1、. 目錄一實(shí)際現(xiàn)象的描述3二問(wèn)題的求解4（一）求弦振動(dòng)泛定方程 4 （二）解弦振動(dòng)方程6 .達(dá)朗貝爾法求“無(wú)限和半無(wú)限的”弦振動(dòng)函數(shù)6.分離變量法求兩端固定弦振動(dòng)方程7三各種情形下的弦振動(dòng)求解及圖像9四總結(jié)21一實(shí)際現(xiàn)象的描述演奏者在演奏弦樂(lè)器（如二胡、提琴）時(shí)，用弓在弦上來(lái)回拉動(dòng)，并通過(guò)另一只手指在按不同弦的不同地位的協(xié)調(diào)作用，奏出各種不同的美妙的音樂(lè)。演奏者所用的樂(lè)器不同，奏出音樂(lè)的悅耳度也就不同。演奏者雖然用弓所接觸的只是弦的很小一段，似乎應(yīng)該只引起這個(gè)小段的振動(dòng)，而事實(shí)上，振動(dòng)總是傳播到整根弦。這振動(dòng)是怎樣傳播的呢？如何利用數(shù)學(xué)方法來(lái)求解這種物理問(wèn)題？如何通過(guò)直觀的方程來(lái)說(shuō)明不同樂(lè)器演

2、奏出的音樂(lè)效果不同的原因？可否利用matlab來(lái)將這種振動(dòng)直觀表示出來(lái)？通過(guò)對(duì)于弦振動(dòng)方程的學(xué)習(xí)，及對(duì)matlab的初步了解，我對(duì)于不同定解問(wèn)題下弦振動(dòng)方程的求解做了初級(jí)小結(jié)。也嘗試?yán)胢atlab直觀表述不同定解條件下的弦振動(dòng)動(dòng)態(tài)圖像。二問(wèn)題的求解（一）求弦振動(dòng)泛定方程 在求解時(shí)，我們不妨認(rèn)為弦是柔軟的，就是說(shuō)在放松的條件下，把弦完成任意的形狀，它都保持靜止。由于弦樂(lè)器所用的弦往往是很輕的，它的重量只有張力的幾萬(wàn)分之一。跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，這樣，真實(shí)的弦就抽象為“沒(méi)有重量”的弦。 把沒(méi)有重量的弦繃緊，它在不振動(dòng)時(shí)是一根直線，就取這直線作為x軸。把弦上各點(diǎn)的橫向位移記作u。這樣，

3、橫向位移u是x和t的函數(shù)，記作u（x，t）。要求解弦振動(dòng)，首先應(yīng)找出u所遵從的方程。把弦細(xì)分為許多極小的小段，拿區(qū)間(x,x+dx)上的小段B為代表加以研究。B既然沒(méi)有重量而且是柔軟的，它就只受到鄰段A和C的拉力和。弦的每小段都沒(méi)有縱向（即x方向）的運(yùn)動(dòng)，所以作用于B的縱向合力應(yīng)為零。弦的橫向加速度記作。按照，小段B的縱向和橫向運(yùn)動(dòng)分別為式中時(shí)弦的線密度，即單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。ds為小段B的弧長(zhǎng)。因考慮的振動(dòng)為小范圍振動(dòng)，這時(shí)、為小量，如果忽略、以上的高階小量，則，,又，。這樣，（1）和（2）簡(jiǎn)化為因此，弦中張力不隨x而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。另一方面，在振動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)時(shí)刻都有長(zhǎng)度ds=dx

4、，即長(zhǎng)度ds不隨時(shí)間而變，所以作用于B段的張力也不隨時(shí)間而變。弦中張力即跟x無(wú)關(guān)，又跟t無(wú)關(guān)，只能是常數(shù)，記為T(mén)。則（4）式為由于dx取得很小，。這樣，B段的運(yùn)動(dòng)方程就成為 （5）由于B是作為代表任選的，所以方程（5）適用于弦上各處，是弦做微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)弦振動(dòng)方程。由此就求得了自由振動(dòng)狀態(tài)下的弦振動(dòng)方程為 若為受迫振動(dòng)，則方程為 （二）解弦振動(dòng)方程 .達(dá)朗貝爾法求“無(wú)限和半無(wú)限的”弦振動(dòng)函數(shù) 弦振動(dòng)方程為：即 (6)先求其通解：依據(jù)方程（6）的形式作代換 ，即在此代換之下，由此，方程（6）可化為 （7）先對(duì)積分，得 （8）其中f是任意函數(shù)，再對(duì)積分，就得到通解ud+f= （9）通解

5、中的與可用定解條件確定。因我們?cè)诖饲蠼獾臑椤盁o(wú)限長(zhǎng)或半無(wú)限長(zhǎng)的”弦，因而此種情況下就不存在邊界條件，設(shè)初始條件是 （10）將一般解（9）帶入初始條件，得即由此解得 以此帶回（9）式即得滿(mǎn)足初始條件（10）的特解d.即所謂的達(dá)朗貝爾公式。.分離變量法求兩端固定弦振動(dòng)方程定解問(wèn)題為：泛定方程 （11）邊界條件 (12)初始條件 (0) (13) 解：令 u(x,t)=X(x)T(t) 帶入泛定方程及邊界條件得 X (14) (15)因T(t)不恒等于零，故而（15）式即為 X(0)=0,X(l)=0 (16)用遍除（14）式各項(xiàng)即得因此式左邊是時(shí)間t的函數(shù)，與坐標(biāo)x無(wú)關(guān)；右邊是坐標(biāo)x的函數(shù)，跟時(shí)間

6、t無(wú)關(guān)。若兩邊相等，則兩邊比為一常數(shù)。將此常數(shù)記為-，即由此化為 (19)先求解X，將（1） 當(dāng)時(shí)，方程（17）的解為X(x)=積分常數(shù)由條件（18）確定，即由此解出，進(jìn)而有X，所以此解為無(wú)意義之解，故排除的可能。（2） 當(dāng)時(shí)，方程（17）的解為X(x)=積分常數(shù)由條件（18）確定，即由此解出，進(jìn)而有X，所以此解為無(wú)意義之解，故也排除的可能。（3） 當(dāng)時(shí)，方程（17）的解為X(x)=積分常數(shù)由條件（18）確定，即由于，為使函數(shù)有意義，只能，進(jìn)而解得 由此可得 X(x)= （21） 其中為任意常數(shù)將式（20）代入方程（19）得這個(gè)方程的解為其中A,B為任意常數(shù)將（21）和（22）代入u(x,t)

7、=X(x)T(t) 即得分離變數(shù)的解進(jìn)而可得 弦振動(dòng)方程的解為其中系數(shù)情況一：初速度不為零，初位移為零設(shè)初速度為其解析解為其中系數(shù)取a=2，=1，則弦振動(dòng)動(dòng)畫(huà)的源程序?yàn)椋篺unction u(x,t)N=50;t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1;ww=u1fun1(N,0);h= plot(x,ww,linewidth,3);axis( 0, 1, -1, 1)sy= ;for n=2:length(t)ww=u1fun1(N,t(n);set(h,ydata,ww);drawnow;sy=sy,sum(ww);endfunction wtx=u1fun1(N,t)x=0:0

8、.001:1; a=2; wtx=0;for k=1:NBk=5/(k*k*pi*pi)*(cos(2*k*pi/5)-cos(4*k*pi/5);wtx=wtx+Bk*sin(2*k*pi*t)*sin(k*pi*x);end 此種情況與可用差分法求解clearN=4010; dx=0.0024;dt=0.0005; c=dt*dt/dx/dx;u(1:420,1)=0; x=linspace(0,1,420);u(2:280,1)=0.05/280*(2:280);u(281:419,1)=0.05/(419-280)*(419-(281:419);u(2:419,2)=u(2:419,1

9、)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1);h=plot(x,u(:,1),linewidth,3)axis(0,1,-0.05,0.05);set(h,EraseMode,xor,MarkerSize,18)for k=2:N set(h,XData,x,YData,u(:,2); drawnow; u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2); u(2:419,1)=u(2:419,2); u(2:419,2)=u(2:419,3);end 此種情況下

10、n=1，2，3,4,5,6時(shí)的本征振動(dòng)隨時(shí)間分布圖cleara=1;l=1;x=0:0.05:1;t=0:0.001:3;u=0;n=1;X,T=meshgrid(x,t)R=5/(n*n*pi*pi)*(cos(2*n*pi/5)-cos(4*n*pi/5) u=u+(R*sin(n*pi*a*T/l).*sin(n*pi*X/l);figure(1)axis(0 1 -0.05 0.05)mesh(X,T,u)title(n=1本征振動(dòng)隨時(shí)間分布圖)xlabel(x) xlabel(t)xlabel(u) 情況二：初速度為零，初位移不為零設(shè)初位移為 取a=1，=1得其中系數(shù)此種情況下弦振動(dòng)

11、動(dòng)畫(huà)的源程序?yàn)椋篺unction FN=50t=0:0.005:2.0;x=0:0.001:1;ww=wfun(N,0);ymax=max(abs(ww);h= plot(x,ww,linewidth,3);axis( 0, 1, -ymax, ymax)sy= ;for n=2:length(t)ww=wfun(N,t(n);set(h,ydata,ww);drawnow;sy=sy,sum(ww);endfunction wtx=wfun(N,t)x=0:0.001:1; a=1; wtx=0;for I=1:Nif I=5wtx=wtx+0.05*( (sin(pi*(5-I)*4/5)

12、-sin(pi*(5-I)*2/5)./(5-I)/pi-(sin(pi*(5+I)*4/5)-sin(pi*.(5+I)*2/5)/(5+I)/pi )*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);elsewtx=wtx+0.05/5*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);endend情況三：有驅(qū)動(dòng)力的弦振動(dòng)方程定解問(wèn)題為因有，所以此類(lèi)問(wèn)題可以用傅里葉級(jí)數(shù)法求解，如果初始條件為零，則同樣也可用沖量法求解傅里葉級(jí)數(shù)法求解過(guò)程為：因邊界條件為下的本征函數(shù)是 （n=0,1,）。所以可以把所求的解展開(kāi)為傅里葉余弦級(jí)數(shù)將這個(gè)級(jí)數(shù)代入泛定方程得將傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)等式兩邊比較系數(shù)得

13、將的傅里葉余弦級(jí)數(shù)代入初始條件，得由傅里葉級(jí)數(shù)基本函數(shù)族的正交性可得的常微分方程在以上初始條件下的解為由此可得，所求的解是初始條件為零時(shí)的沖量法求解過(guò)程為：應(yīng)用沖量定理法，先求解因邊界條件為下的本征函數(shù)是 （n=0,1,）。所以可以把所求的解展開(kāi)為傅里葉余弦級(jí)數(shù)將此代入泛定方程得由此分離出的常微分方程為這個(gè)常微分方程的解為這樣解v的傅里葉級(jí)數(shù)是將上式代入初始條件得比較等式兩邊系數(shù)得至此求得：因故而可得當(dāng)=1; a=1，在驅(qū)動(dòng)力作用下的弦振動(dòng)圖像為w=0.5; al=pi*a/l; A=2;x=0:0.05:1;m=moviein(301);for k=0:300u=A/al/(w2 - al2)*(w*sin(al*k*0.1).-A*al*sin(w*k*0.1)*cos(pi*x./l);plot(x,u);axis(0 1 -0.5 0.5)m(:,k+1)=getframe;end _總 結(jié)通過(guò)這次對(duì)于弦振動(dòng)解法的小結(jié)，讓我更深刻的了解了實(shí)際問(wèn)題中為什么不同的樂(lè)器會(huì)奏出不同的音