲同學在選答題階段，得分x的分布列解析(1)甲恰好答對4道必答題的概率為pc4.(2)依題意，每道題選擇回答并答對的概率為，選擇回答且答錯的概率為，選擇放棄回答的概率為.甲得分的可能性為4分，2分，0分，3分，5分和10分所以p(x4)，p(x2)c，p(x0)，p(x3)c，p(x5)c，p(x10)2.所以x的分布列為x4203510p考點二線性回歸分析例3 (2018全國2)下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資y(單位：億元)的折線圖為了預測該地區2018年

8、的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，17)建立模型；30.413.5t，根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由【分析】(1)模型中取t19，模型中取t9，求出對應的函數值即可；(2)利用所給折線圖中數據的增長趨勢，加以分析即可【標準答案】規范答題步步得分(1)利用模型，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為30.413.51

9、9226.1(億元).3分利用模型，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為9917.59256.5(億元).6分(2)利用模型得到的預測值更可靠8分理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型9917.

10、5t可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠(ii)從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預測值更可靠(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)12分【評分細則】根據模型求出預測值給3分；根據模型求出預測值給3分；判斷模型得到的預測值更可靠給2分；作出正確的判斷，寫出合理理由，給4分；【名師點評】1核心素養：本題主要考查線性回歸方程的實際應用，考查考生的應用意識，分析問題與解決問題的能力以及運算求解

11、能力，考查數學的核心素養是數據分析、數學建模、數學運算2解題技巧：統計中涉及的圖形較多、常見的有條形統計圖、折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖、應熟練地掌握這些圖形的特點，提高識圖與用圖的能力變式訓練2(2021安徽蚌埠質檢)經銷商小王對其所經營的某一型號二手汽車的使用年數x(0x10，xn)與每輛的銷售價格y(單位：萬元)進行整理，得到如表的對應數據：使用年數246810售價16139.574.5(1)試求y關于x的回歸直線方程；(2)已知每輛該型號汽車的收購價格(單位：萬元)與使用年數x(0x10，xn)的函數關系為0.05x21.75x17.2，根據(1)中所求的回歸方程，預測x為何值時，小

12、王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為， .解析(1)由表中數據，得(246810)6，(16139.574.5)10，由最小二乘法得 1.45，10(1.45)618.7，所以y關于x的回歸直線方程為y1.45x18.7.(2)由題意，zy1.45x18.7(0.05x21.75x17.2)0.05x20.3x1.5，其中06.635，11分所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異12分【評分細則】答案給出了4種理由，考生答出任意一種或其他合理理由，均給4分；由莖葉圖求出中位數，給2分；按要求完成22列聯表，給2分；根據公式正確求出k2的

13、值，給3分；借助于臨界值表作出判斷，給1分【名師點評】1核心素養：莖葉圖及獨立性檢驗是高考命題的重點，在每年的高考試題都以不同的命題背景進行命制此類問題主要考查學生的分析問題和解決實際問題的能力，同時考查“數據分析”的數學核心素養2解題技巧：(1)審清題意：弄清題意，理順條件和結論；(2)找數量關系：把圖形語言轉化為數字，找關鍵數量關系；(3)建立解決方案：找準公式，將22列聯表中的數值代入公式計算；(4)作出結論：依據數據，借助臨界值表作出正確判斷變式訓練3(2021湖南百校聯考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影響，我市全體學生只能網上在線學習為了了解學生在線學習的情況，市教研院數學教研室隨

14、機從市區各高中學校抽取60名學生對線上教學情況進行調查(其中男生與女生的人數之比為2：1)，結果發現男生中有10名對線上教學滿意，女生中有12名對線上教學不滿意(1)請完成如下22列聯表，并回答能否有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性別有關”；滿意不滿意合計男生女生合計60(2)以這60名學生對線上教學的態度的頻率作為1名學生對線上教學的態度的概率，若從全市學生中隨機抽取3人，設這3人中對線上教學滿意的人數為x，求隨機變量x的分布列與數學期望附：參考公式及臨界值表k2，其中nabcd.p(k2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解析(1)

15、由題意可知抽取60名學生中男生有40人，女生有20人，則列聯表如下：滿意不滿意合計男生103040女生81220合計184260因為k21.4292.706，所以沒有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性別有關”(2)x的可能取值為0,1,2,3，由題意可知，xb，p(xk)ck3k，k0,1,2,3，隨機變量x的分布列為x0123pe(x)3.考點四正態分布例5 國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風景線，每一名女兵都是經過層層篩選才最終入選受閱方隊，篩選標準非常嚴格，例如要求女兵身高(單位：cm)在區間165,175內現從全體受閱女兵中隨機抽取200人，對她們的身高進行統計，將所得數

16、據分為165,167)，167,169)，169,171)，171,173)，173,175五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數為75，最后三組的頻率之和為0.7.(1)請根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數和方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；(2)根據樣本數據，可認為受閱女兵的身高x(cm)近似服從正態分布n(，2)，其中近似為樣本平均數，2近似為樣本方差s2.()求p(167.86x174.28)；()若從全體受閱女兵中隨機抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率參考數據：若xn(，2)，則p(x)0.682 6，p(2x2)0.

17、954 4，10.7，0.954 4100.63,0.977 290.81,0.977 2100.79.解析(1)由題知五組頻率依次為0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1分故0.11660.21680.3751700.251720.075174170，2分s2(170166)20.1(170168)20.2(170172)20.25(170174)20.0754.6；4分(2)由題知170，2.14，5分()p(167.86x174.28)p(x174.28)0.022 8，故10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率p1(10.022 8)1010.977 210

18、10.790.21.12分變式訓練4(2021貴州遵義模擬)3d打印通常是采用數字技術材料打印機來實現的，常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，后逐漸用于一些產品的直接制造，已經有使用這種技術打印而成的零部件該技術應用十分廣泛，可以預計在未來會有廣闊的發展空間，某制造企業向a高校3d打印實驗團隊租用一臺3d打印設備，用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取10件零件，度量其內徑的莖葉圖如圖所示(單位：m).(1)計算平均值與標準差；(2)假設這臺3d打印設備打印出的零件內徑z服從正態分布n(，2)，該團隊到工廠安裝調試后，試打了5個零件，度

19、量其內徑分別為：86,95,103,109,118(單位：m)，試問：此打印設備是否需要進一步調試，為什么？參考數據：p(2z2)0.954 4，p(3z3)0.997 4，0954 430.87, 0.997 440.99，0045 620.002.解析(1)105 m，236，所6m.(2)結論：需要進一步調試理由如下：如果機器正常工作，則z服從正態分布n(105,62)，p(3z3)p(87z0，所以z在(0,4.06)上單調遞增，當x(4.06，)時，z0，所以z在(4.06，)上單調遞減，所以當x4.06時，即季銷量y10.20千本時，季利潤總額預報值最大變式訓練5(2021河北省部分重點高中期末聯考)11月，2019全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地安徽