1、承諾書 我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。 我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項填寫）： *隊A題 我們的參賽隊員為：1、 姓名： * 學院 化學化工 學號 2012* 2、 姓名

2、： * 學院 化學化工 學號 2012* 3、 姓名： 日期： 2013 年 5 月 1 日 評閱編號（由組委會評閱前進行編號）：評閱記錄（可供評閱時使用）：評閱人評 分 食品質量安全抽檢數據分析摘要 食品質量與安全是一個專業性很強的問題，其標準的制定和抽樣檢測及評價都需要科學有效的方法。食品的質量和衛生問題是關系到民生的大問題，所以本文結合當今社會實際以及文章提出的不同問題，在閱讀大量相關文獻后，應用AHP方法、方差分析方法、回歸分析原理、分層抽樣和線性目標規化等方法，建立相應的數學模型。利用TableCurve、MATLAB軟件工具進行求解，對文章提出的相關問題有一個比較精確合理的解答。

3、具體解答如下: 對于問題一：首先將蔬菜、魚類、雞鴨等主要食品的安全影響因素按主要成分分析法劃分為三大類：生物性污染（微生物等）、化學性污染（食品添加劑等）、物理性污染（重金屬等）。對深圳市這3年3大安全影響因素的安全情況的變化趨勢做出定量的綜合評價可以轉化為利用AHP法分析決定食品安全單位指標在綜合指標中的權重的變化情況，可以得出食品安全狀況明顯改善。如圖一：食品安全系數的等級在穩步提升。 圖一 對于問題二：對食品質量影響的因素如食品產地，食品銷售地點和季節性等的關聯度做一個比較，以找到其中的規律。為此我們經過商量決定采用數學上通用的方差以及回歸統計分析方法，建立多元線性回歸的數學模型，以找到

4、一個隨機變量與一組變量的相關性。同時運用有關灰色系統模型的相關理論。利用遞推補集的思想，用總的m個變量的回歸平方和減去（m-1）個變量的回歸平方和來求出變量xi的偏回歸平方和Qi，并且利用TableCurve軟件進行多項式擬合，找到精確的回歸方程。得到xi的偏回歸平方和如圖二所示。 圖二所得結果為：與食品質量關聯度最大的是食品產地，其次是食品加工，季節性影響最小，食品抽查地點幾乎無影響。 對于問題三： 食品質量的安全和衛生在現實社會中起著非常重要的作用,食品進行抽檢也需要一定人力、物力和財力(即成本費用),抽檢的越多檢測效果就越好，但需要的時間就越長,其成本費用也就越高。通過建立完全隨機抽樣方

5、案,對某一代表食品的每一品牌的各批次各檢測項目進行抽樣檢驗。以期望和方差等相應比較來檢測模型可靠性。借助統計學方法,用樣本均值與配方標準值的差距來刻畫樣本的代表性。用樣本方差來衡量抽檢方案的隨機性,兩者合為檢測可靠性分析。對模型進行修正,既考慮各個因素之間的相互影響,也要準確地體現出反饋效應對模型系統的影響。同時以蒙特卡羅法對抽檢的全過程進行模擬，我們能夠期望觀測的平均值趨于零的變化速率與一樣快，以至于使時.。還可以進行靈敏度測驗。 關鍵詞：AHP分析法；多元函數回歸模型；方差分析法；分層劃分抽樣；隨機抽樣；蒙特卡羅法。 一 問題重述 “民以食為天”，食品安全關系到千家萬戶的生活與健康。隨著人

6、們對生活質量的追求和安全意思的提高，食品安全已成為社會關注的熱點，也是政府民生工程的一個主題。城市食品的來源越來越廣泛，人們消費加工好的食品的比例也越來越高，因此除食材的生產收獲外，食品的運輸、加工、包裝、貯存、銷售以及餐飲等每一個環節皆可能影響食品的質量與安全。另一方面，食品質量與安全又是一個專業性很強的問題，其標準的制定和抽樣檢測及評價都需要科學有效的方法。深圳是食品抽檢、監督最統一、最規范、最公開的城市之一。請下載2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽檢數據（注意蔬菜、魚類、雞鴨等抽檢數據的獲取），并根據這些資料來討論：1. 如何評價深圳市這三年各主要食品領域微生物、重金屬、添

7、加劑含量等安全情況的變化趨勢；2. 從這些數據中能否找出某些規律性的東西：如食品產地與食品質量的關系；食品銷售地點（即抽檢地點）與食品質量的關系；季節因素等等；3. 能否改進食品抽檢的辦法，使之更科學更有效地反映食品質量狀況且不過分增加監管成本（食品抽檢是需要費用的），例如對于抽檢結果穩定且抽檢頻次過高的食品領域該作怎樣的調整？二、問題分析 在當今時代，食品安全情況越來越讓人堪憂，頻發的食品安全事件讓社會出現了不和諧的音符。為此進行相關的研究十分有意義的。 1、食品安全生產涉及許多過程，我們關心的是食品安全的影響因素，為此我們運用統計學分析中的方差確定出哪些因素是主要的，哪些是次要的。利用層次

8、分析法分析不同因素在對食品安全影響不同的權重變化得知其內在的規律。同時也可以利用方差分析原理到找對食品安全系數有顯著影響的因素。在對2010年、2011年、2012年、2013年的抽樣數據的分析基礎上，考慮到影響食品安全系數的環節和抽樣方法帶來的影響因子，運用層次分析法和方差分析法判斷出評價深圳市這三年各主要食品領域微生物、重金屬、添加劑含量等安全情況的變化趨勢。 2、在對原始數據進行處理，剔除其中的異常點。建立多元函數的線性回歸方程，利用最小二乘法估計參數。把模型寫成矩陣的形式，化簡整理得其正規方程組參數。通過對正規方程組的求解，最后得到回歸方程。遵照建立回歸方程的程序進行回歸方程顯著性檢驗

9、，問題轉化為建立的待檢假設：，若能通過檢驗拒絕,則Y與m個變量之間存在線性相關關系。 3、 為了建立合理的抽檢模型，我們在對現有的統計信息進行定量分析，確定主要的食品和抽檢項目，利用分層抽樣模型確定這些主要食品中每種品牌所要抽檢批次的最優值，根據實際情況計算出每種品牌中要抽的批次數以及每個批次抽檢的項目數，對其優劣進行綜合評價。3、 問題假設 1、假設影響食品安全性因素僅分為三大類，其它沒有被分類的因素對食品安全性所造成的影響忽略不計。 2、假設調查樣本在一定的范圍內是均一的。 3、假設所有食品生產廠商的信譽度均相同。 4、環境中自然因素土壤對食品取材狀況基本相同，其它因素對食品安全系數的生成

10、沒有影響。5、除食材的生產收獲外，食品的運輸、加工、包裝、貯存、銷售以及餐飲等每一個環節對食品的安全影響程度相同。6、食品的抽查過程對食品的安全系數影響程度相同。7、假設抽檢不受國家相關政策的影響。 8、每次抽檢時都公平對待每一食品品牌，每一批次，且由計算機隨機選出，不存在人為的干擾。9、假設模型求解過程中所用的數據都是合理的，且每次檢測得結果真實可靠。4、 參數及符號說明O：目標層；C：準則層；P：方案層；aij：準則層兩個因素Ci和Cj對目標層的影響程度之比；.:判斷矩陣一致性指標;bij:方案層兩個因素Pi和Pj對準則層的影響程度之比;W，W1，W2Wn:權重向量;max:最大特征值；R

11、.I.:平均隨機一致性指標;PI;食品安全質量綜合評價指數；C.R.:一致性比例指標；Hi：第i年食品不合格數；Ri:第i年需要處理的不合格數；Xi：影響食品安全的因素（i=1,2.8）;:各食品安全系數（1,2,.,38）;:離差平方總和；:組內平方和；:組間平方和；：待估計系數參數（1,2,.,8）；：的回歸函數值；：參數的最小二乘估計（1,2,.,8）；五、模型的分析、建立與求解 將因素A分成r個水平，因素B分成s個水平，對A,B的每一個水平的一對組合只進行一次試驗，列出實驗結果記錄在下表中。因素A因素B行平均值列平均值 其中，表示因素A第i個視頻與因素B第j個水平的一對組合進行一次實驗

12、的結果。記n=rs,則均值:平方和：可以得到平方和關系: .(1)判斷因素A的影響是否顯著，就是要檢驗假設 選取統計量:,得到拒絕域 .(2)若,拒絕;否則，接收判斷因素B的影響是否顯著，就是要檢驗假設 選取統計量: ,得到拒絕域 .(3)若,拒絕;否則，接收.對影響食品質量的三大因素兩兩進行比較共六次后，根據其影響因素程度的變化得出食品的質量綜合質量評價。有時如果要考察兩個因素A,B之間是否存在交互作用的影響，需要對兩個因素各種水平的組合進行重復試驗，以得到比較精確的解答。問題一的模型1、將食品安全綜合評價分解為3個層次，最上層為目標層O，中間層為因素層C，最下層為方案層P.食品安全 O:

13、微生物污染重金屬食品添加劑環境污染其它影響 C:2012年2010年2011年P:2、 針對問題一，我們建立如下的成對比較矩陣。 假設要比較某一層n個因素C1，C2，,Cn對上一層一個因素O的影響，每次取兩個因素Ci,Cj,用aij表示Ci和Cj對O的影響之比，全部結果可以用成對比較矩陣 A= aij0,aji=1/aij. 表示，其中aij=1,我們稱此矩陣為正互反矩陣。 依據深圳市2010-2012年第一期到第五期統計數據得知 A= 3、一致矩陣檢驗及權重向量的的確定。 易知成對比較矩陣通常不是一致矩陣，應先轉化為一致矩陣，為了用A的最大特征根（記作）的特征向量（歸一化后）作為權向量W,即

14、全向量滿足 .(4)對于給出的A可以計算出=5.073.同時其不一致性程度衡量需要用到：一致性指標C.I.=（5.073-5）/1.12=0.018;一致性比率C.R.=其中R.I.為隨機一致性指標。 其數值如下表：n1234567891011R.I.00 其一致性比率C.R.拒絕,即Y與m個變量之間存在線性相關關系；否則，接受即Y與m個變量之間不存在線性相關關系。對于食品安全這個模型取顯著性水平=0.05，可查表得到 =2.4047.由統計數據得到F（m-1,n-m-1)=5.39662.4047，所以此模型是顯著的。即Y與m個變量之間存在線性相關關系。 同樣我們也知道在多元線性回歸模型中，

15、拒絕假設，即回歸方程顯著。我們還關心Y對的回歸哪些是主要因素哪些是次要因素，需要采用偏F檢驗法（求解略）。 5、 回歸系數的顯著性檢驗：利用一開始的建模部分的方差分析法由（1）式知在模型取顯著性水平=0.05時，可查表得到=3.0088.同樣由統計數據可以得出 F（m-1,n-m-1)=0.26233.0088,由此說明模型的擬合是好的，即模型的省略項造成的影響不大。 6、還可以進行相關的預測（計算過程略） 一個自然的想法是用預測量:來代替，與測量的優劣取決于。記可以證明當相互獨立時，在顯著性水平下可得到的預測區間: （10）根據統計的相關數據可以定量的計算出在顯著性水平=0.05下即有95%

16、的可能性得到的預測區間為:（24.75,37.00）7、 基于灰色關聯分析的綜合評價，即將評價問題轉化為關聯度，按照一定的準則定義母序列，計算各個子序列與母序列的關聯度，再加以比較得到綜合評價結果。經過選定母序列和比較序列，計算關聯度，關聯度表示各因素評價值序列和和最理想的評價值序列相關聯的程度，其數值越大表示此因素對食品質量的影響越大。通過MATLAB對綜合評價模型的求解,可得如下表x1x2x3x4x5x6x7x8綜合評價值排名35621478 結論：由上表可以得出食品產地影響食品質量最大，食品加工次之，再者是季節因素，最后的是抽查地點，影響比較小。 8、由于線性回歸常數項的影響存在，在上面

17、處理的過程中是忽略了其影響，為了是數學模型更加精確，可以進行多項式擬合分析，將常數項的影響轉化為Xi變量的影響，這樣能更好的擬合實際情況。所以建模如下： 要使得值最小，只需利用極值的必要條件，得到關于的線性方程組 線性最小二乘擬合可由解超定方程 來求得。其中。 當線性無關時，可逆，方程組有唯一解。以下利用TableCurve進行多項式的擬合。 圖三（3） 問題三、模型的模擬與檢驗 1、要改進食品抽檢的辦法，使之更科學更有效地反映食品質量狀況且不過分增加監管成本，可以進行分層次劃分抽樣。假設抽檢不合格幾率為(1-P)。第一種方案是：抽檢費用為C元/次。第二種方案是:按組抽查x次為（B+x）元,一

18、發現不合格的就要重新以第一種抽查，所以可以建立如下模型。 總費用的期望 （11）則每一次抽取的平均檢驗費用為： .(12) 利用TableCurve軟件數形結合。（1） 、若P=0.997，B=60，C=89;則（11)式的平面圖形如下， 圖四 由圖可以清楚的看到存在最優解X，使得抽查過程中的每一次抽取的平均檢驗費用F最小，最小X及最小F同樣可以通過TableCurve軟件求得，在圖四中可以大致看出所求得最小F=9,同理由圖五可以求得最小X=17，同時也可以進行靈敏度的測試。即=0.16，于是q的微小變化可能不會導致檢驗費用大的變化。更一般的穩健性分析要考慮獨立性的假設。 圖五 圖六 （2）

19、、函數的三維立體圖形如下：這是在抽檢的合格幾率為變量Y下所得。在實際問題中我們可以清楚的知道函數f（x,y）的最大值或最小值一定在D內取得，而函數在D內只有一個駐點，那么可以肯定函數在駐點處的函數值就是最大值或最小值， 對于多元函數的最值求法可以由下面的定理求得： 用TableCurve軟件做出相應的圖形并且求得其解。即 圖七 圖八 圖九2、 最后用蒙特卡洛方法進行模擬與試驗，具體步驟如下：初始化:count=0.步驟一：產生隨機數；步驟二：判斷隨機數是否在指定的區域內，若在，則計數器加一，否則若countN，count+,轉步驟一，否則轉步驟三。步驟三：利用數據數據進行相關統計分析,得出實際

20、問題的解答。 四模型的評價4、1模型的優點 1、在問題一中通過層次分析法進行相關的計算和決策，以比較精確的結果綜合評價了深圳市近三年來主要食品領域的變化趨勢，在運用層次分析法中進行了組合權向量一致性檢驗，=0.0190.1使得一致性檢驗結果通過，得到比較精確的組合權向量，對文章提出的問題有了一個在客觀上定量的解答。 2、在問題二中采用多元線性回歸的方法考慮影響食品質量的因素，通過對模型進行顯著性與擬合性檢驗可知，回歸方程是顯著的，擬合性也是較好的，因此該模型比較準確的刻畫了食品質量與食品產地，季節性因素等之間關系。同時還使用了灰色模型理論的關聯度進行食品質量與食品產地，季節性因素等之間關系的刻畫，得到的結果用來作為食品綜合評價的參考物，是問題具有可比性的定量衡量標準。同時還對影響食品質量的隨機因素轉化到對X變量的影響上，使用的工具是多項式擬合。最后的結果還是讓人比較滿意的。 3、在問題三中目前計算機得到了廣泛的應用，尤其是運用相關軟件進行輔助，使得許多問題輕松解決。采用的是建立一個抽檢費用與檢驗次數和單位檢驗費用的數學表達式，在計算機上進行繪圖，數形結合的思想的運用，利用圖形的直觀性可以很輕松的求得解答。最后采用國際上通用的蒙特卡洛計算機模擬進行隨機抽檢數據的得到，有一次減輕了人的負擔，同時提高了效率。 綜合以上可知，運用數學思