1、要點梳理要點梳理1.1.集合與元素集合與元素（1 1）集合元素的三個特征：）集合元素的三個特征：_、_、 _._.（2 2）元素與集合的關系是）元素與集合的關系是_或或_關系，關系， 用符號用符號_或或_表示表示. .第一章 集合與常用邏輯用語1.1 1.1 函數及其表示函數及其表示 基礎知識基礎知識 自主學習自主學習確定性確定性互異性互異性無序性無序性屬于屬于不屬于不屬于 (3) (3)集合的表示法：集合的表示法：_、_、_、 _._. (4) (4)常用數集：自然數集常用數集：自然數集n n；正整數集；正整數集n n* *（或（或n n+ +）; ;整整 數集數集z z；有理數集；有理數集

2、q q；實數集；實數集r r. . (5) (5)集合的分類集合的分類: :按集合中元素個數劃分按集合中元素個數劃分, ,集合可以集合可以 分為分為_、_、_. _. 2.2.集合間的基本關系集合間的基本關系 (1)(1)子集、真子集及其性質子集、真子集及其性質 對任意的對任意的x xa a，都有，都有x xb b，則，則 . .（或（或 . . 若若a ab b，且在，且在b b中至少有一個元素中至少有一個元素x xb b，但，但x xa a， 則則_（或（或_）. .列舉法列舉法描述法描述法圖示法圖示法有限集有限集無限集無限集空集空集區間法區間法baab _a a；a a_a a；a a

3、b b，b b c c a a_c c. . 若若a a含有含有n n個元素個元素, ,則則a a的子集有的子集有_個個, ,a a的非空子集的非空子集 有有_個個, ,a a的非空真子集有的非空真子集有_個個. . (2)(2)集合相等集合相等 若若a ab b且且b ba a, ,則則_._.3.3.集合的運算及其性質集合的運算及其性質 (1)(1)集合的并、交、補運算集合的并、交、補運算 并集：并集：a ab b=x x| |x xa a或或x xb b ； 交集：交集：a ab b=_=_； 補集：補集： u ua a=_.=_. u u為全集，為全集， u ua a表示表示a a相對

4、于全集相對于全集u u的補集的補集. . 2 2n n2 2n n-1-12 2n n-2-2a a= =b b x x| |x xa a且且x xb b |axuxx 且(2)(2)集合的運算性質集合的運算性質并集的性質并集的性質: :a a= =a a；a aa a= =a a；a ab b= =b ba a；a ab b= =a ab ba a. .交集的性質：交集的性質：a a= =；a aa a= =a a；a ab b= =b ba a；a ab b= =a aa ab b. .補集的性質：補集的性質： .基礎自測基礎自測1.1.（20082008四川理，四川理，1 1）設集合設集

5、合u u=1=1，2 2，3 3，4 4，5,5, a a=1=1，2 2，33，b b=2=2，3 3，4,4,則則 u u( (a ab b) )等于等于 （ ） a.2a.2，3 b.13 b.1，4 4，55 c.4 c.4，5 d.15 d.1，55 解析解析 a a=1=1，2 2，33，b b=2=2，3 3，44， a ab b=2=2，3.3. 又又u u=1=1，2 2，3 3，4 4，55， u u( (a ab b)=1)=1，4 4，5. 5. b2.2.已知三個集合已知三個集合u u, ,a a，b b及元素間的關系如圖所示，及元素間的關系如圖所示， 則則( ( u

6、 ua a)b b等于等于 （ ） a.5a.5，6 b.36 b.3，5 5，66 c.3 d.0 c.3 d.0，4 4，5 5，6 6，7 7，88 解析解析 由韋恩圖知由韋恩圖知( ( u ua a)b b=5,6. =5,6. a3.3.（20092009廣東理，廣東理，1 1）已知全集已知全集u u= =r r， 集合集合mm=x x|-2|-2x x-12-12和和 n n=x x| |x x=2=2k k-1,-1,k k=1,2,=1,2,的關系的韋恩圖如圖所示，的關系的韋恩圖如圖所示， 則陰影部分所示的集合的元素共有（則陰影部分所示的集合的元素共有（ ） a.3a.3個個

7、b.2b.2個個 c.1c.1個個 d.d.無窮多個無窮多個 解析解析 mm=x x|-1|-1x x3,3,mmn n=1,3=1,3，有，有2 2個個. . b4.4.(2009(2009浙江，浙江，1)1)設設u u= =r r, ,a a=x x| |x x0,0,b b=x x| |x x1, 1, 則則a a u ub b= = （ ） a.a.x x|0|0 x x1 b.1 b.x x|0|0 x x11 c. c.x x| |x x0 d.11 解析解析 b b=x x| |x x1,1, u ub b=x x| |x x1.1. 又又a a=x x| |x x0,0, a

8、a u ub b=x x|0|0 x x1. 1. b5.5.設集合設集合a a=x x|1|1x x22，b b=x x| |x x a a. . 若若a a b b， 則則a a的取值范圍是的取值范圍是 ( )( ) a. a.a a1 b.1 b.a a1 c.1 c.a a2 d.2 d.a a22 解析解析 由圖象得由圖象得a a1,1,故選故選b. b. b 題型一題型一 集合的基本概念集合的基本概念【例例1 1】 (2009(2009山東山東,1),1)集合集合a a=0,2,=0,2,a a,b b=1,=1,a a2 2, 若若a ab b=0=0，1 1，2 2，4 4，1

9、616，則，則a a的值為的值為 （ ） a.0 b.1 c.2 d.4a.0 b.1 c.2 d.4 根據集合元素特性，列出關于根據集合元素特性，列出關于a a的方程的方程 組，求出組，求出a a并檢驗并檢驗. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析思維啟迪思維啟迪解析解析 a a=0,2,=0,2,a a,b b=1,=1,a a2 2, , a ab b=0,1,2,4,16,=0,1,2,4,16, a a=4.=4.答案答案 d d 掌握集合元素的特征是解決本題的關鍵掌握集合元素的特征是解決本題的關鍵. . 解題中體現了方程的思想和分類討論的思想解題中體現了方程的思想和分類討論的思想.

10、 . 探究提高探究提高, 4,162aa知能遷移知能遷移1 1 設設a a, ,b br r，集合，集合1,1,a a+ +b b, ,a a= = 則則b b- -a a等于等于 ( )( ) a.1 b.-1 c.2 d.-2 a.1 b.-1 c.2 d.-2 解析解析 a a0,0,a a+ +b b=0 =0 又又1,1,a a+ +b b, ,a a= b b=1,=1,a a=-1.=-1.b b- -a a=2. =2. , 0bab, 0bab. 1abc題型二題型二 集合與集合的基本關系集合與集合的基本關系 【例例2 2】(12(12分分) )已知集合已知集合a a=x x

11、|0|0axax+15,+15,集合集合b b= = （1 1）若）若a ab b，求實數，求實數a a的取值范圍；的取值范圍；（2 2）若）若b ba a，求實數，求實數a a的取值范圍；的取值范圍；（3 3）a a、b b能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a a的值；若不能，的值；若不能， 試說明理由試說明理由. . 在確定集合在確定集合a a時，需對時，需對x x的系數的系數a a進行討進行討 論論. .利用數軸分析，使問題得到解決利用數軸分析，使問題得到解決. . 思維啟迪思維啟迪.221|xx解解 a a中不等式的解集應分三種情況討論：中不等式的解集應分三種情況討論： 若若a

12、a=0=0，則，則a a= =r r；若若a a00,0,則則 2 2分分(1)(1)當當a a=0=0時，若時，若a ab b，此種情況不存在，此種情況不存在. .當當a a000時，若時，若a ab b，如圖，如圖, , 綜上知，當綜上知，當a b a b 時，時，a a-8-8或或a a2. 2. 6 6分分（2 2）當）當a a=0=0時，顯然時，顯然b ba a；當當a a000時，若時，若b ba a，如圖，如圖, , 綜上知，當綜上知，當b ba a時，時， 1010分分（3 3）當且僅當）當且僅當a a、b b兩個集合互相包含時，兩個集合互相包含時，a a= =b b. .由（

13、由（1 1）、（）、（2 2）知，）知，a a=2. =2. 1212分分; 021.218,21214aaaaa則.,202224211 aaaaa則則221 a探究提高探究提高 在解決兩個數集關系問題時在解決兩個數集關系問題時, ,避免出錯的避免出錯的 一個有效手段即是合理運用數軸幫助分析與求解一個有效手段即是合理運用數軸幫助分析與求解, ,另另外，在解含有參數的不等式（或方程）時外，在解含有參數的不等式（或方程）時, ,要對參數要對參數進行討論進行討論. .分類時要遵循分類時要遵循“不重不漏不重不漏”的分類原則，的分類原則，然后對每一類情況都要給出問題的解答然后對每一類情況都要給出問題的

14、解答. .分類討論的一般步驟：分類討論的一般步驟：確定標準；確定標準；恰當分類；恰當分類；逐類討論；逐類討論；歸納結論歸納結論. . 知能遷移知能遷移2 2 已知已知a a=x x| |x x2 2-8-8x x+15=0,+15=0,b b=x x| |axax-1=0, -1=0, 若若b ba a，求實數，求實數a a. . 解解 a a=3=3，55，當，當a a=0=0時，時， 當當a a00時，時，b b= = 要使要使b ba a，;ab.1a, 5131aa或則.51310.5131或或綜上或即aaa題型三題型三 集合的基本運算集合的基本運算 【例例3 3】 已知全集已知全集u

15、 u=1=1，2 2，3,4,5,3,4,5,集合集合a a=x x| |x x2 2- - 3 3x x+2=0+2=0，b b=x x| |x x=2=2a a，a aa a,求集合求集合 u u( (a ab b) )中中 元素的個數元素的個數. . （1 1）先求出集合）先求出集合a a和集合和集合b b中的元素中的元素. . （2 2）利用集合的并集求出）利用集合的并集求出a ab b. . 解解 a a=x x| |x x2 2-3-3x x+2=0=1+2=0=1，22， b b=x x| |x x=2=2a a，a aa a=2=2，44， a ab b=1=1，2 2，4,

16、4, u u( (a ab b)=3)=3，55，共有兩個元素，共有兩個元素. . 集合的基本運算包括交集、并集和補集集合的基本運算包括交集、并集和補集. . 在解題時要注意運用韋恩圖以及補集的思想方法在解題時要注意運用韋恩圖以及補集的思想方法. .思維啟迪思維啟迪探究提高探究提高知能遷移知能遷移3 3 (2009 (2009全國全國，理，理1 1文文2)2)設集合設集合a a=4=4， 5 5，7 7，99，b b=3,4=3,4，7 7，8 8，99，全集，全集u u= =a ab b, ,則集則集 合合 u u( (a ab b) )中的元素共有中的元素共有 （ ） a.3a.3個個 b

17、.4b.4個個 c.5c.5個個 d.6d.6個個 解析解析 a a=4,5,7,9,=4,5,7,9,b b=3,4,7,8,9,=3,4,7,8,9, a ab b=3,4,5,7,8,9,=3,4,5,7,8,9,a ab b=4,7,9,=4,7,9, u u( (a ab b)=3,5,8,)=3,5,8, u u( (a ab b) )共有共有3 3個元素個元素. . a題型四題型四 集合中的信息遷移題集合中的信息遷移題 【例例4 4】若集合若集合a a1 1，a a2 2滿足滿足a a1 1a a2 2= =a a，則稱，則稱( (a a1 1, ,a a2 2) )為為 集合集

18、合a a的一種分拆的一種分拆, ,并規定：當且僅當并規定：當且僅當a a1 1= =a a2 2時時,(,(a a1 1, , a a2 2）與（）與（a a2 2, ,a a1 1）為集合）為集合a a的同一種分拆，則集合的同一種分拆，則集合a a= = 1 1，2 2，33的不同分拆種數是的不同分拆種數是 （ ） a.27 b.26 c.9 d.8a.27 b.26 c.9 d.8 所謂所謂“分拆分拆”不過是并集的另一種說法不過是并集的另一種說法, , 關鍵是要分類準確關鍵是要分類準確. . 思維啟迪思維啟迪解析解析 a a1 1= =時，時，a a2 2=1=1，2 2，33，只有一種分

19、拆；，只有一種分拆；a a1 1是單元素集時（有是單元素集時（有3 3種可能）種可能）, ,則則a a2 2必須至少包含必須至少包含除該元素之外的兩個元素，也可能包含除該元素之外的兩個元素，也可能包含3 3個元素，有個元素，有兩類情況兩類情況( (如如a a1 1=1=1時時, ,a a2 2=2=2，33或或a a2 2=1=1，2 2，3),3),這樣這樣a a1 1是單元素集時的分拆有是單元素集時的分拆有6 6種；種；a a1 1是兩個元素的集合時（有是兩個元素的集合時（有3 3種可能），則種可能），則a a2 2必須必須至少包含除這兩個元素之外的另一個元素，還可能包至少包含除這兩個元素

20、之外的另一個元素，還可能包含含a a1 1中的中的1 1個或個或2 2個元素（如個元素（如a a1 1=1=1，22時，時，a a2 2=3=3或或a a2 2=1=1，33 或或a a2 2=2=2，33或或a a2 2=1=1，2 2，33）, ,這樣這樣a a1 1是是兩個元素的集合時的分拆有兩個元素的集合時的分拆有1212種；種； a a1 1是三個元素的集合時是三個元素的集合時( (只有只有1 1種種),),則則a a2 2可能包含可能包含 0 0，1 1，2 2或或3 3個元素（即個元素（即a a1 1=1=1，2 2，33時，時，a a2 2可以是集可以是集合合11，2 2，33

21、的任意一個子集），這樣的任意一個子集），這樣a a1 1=1=1，2 2，33時的分拆有時的分拆有2 23 3=8=8種種. .所以集合所以集合a a=1=1，2 2，33的不同分拆的種數是的不同分拆的種數是1+6+12+8=27.1+6+12+8=27.答案答案 a 解此類問題的關鍵是理解并掌握題目給出解此類問題的關鍵是理解并掌握題目給出的新定義（或新運算）的新定義（或新運算）. .思路是找到與此新知識有關思路是找到與此新知識有關的所學知識的所學知識, ,幫助理解幫助理解. .同時同時, ,找出新知識與所學相關找出新知識與所學相關知識的不同之處，通過對比加深對新知識的認識知識的不同之處，通過

22、對比加深對新知識的認識. . 探究提高探究提高知能遷移知能遷移4 4 對任意兩個正整數對任意兩個正整數m m、n n, ,定義某種運算定義某種運算 集合集合p p=（a a，b b） | |a b a b =8=8，a a , ,b bn n* * 中元素的個數為中元素的個數為 （ ） a.5 b.7 c.9 d.11a.5 b.7 c.9 d.11 解析解析 當當a a, ,b b奇偶性相同時，奇偶性相同時，a ba b= =a a+ +b b=1+7=2+6=3+5=1+7=2+6=3+5 =4+4. =4+4. 當當a a、b b奇偶性不同時，奇偶性不同時，a ba b= =abab=1

23、=18,8,由于由于( (a a, ,b b) )有有 序，故共有元素序，故共有元素4 42+1=92+1=9個個. . nm:,奇偶性不同與奇偶性相同與nmmnnmnmc 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高1.1.集合中的元素的三個性質，特別是無序性和互異性集合中的元素的三個性質，特別是無序性和互異性 在解題時經常用到在解題時經常用到. .解題后要進行檢驗，要重視符號解題后要進行檢驗，要重視符號 語言與文字語言之間的相互轉化語言與文字語言之間的相互轉化. .2.2.對連續數集間的運算，借助數軸的直觀性，進行合對連續數集間的運算，借助數軸的直觀性，進行合 理轉化；對已知連續數集間的關系，求其中

24、參數的理轉化；對已知連續數集間的關系，求其中參數的 取值范圍時，要注意等號單獨考察取值范圍時，要注意等號單獨考察. .3.3.對離散的數集間的運算，或抽象集合間的運算，可對離散的數集間的運算，或抽象集合間的運算，可 借助韋恩圖借助韋恩圖. .這是數形結合思想的又一體現這是數形結合思想的又一體現. . 方法與技巧方法與技巧1.1.空集在解題時有特殊地位，它是任何集合的子集空集在解題時有特殊地位，它是任何集合的子集, , 是任何非空集合的真子集是任何非空集合的真子集, ,時刻關注對空集的討論，時刻關注對空集的討論， 防止漏掉防止漏掉. .2.2.解題時注意區分兩大關系解題時注意區分兩大關系: :一

25、是元素與集合的從屬一是元素與集合的從屬 關系；二是集合與集合的包含關系關系；二是集合與集合的包含關系. .3.3.解答集合題目解答集合題目, ,認清集合元素的屬性（是點集、數認清集合元素的屬性（是點集、數 集或其他情形）和化簡集合是正確求解的兩個先決集或其他情形）和化簡集合是正確求解的兩個先決 條件條件. .失誤與防范失誤與防范4.4.韋恩圖韋恩圖 示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運 算的常用方法算的常用方法, ,其中運用數軸圖示法要特別注意端點其中運用數軸圖示法要特別注意端點 是實心還是空心是實心還是空心. .5.5.要注意要注意a ab b、a a

26、b b= =a a、a ab b= =b b、 這五個關系式的等價性這五個關系式的等價性. . 一、選擇題一、選擇題1.1.（20092009海南，寧夏理海南，寧夏理,1,1）已知集合已知集合a a=1,3,5,7, =1,3,5,7, 9 9，b b=0,3,6,9,12=0,3,6,9,12，則，則a a( ( n nb b) )等于等于 （ ） a.1,5,7 b.3,5,7a.1,5,7 b.3,5,7 c.1,3,9 d.1,2,3 c.1,3,9 d.1,2,3 解析解析 a a=1,3,5,7,9,=1,3,5,7,9,b b=0,3,6,9,12,=0,3,6,9,12, n

27、nb b=1,2,4,5,7,8,.=1,2,4,5,7,8,. a a（ n nb b）=1,5,7. =1,5,7. a定時檢測定時檢測2.2.（20092009福建理，福建理，2 2）已知全集已知全集u u= =r r, ,集合集合a a=x x| |x x2 2- - 2 2x x0,0,則則 u ua a等于等于 （ ） a.a.x x|0|0 x x22 b. b.x x|0|0 x x22 c. c.x x| |x x022 d. d.x x| |x x00或或x x22 解析解析 x x2 2-2-2x x0,0,x x( (x x-2)0,-2)0, x x22或或x x0,

28、22或或x x0,0, u ua a=x x|0|0 x x2. 2. a3.3.已知集合已知集合a a=x x|-1|-1x x1,1,b b=x x| |x x2 2- -x x0,0,則則a ab b等等 于于 （ ） a.(0a.(0，1) b.1) b.（0 0，1 1 c.c.0 0，1 1） d.d.0 0，1 1 解析解析 b b=x x|0|0 x x1,1,a ab b=x x|0|0 x x1. 1. c4.4.（20092009遼寧理，遼寧理，1 1）已知集合已知集合mm=x x|-3|-3x x5, 5, n n=x x|-5|-5x x5,5,則則mmn n等于等于

29、 （ ） a.a.x x|-5|-5x x55 b. b.x x|-3|-3x x55 c. c.x x|-5|-5x x55 d. d.x x|-3|-3x x55 解析解析 mm=x x|-3|-3x x5,5,n n=x x|-5|-5x x5,5, mmn n=x x|-3|-3x x5. 5. b5.5.（20092009四川文，四川文，1 1）設集合設集合s s=x x|x x|5|5， t t=x x|(|(x x+7)(+7)(x x-3)0,-3)0,則則s st t等于等于 （ ） a.a.x x|-7|-7x x-5 b.-5 b.x x|3|3x x55 c. c.x

30、x|-5|-5x x3 d.3 d.x x|-7|-7x x55 解析解析 s s=x x|-5|-5x x5,5,t t=x x|-7|-7x x3,3, s st t=x x|-5|-5x x3. 3. c6.6.若集合若集合a a=x x| |x x2 2-9-9x x0,0,x xn n* *,b b=y y| | n n* *, ,y yn n* *, 則則a ab b中元素的個數為中元素的個數為 （ ） a.0 b.1 c.2 d.3a.0 b.1 c.2 d.3 解析解析 a a=x x|0|0 x x9,9,x xn n* *=1,2,8,=1,2,8, b b=1,2,4,=

31、1,2,4,a ab b= =b b. . y4d二、填空題二、填空題 7.7.已知集合已知集合a a=(0,1),(1,1),(-1,2),=(0,1),(1,1),(-1,2),b b=(=(x x, ,y y)|)|x x+ +y y -1=0,-1=0,x x, ,y yz,z,則則a ab b=_.=_. 解析解析 a a、b b都表示點集都表示點集, ,a ab b即是由即是由a a中在直線中在直線x x+ +y y -1=0-1=0上的所有點組成的集合，代入驗證即可上的所有點組成的集合，代入驗證即可. .但本題但本題 要注意列舉法的規范書寫要注意列舉法的規范書寫. . (0,1)

32、,(-1,2)(0,1),(-1,2)8.8.（20092009天津文，天津文，1313）設全集設全集u u= =a ab b=x xn n* *| | lg lg x x1,1,若若a a( ( u ub b)=)=m m| |m m=2=2n n+1,+1,n n=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4， 則集合則集合b b=_.=_. 解析解析 a ab b=x xn n* *|lg |lg x x1=1,2,3,4,5,6,7,8,1=1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 9,a a( ( u ub b)=)=m m| |m m=2=2n n+1,+1,n n=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4 =1,3,5,7,9, =1,3,5,7,9, b b=2,4,6,8. =2,4,6,8. 2,4,6,82,4,6,89.9.（20092009北京文，北京文，1414）設設a a是整數集的一個非空子是整數集的一個非空子 集，對于集，對于k ka a, ,如果如果k k-1-1 a a, ,且且k k+1+1 a a, ,那么稱那么稱k k是是 a a的一個的一個“孤立元孤立元”. .給定給定s s=1,2,3,4,5,6,7