1、第四節第四節合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理授課提示：對應學生用書第 112 頁基礎梳理1合情推理類型定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理由部分到整體、由個別到一般類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特殊到特殊合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理2.演繹推理(1)定義： 從一般性的原理出發， 推出某個特殊情況下的結論， 我們把這種推理稱為演繹推理 簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”

2、是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷1類比推理的注意點在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現象迷惑，如果只抓住一點表面現象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤2類比推理的幾個角度方法解讀適合題型類比定義在求解由某種熟悉的定義產生的類比推理型試題時，可以借助原定義來解已知熟悉定義類比新定義類比性質從一個特殊式子的性質、 一個特殊圖形的性質入手， 提出類比推理型問題， 求解時要認真分析兩者之間的聯系與區別， 深入思考兩者的轉化過程是求解的關鍵平面幾何與立體幾何；等差數列與等比數列類比方法有一些處理問

3、題的方法具有類比性， 我們可以把這種方法類比應用到其他問題的求解中， 注意知識的遷移已知熟悉的處理方法類比未知問題的處理方法類比結構有些是類比等式或不等式形式的推理， 可以從結構特點上類比， 如兩項類比三項， 長度類比面積，平方類比立方，面積類比體積，平面類比空間幾何問題的結論四基自測1(基礎點：歸納推理)已知數列an中，a11，n2 時，anan12n1，依次計算 a2，a3，a4后，猜想 an的表達式是()aan3n1ban4n3cann2dan3n1答案：c2(基礎點：三段論)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數 f(x)，若 f(x0)0，則 xx0是函數 f(x)的極值點，因為

4、 f(x)x3在 x0 處的導數值為 0，所以 x0 是 f(x)x3的極值點，以上推理()a大前提錯誤b小前提錯誤c推理形式錯誤d結論正確答案：a3(基礎點：類比推理)在 rtabc 中，若c90，acb，bca，則abc 外接圓半徑ra2b22.運用類比方法，若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長度分別為 a，b，c，則其外接球的半徑r_答案：a2b2c22授課提示：對應學生用書第 113 頁考點一歸納推理挖掘 1與數字(數列)有關的推理/自主練透例 1(1)(2020新鄉模擬)從 1 開始的自然數按如圖所示的規則排列，現有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數在此三角形內，則這

5、九個數的和可以為()a2 011b2 012c2 013d2 014解析根據題干圖所示的規則排列，設最上層的一個數為 a，則第二層的三個數為 a7，a8，a9，第三層的五個數為 a14，a15，a16，a17，a18，這九個數之和為 a3a245a809a104.由 9a1042 012，得 a212，是自然數答案b(2)(2020湖北襄陽優質高中聯考)將三項式(x2x1)n展開，當 n0，1，2，3，時，得到以下等式：(x2x1)01，(x2x1)1x2x1，(x2x1)2x42x33x22x1，(x2x1)3x63x56x47x36x23x1，觀察多項式系數之間的關系，可以依照楊輝三角構造

6、如圖所示的廣義楊輝三角，其構造方法為：第 0 行為 1，以下各行每個數是它正頭頂上與左右兩肩上 3 個數(不足 3 個數的，缺少的數記為 0)的和，第 k 行共有(2k1)個數，若(x2x1)5(1ax)的展開式中，x7項的系數為 75，則實數 a 的值為_解析根據題意可得廣義楊輝三角第 5 行的數為：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1ax)(x2x1)5的展開式中，x7項的系數為 3045a75，得 a1.答案1破題技法與數字有關的等式的歸納推理，觀察數字特點，找出等式左右兩側的規律及符號可解挖掘 2與等式(不等式)有關的推理/互動探究例 2(1)觀察下列等式：

7、132332，13233362根據上述規律，第五個等式為_解析因為所給等式左邊的底數依次分別為 1，2；1，2，3；1，2，3，4；右邊的底數依次分別為 123，1236，123410，所以由底數內在規律可知，第五個等式左邊的底數為 1，2，3，4，5，6，右邊的底數為 12345621，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個等式為 132333435363212.答案132333435363212(2)觀察下列特殊的不等式：522252272，4535423252723，98289323831125，9105109555275，由以上特殊不等式，可以猜測：當 a

8、b0，s，rz z 時，有asbsarbr_解析5222522722152221，45354232527235243252，982893238311258392283，9105109555275105952105，由以上特殊不等式，可以猜測，當 ab0，s，rz z 時，有asbsarbrsrab2sr.答案srab2sr破題技法與式子有關的歸納推理(1)與不等式有關的歸納推理，觀察每個不等式的特點，注意從縱向看，找到規律后可解(2)與數列有關的歸納推理，通常是先求出幾個特殊項，采用不完全歸納法，找出數列的項與項數的關系，列出即可求解挖掘 3與圖形有關的推理/互動探究例 3(1)下圖中為四個平

9、面圖形表中給出了各平面圖形中的頂點數、邊數以及區域數平面圖形頂點數邊數區域數332812669510157現已知某個平面圖形有 1 009 個頂點，且圍成了 1 007 個區域，試根據以上關系確定這個平面圖形的邊數為_解析由表歸納各平面圖形的頂點數、邊數、區域數的關系如下表：平面圖形頂點數邊數區域數關系3323232812686122695659210157107152vefvfe2其頂點數 v、邊數 e、區域數 f 滿足關系式 vfe2，故可猜想此平面圖形的邊數為 1 0091 00722 014.答案2 014(2)如圖，第 1 個圖形由正三角形擴展而成，共 12 個頂點第 n 個圖形由正

10、 n2 邊形擴展而來，其中 nn，則第 n 個圖形的頂點個數是()a(2n1)(2n2)b3(2n2)c2n(5n1)d(n2)(n3)解析由已知中的圖形可以得到：當 n1 時，圖形的頂點個數為 1234，當 n2 時，圖形的頂點個數為 2045，當 n3 時，圖形的頂點個數為 3056，當 n4 時，圖形的頂點個數為 4267，由此可以推斷：第 n 個圖形的頂點個數為(n2)(n3)，故選 d.答案d破題技法與圖形變化有關的歸納推理，合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真偽性考點二類比推理挖掘類比方法、類比結論、類比運算/ 互動探究例(1)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且

11、直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦若 a，b，c 為直角三角形的三邊，其中 c 為斜邊，則 a2b2c2，稱這個定理為勾股定理現將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體 oabc 中，aobboccoa90，s 為頂點 o 所對面abc 的面積，s1，s2，s3分別為側面oab，oac，obc 的面積，則下列選項中對于 s，s1，s2，s3滿足的關系描述正確的為()as2s21s22s23bs21s211s221s23css1s2s3ds1s11s21s3解析如圖，作 odbc 于點 d，連接 ad，則 adbc，從而 s212bcad214bc2ad214bc2(oa2od2)14(o

12、b2oc2)oa214bc2od212oboa212ocoa212bcod2s21s22s23.答案a(2)若點 p0(x0，y0)在橢圓x2a2y2b21(ab0)外，過點 p0作該橢圓的兩條切線，切點分別為 p1，p2，則切點弦 p1p2所在直線的方程為x0 xa2y0yb21.那么對于雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)，類似地，可以得到一個正確的切點弦方程為_解析若點 p0(x0，y0)在雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)外，過點 p0作該雙曲線的兩條切線，切點分別為 p1，p2(圖略)，則切點弦 p1p2所在直線的方程為x0 xa2y0yb21.答案x0 xa2y0yb21破題

13、技法類比推理是由一類事物的特殊性推另一類事物的特殊性，首先要找出兩類事物之間的聯系與不同，然后找出“特殊性”是什么內容，定義方面、性質方面、方法方面、運算方面等，從而推導結論考點三演繹推理挖掘 1簡單的三段論/ 自主練透例 1(1)(2020洛陽模擬)下列四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()a大前提：無限不循環小數是無理數；小前提：是無理數；結論：是無限不循環小數b大前提：無限不循環小數是無理數；小前提：是無限不循環小數；結論：是無理數c大前提：是無限不循環小數；小前提：無限不循環小數是無理數；結論：是無理數d大前提：是無限不循環小數；小前提：是無理數；結論：無限不循環小數是無

14、理數解析a 中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故 a 錯誤；c，d 都不是由一般性命題到特殊性命題的推理，所以 c，d 都不正確，只有 b 正確答案b(2)(2020重慶檢測)演繹推理“因為對數函數 ylogax(a0 且 a1)是增函數，而函數 ylog12x是對數函數，所以 ylog12x 是增函數”所得結論錯誤的原因是()a大前提錯誤b小前提錯誤c推理形式錯誤d大前提和小前提都錯誤解析因為當 a1 時，ylogax 在定義域內單調遞增，當 0a1 時，ylogax 在定義域內單調遞減，所以大前提錯誤故選 a.答案a破題技法用演繹推理證明問題時，大前提往往是定義、定理或

15、一些固定結論，小前提為問題的條件，一般大前提可省略，當大前提、小前提及推理正確時，結論就正確挖掘 2演繹推理、合情推理的生活應用/自主練透例 2(1)(2019高考全國卷)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5125120.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是512.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為 26 cm，則其身高可能是()a165 cmb175cmc185 cmd190 cm解析設某人身高為 m cm， 脖子下端至肚臍的長度為 n c

16、m， 則由腿長為 105 cm， 可得m1051055120.618，解得 m169.890.由頭頂至脖子下端的長度為 26 cm，可得26n5120.618，解得 n42.071.由已知可得26nm（n26）5120.618，解得 m178.218.綜上，此人身高 m 滿足 169.890m178.218，所以其身高可能為 175 cm.故選 b.答案b(2)(2020福建泉州一模)田忌賽馬是中國古代對策論與運籌思想的著名范例故事中齊將田忌與齊王賽馬，孫臏獻策以下馬對齊王上馬，以上馬對齊王中馬，以中馬對齊王下馬，結果田忌一負兩勝從而獲勝該故事中以局部的犧牲換取全局的勝利成為軍事上一條重要的用兵規律在比大小游戲中(大者為勝)，